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1.如图，AD是△ABC的中线，若$S_{△ ABC}=2$，则$S_{△ ACD}=$。
（第1题） （第2题）
（第1题） （第2题）答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AD是△ABC的中线”入手，首先回忆中线的性质：中线会将三角形的对边分为长度相等的两段，即CD=½BC；接着分析△ACD和△ABC的面积关系，两个三角形分别以CD、BC为底时，高都是点A到直线BC的垂线段，属于同高的情况；根据三角形面积公式，高相等时面积比等于底的比，因此△ACD的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$，
△ACD和△ABC以CD、BC为底时，高均为点A到直线BC的距离，二者高相等，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积与底边长成正比，
可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=2$，代入得：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
三角形中线性质、等底同高三角形面积关系、三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形面积相关的基础题型，核心考查三角形中线分原三角形为两个面积相等的小三角形的性质，只要明确等底同高的三角形面积相等的规律，就能快速求解，是三角形面积类问题的基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“AD是△ABC的中线”入手，首先回忆中线的性质：中线会将三角形的对边分为长度相等的两段，即CD=½BC；接着分析△ACD和△ABC的面积关系，两个三角形分别以CD、BC为底时，高都是点A到直线BC的垂线段，属于同高的情况；根据三角形面积公式，高相等时面积比等于底的比，因此△ACD的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$，
△ACD和△ABC以CD、BC为底时，高均为点A到直线BC的距离，二者高相等，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积与底边长成正比，
可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=2$，代入得：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
三角形中线性质、等底同高三角形面积关系、三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形面积相关的基础题型，核心考查三角形中线分原三角形为两个面积相等的小三角形的性质，只要明确等底同高的三角形面积相等的规律，就能快速求解，是三角形面积类问题的基础考点。
【难度系数】
0.9
2.学生在体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形，如图所示.若$∠ 1=120°$,则$∠ 2=$.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，可发现图中存在一个90°的直角，且∠1是三角形的一个外角。回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠1等于90°的直角与∠2的和，代入∠1的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：由图可得，图形中竖直边与水平地面垂直，因此存在90°的直角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知$∠ 1 = 90° + ∠ 2$。
已知$∠ 1=120°$，代入得：
$∠ 2 = ∠ 1 - 90° = 120° - 90° = 30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
三角形外角性质，直角的定义
【点评】
本题结合生活中的运动场景考查基础几何计算，解题的关键是准确识别图形中的外角和直角，将生活场景转化为几何模型后运用基础性质即可求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，可发现图中存在一个90°的直角，且∠1是三角形的一个外角。回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠1等于90°的直角与∠2的和，代入∠1的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：由图可得，图形中竖直边与水平地面垂直，因此存在90°的直角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知$∠ 1 = 90° + ∠ 2$。
已知$∠ 1=120°$，代入得：
$∠ 2 = ∠ 1 - 90° = 120° - 90° = 30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
三角形外角性质，直角的定义
【点评】
本题结合生活中的运动场景考查基础几何计算，解题的关键是准确识别图形中的外角和直角，将生活场景转化为几何模型后运用基础性质即可求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,BC边上的高是线段.
