21.(8分)数学探究
探究主题:月历中的数学
计算
发现

(1)用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分)将位置A,B,C,D上的数按顺时针方向依次两两相乘一次,再把它们的积相加,所得的和叫作这个“十”字型框架的“美好数”。尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”:$5×11+11×19+19×13+13×5=$。
猜想
说理
(2)移动“十”字型框架,多次尝试可以发现,每个“美好数”都与E位置上的数有关。请设出字母,用数学式子表示你发现的规律,并说明理由。
续表
拓展
研究
(3)在另一张月历中,两个“十”字型框架如图3摆放,两个“十”字型框架E位置上的数分别为$a,b$,若两个“美好数”的差为1280,求$a+b$。

21.(1)$5×11+11×19+19×13+13×5=55+209+247+65=576$;故答案为576。
(2)设E位置上的数为x,其余数分别为$(x-7),(x-1),(x+7),(x+1)$,则$(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=x^2-8x+7+x^2+6x-7+x^2+8x+7+x^2-6x-7=4x^2$,每个“美好数”都是中间数E的平方的4倍。
(3)因为$4a^2-4b^2=4(a+b)(a-b)=1280$,即$(a+b)(a-b)=320$。因为$a-b=10$,所以$a+b=32$。