答案
$\boldsymbol{AD}$
解析
【分析】
要确定△ABC中BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。首先找到BC边对应的顶点是点A，接下来找从点A向BC所在的直线作的垂线段，观察图形可知，AD垂直于BC所在的直线BE，垂足为D，符合高的定义；而GC是从点G作的垂线段，G不是△ABC的顶点，不符合要求，因此可确定BC边上的高。
【解析】
根据三角形高的定义，三角形某条边上的高是从该边所对的顶点向这条边所在直线作的垂线段。
在△ABC中，BC边所对的顶点是A，过点A作BC所在直线的垂线，垂足为D，因此线段AD就是BC边上的高。
【答案】
$\boldsymbol{AD}$
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题关键是牢记高的定义，明确高是从三角形的顶点出发向对边所在直线作的垂线段，不要混淆顶点和垂足的位置。
【难度系数】
0.9
要确定△ABC中BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。首先找到BC边对应的顶点是点A，接下来找从点A向BC所在的直线作的垂线段，观察图形可知，AD垂直于BC所在的直线BE，垂足为D，符合高的定义；而GC是从点G作的垂线段，G不是△ABC的顶点，不符合要求，因此可确定BC边上的高。
【解析】
根据三角形高的定义，三角形某条边上的高是从该边所对的顶点向这条边所在直线作的垂线段。
在△ABC中，BC边所对的顶点是A，过点A作BC所在直线的垂线，垂足为D，因此线段AD就是BC边上的高。
【答案】
$\boldsymbol{AD}$
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题关键是牢记高的定义，明确高是从三角形的顶点出发向对边所在直线作的垂线段，不要混淆顶点和垂足的位置。
【难度系数】
0.9
4.如图，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16.若AC=x，则x的取值范围是。。
答案
$\boldsymbol{10 ＜ x ＜ 36}$
解析
【分析】
要确定AC的取值范围，需利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先分别在△ABC和△ADC中求出AC的取值范围，再取两个范围的公共部分，就是AC最终的取值范围。
【解析】
在△ABC中，根据三角形三边关系：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
已知$AB=29$，$BC=19$，代入得：
$29 - 19 ＜ x ＜ 29 + 19$，即$10 ＜ x ＜ 48$
在△ADC中，根据三角形三边关系：
$AD - CD ＜ AC ＜ AD + CD$
已知$AD=20$，$CD=16$，代入得：
$20 - 16 ＜ x ＜ 20 + 16$，即$4 ＜ x ＜ 36$
取两个范围的公共部分，可得x的取值范围是$10 ＜ x ＜ 36$
【答案】
$\boldsymbol{10 ＜ x ＜ 36}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系求解未知边的取值范围，解题时需注意要同时满足图中两个三角形的三边约束条件，最后取两个范围的交集，避免只考虑单个三角形导致范围求解错误。
【难度系数】
0.7
要确定AC的取值范围，需利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先分别在△ABC和△ADC中求出AC的取值范围，再取两个范围的公共部分，就是AC最终的取值范围。
【解析】
在△ABC中，根据三角形三边关系：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
已知$AB=29$，$BC=19$，代入得：
$29 - 19 ＜ x ＜ 29 + 19$，即$10 ＜ x ＜ 48$
在△ADC中，根据三角形三边关系：
$AD - CD ＜ AC ＜ AD + CD$
已知$AD=20$，$CD=16$，代入得：
$20 - 16 ＜ x ＜ 20 + 16$，即$4 ＜ x ＜ 36$
取两个范围的公共部分，可得x的取值范围是$10 ＜ x ＜ 36$
【答案】
$\boldsymbol{10 ＜ x ＜ 36}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系求解未知边的取值范围，解题时需注意要同时满足图中两个三角形的三边约束条件，最后取两个范围的交集，避免只考虑单个三角形导致范围求解错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$CD$是$△ ABC$的角平分线,过点$B$作$CD$的垂线,交$CD$的延长线于点$E$.若$∠ ABE=16°$,则$∠ ABC=$.
答案
$\boldsymbol{58°}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知∠A和∠E均为直角，结合对顶角∠ADC与∠BDE相等，可根据“等角的余角相等”推出∠ACD=∠ABE，得到∠ACD的度数后，再利用角平分线的定义求出∠ACB的总度数，最后在Rt△ABC中根据“直角三角形两锐角互余”即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵∠A=90°，∠E=90°，
∴在$Rt△ ADC$中，$∠ ACD + ∠ ADC = 90°$，
在$Rt△ BED$中，$∠ ABE + ∠ BDE = 90°$，
又
∵$∠ ADC = ∠ BDE$（对顶角相等），
∴$∠ ACD = ∠ ABE = 16°$，
∵CD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ ACB = 2∠ ACD = 2×16°=32°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，
∴$∠ ABC = 90° - ∠ ACB = 90° - 32° = 58°$。
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查了多个基础几何性质，解题的突破口是利用等角的余角相等推导得到∠ACD的度数，熟练掌握基础几何定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，已知∠A和∠E均为直角，结合对顶角∠ADC与∠BDE相等，可根据“等角的余角相等”推出∠ACD=∠ABE，得到∠ACD的度数后，再利用角平分线的定义求出∠ACB的总度数，最后在Rt△ABC中根据“直角三角形两锐角互余”即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵∠A=90°，∠E=90°，
∴在$Rt△ ADC$中，$∠ ACD + ∠ ADC = 90°$，
在$Rt△ BED$中，$∠ ABE + ∠ BDE = 90°$，
又
∵$∠ ADC = ∠ BDE$（对顶角相等），
∴$∠ ACD = ∠ ABE = 16°$，
∵CD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ ACB = 2∠ ACD = 2×16°=32°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，
∴$∠ ABC = 90° - ∠ ACB = 90° - 32° = 58°$。
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查了多个基础几何性质，解题的突破口是利用等角的余角相等推导得到∠ACD的度数，熟练掌握基础几何定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到个三角形。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
首先观察图形，这是一个被对角线分成2个三角形的正方形，点P在正方形的上边上。要让过点P的直线分割出的三角形最多，需要让这条直线尽可能多地和图中已有的线段（对角线、正方形其余的边）相交，交点越多，分割出的三角形数量越多，找到交点最多的情况后再计数即可。
【解析】
我们尝试过P作不同位置的直线：
1. 若直线仅经过正方形的一个顶点，最多能得到2个三角形；
2. 当过P的直线同时和正方形的对角线、正方形的一条边（非顶点位置）相交时，得到的三角形最多：假设直线交对角线于点A，交正方形右侧边于点B，此时形成的三角形分别为：左上角顶点、P、A组成的三角形；A、右下角顶点、B组成的三角形；P、右上角顶点、B组成的三角形，共3个。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
三角形的识别，图形分割计数
【点评】
本题需要结合空间想象能力，分析过定点的直线的不同位置，找到能分割出最多三角形的情况，再正确计数，要注意避免漏数或者重复计数。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，这是一个被对角线分成2个三角形的正方形，点P在正方形的上边上。要让过点P的直线分割出的三角形最多，需要让这条直线尽可能多地和图中已有的线段（对角线、正方形其余的边）相交，交点越多，分割出的三角形数量越多，找到交点最多的情况后再计数即可。
【解析】
我们尝试过P作不同位置的直线：
1. 若直线仅经过正方形的一个顶点，最多能得到2个三角形；
2. 当过P的直线同时和正方形的对角线、正方形的一条边（非顶点位置）相交时，得到的三角形最多：假设直线交对角线于点A，交正方形右侧边于点B，此时形成的三角形分别为：左上角顶点、P、A组成的三角形；A、右下角顶点、B组成的三角形；P、右上角顶点、B组成的三角形，共3个。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
三角形的识别，图形分割计数
【点评】
本题需要结合空间想象能力，分析过定点的直线的不同位置，找到能分割出最多三角形的情况，再正确计数，要注意避免漏数或者重复计数。
【难度系数】
0.7
7.如图,若$∠A=27°,∠COD=83°,∠D=47°$,则$∠B=$.
答案
$\boldsymbol{23°}$
解析
【分析】
解题时可先从已知角集中的△COD入手，根据三角形内角和为180°，先计算出∠OCD的度数；再观察∠OCD的位置，它是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可建立∠OCD和∠A、∠B的数量关系，代入已知角度就能求出∠B的大小。
【解析】
1. 在△COD中，根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，可得：
$∠ OCD = 180° - ∠ COD - ∠ D$
代入$∠ COD=83°$，$∠ D=47°$，计算得：
$∠ OCD = 180° - 83° - 47° = 50°$
2. 因为$∠ OCD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ OCD = ∠ A + ∠ B$
变形得$∠ B = ∠ OCD - ∠ A$，代入$∠ A=27°$，$∠ OCD=50°$，计算得：
$∠ B = 50° - 27° = 23°$
【答案】
$\boldsymbol{23°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是找到连接已知角和未知角的中间角$∠ OCD$，熟练掌握三角形内角和及外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可先从已知角集中的△COD入手，根据三角形内角和为180°，先计算出∠OCD的度数；再观察∠OCD的位置，它是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可建立∠OCD和∠A、∠B的数量关系，代入已知角度就能求出∠B的大小。
【解析】
1. 在△COD中，根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，可得：
$∠ OCD = 180° - ∠ COD - ∠ D$
代入$∠ COD=83°$，$∠ D=47°$，计算得：
$∠ OCD = 180° - 83° - 47° = 50°$
2. 因为$∠ OCD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ OCD = ∠ A + ∠ B$
变形得$∠ B = ∠ OCD - ∠ A$，代入$∠ A=27°$，$∠ OCD=50°$，计算得：
$∠ B = 50° - 27° = 23°$
【答案】
$\boldsymbol{23°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是找到连接已知角和未知角的中间角$∠ OCD$，熟练掌握三角形内角和及外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8.如图，直线$m// n,\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A$在直线$n$上，$∠ C=90°$.若$∠ 1=20°$，$∠ 2=70°$，则$∠ B=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：已知直线$m// n$，$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ C=90°$，给出了$∠1$和$∠2$的度数。首先利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得到$∠2$等于$AB$与直线$n$的夹角，也就是$∠ BAC$与$∠1$的和，先计算出$∠ BAC$的度数；再结合直角三角形两锐角互余的性质，用$90°$减去$∠ BAC$的度数即可得到$∠ B$的度数。
【解析】
解：$\because m// n$，$∠2=70°$
$\therefore ∠ BAn = ∠2 = 70°$（两直线平行，内错角相等）
$\because ∠ BAn = ∠ BAC + ∠1$，$∠1=20°$
$\therefore ∠ BAC = 70° - 20° = 50°$
又$\because △ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC = 90°$（直角三角形两锐角互余）
$\therefore ∠ B = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是找准平行线对应的内错角，推导出$∠ BAC$的度数，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：已知直线$m// n$，$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ C=90°$，给出了$∠1$和$∠2$的度数。首先利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得到$∠2$等于$AB$与直线$n$的夹角，也就是$∠ BAC$与$∠1$的和，先计算出$∠ BAC$的度数；再结合直角三角形两锐角互余的性质，用$90°$减去$∠ BAC$的度数即可得到$∠ B$的度数。
【解析】
解：$\because m// n$，$∠2=70°$
$\therefore ∠ BAn = ∠2 = 70°$（两直线平行，内错角相等）
$\because ∠ BAn = ∠ BAC + ∠1$，$∠1=20°$
$\therefore ∠ BAC = 70° - 20° = 50°$
又$\because △ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC = 90°$（直角三角形两锐角互余）
$\therefore ∠ B = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是找准平行线对应的内错角，推导出$∠ BAC$的度数，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图,已知$AE⊥ BC$,$AD$平分$∠ BAE$.若$∠ ADB=110°$,求$∠ B$的度数.
答案
解：
∵ ∠ADB = 110°，∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 110° = 70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ AD平分∠BAE，
∴ ∠BAE = 2∠DAE = 40°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = 90° - 40° = 50°。
∵ ∠ADB = 110°，∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 110° = 70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ AD平分∠BAE，
∴ ∠BAE = 2∠DAE = 40°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = 90° - 40° = 50°。
解析
【分析】
解题时先从已知的∠ADB入手，利用邻补角之和为180°先求出∠ADE的度数；再结合AE⊥BC得到直角△ADE，利用直角三角形两个锐角互余求出∠DAE的度数；接下来根据AD平分∠BAE的条件，利用角平分线的定义得到∠BAE的度数；最后在直角△ABE中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ ∠ADB = 110°，∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 110° = 70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ AD平分∠BAE，
∴ ∠BAE = 2∠DAE = 40°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = 90° - 40° = 50°。
【答案】
∠B=50°
【知识点】
邻补角的性质、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度运算题，需要理清各角之间的数量关系，结合相关几何性质逐步推导中间角的度数即可求解，能有效训练几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠ADB入手，利用邻补角之和为180°先求出∠ADE的度数；再结合AE⊥BC得到直角△ADE，利用直角三角形两个锐角互余求出∠DAE的度数；接下来根据AD平分∠BAE的条件，利用角平分线的定义得到∠BAE的度数；最后在直角△ABE中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ ∠ADB = 110°，∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 110° = 70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ AD平分∠BAE，
∴ ∠BAE = 2∠DAE = 40°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = 90° - 40° = 50°。
【答案】
∠B=50°
【知识点】
邻补角的性质、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度运算题，需要理清各角之间的数量关系，结合相关几何性质逐步推导中间角的度数即可求解，能有效训练几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
10.在探索三角形内角和定理时，老师启发同学们讨论.
如图①，已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
小颖、小星、小红三名同学分别得到以下三种证法：
小颖作的辅助线如图②，过点C作DE//AB；小星作的辅助线如图③，延长AB，作BE//AC；小红所作的辅助线如图④，作CG//AB.
请你认真阅读并解答下列问题：
(1)请从小颖、小星、小红三名同学中选择一种证法，写出完整的证明过程；
(2)在图③中，求证：∠CBF=∠A+∠C.
如图①，已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
小颖、小星、小红三名同学分别得到以下三种证法：
小颖作的辅助线如图②，过点C作DE//AB；小星作的辅助线如图③，延长AB，作BE//AC；小红所作的辅助线如图④，作CG//AB.
请你认真阅读并解答下列问题：
(1)请从小颖、小星、小红三名同学中选择一种证法，写出完整的证明过程；
(2)在图③中，求证：∠CBF=∠A+∠C.
答案
(1) 选择小颖的证法，证明如下：
证明：过点C作$DE// AB$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ACD + ∠ ACB + ∠ BCE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
---
(2) 证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ EBF$（两直线平行，同位角相等），
$∠ C = ∠ CBE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBF = ∠ CBE + ∠ EBF$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ A + ∠ C$。
证明：过点C作$DE// AB$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ACD + ∠ ACB + ∠ BCE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
---
(2) 证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ EBF$（两直线平行，同位角相等），
$∠ C = ∠ CBE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBF = ∠ CBE + ∠ EBF$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ A + ∠ C$。
解析
【分析】
(1) 要证明三角形内角和为180°，核心思路是将三个内角转化为一个平角：我们可以通过作平行线，利用平行线的性质把三角形的∠A、∠B转移到顶点C处，和∠C共同组成平角，就能推导出三个内角的和为180°。
(2) 证明∠CBF=∠A+∠C时，借助图中BE//AC的条件，利用平行线的性质把∠A、∠C分别转化为∠CBF的两个组成角，将两个角相加即可得到结论。
【解析】
(1) 选择小颖的证法，证明如下：
过点C作$DE// AB$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ACD + ∠ ACB + ∠ BCE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
(2) 证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ EBF$（两直线平行，同位角相等），
$∠ C = ∠ CBE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBF = ∠ CBE + ∠ EBF$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ A + ∠ C$。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、三角形外角性质
【点评】
这道题是几何基础证明题，重点考查平行线性质的应用和几何证明的规范书写，通过构造平行线实现角的等量转化，体现了几何证明中的转化思想，能帮助学生理解三角形内角和与外角性质的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明三角形内角和为180°，核心思路是将三个内角转化为一个平角：我们可以通过作平行线，利用平行线的性质把三角形的∠A、∠B转移到顶点C处，和∠C共同组成平角，就能推导出三个内角的和为180°。
(2) 证明∠CBF=∠A+∠C时，借助图中BE//AC的条件，利用平行线的性质把∠A、∠C分别转化为∠CBF的两个组成角，将两个角相加即可得到结论。
【解析】
(1) 选择小颖的证法，证明如下：
过点C作$DE// AB$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ACD + ∠ ACB + ∠ BCE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
(2) 证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ EBF$（两直线平行，同位角相等），
$∠ C = ∠ CBE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBF = ∠ CBE + ∠ EBF$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ A + ∠ C$。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、三角形外角性质
【点评】
这道题是几何基础证明题，重点考查平行线性质的应用和几何证明的规范书写，通过构造平行线实现角的等量转化，体现了几何证明中的转化思想，能帮助学生理解三角形内角和与外角性质的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
