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1.某餐馆有M,N,P,Q,R,S等特色菜，由于人手和食材限制，顾客需根据下列规则点菜：
①不能同时点M和N；
②如果点了P，就要点Q或R；
③在Q和S中必须点一个，且只能点一个。
下列组合符合点菜规则的是(
A.Q,M,N
B.S,N,P
C.P,N,Q
D.M,P,R
①不能同时点M和N；
②如果点了P，就要点Q或R；
③在Q和S中必须点一个，且只能点一个。
下列组合符合点菜规则的是(
C
)A.Q,M,N
B.S,N,P
C.P,N,Q
D.M,P,R
答案
C
解析
【分析】
这是一道逻辑规则匹配类的选择题，解题可采用排除法：先明确三条点菜规则的具体要求，再把每个选项依次对照三条规则逐一验证，只要选项违反任意一条规则就直接排除，最终全部符合规则的选项就是正确答案。
【解析】
首先明确三条点菜规则：
①M和N不能同时被点；
②如果点了P，就必须同时点Q或R中的至少一个；
③Q和S必须且只能点其中1个（不能同时点，也不能都不点）。
逐一验证选项：
A选项：同时包含M和N，违反规则①，排除；
B选项：包含P，但没有Q也没有R，违反规则②，排除；
C选项：仅含N不含M，符合规则①；含P同时有Q，符合规则②；有Q无S，符合规则③，所有规则都满足；
D选项：既没有Q也没有S，违反规则③，排除。
【答案】
C
【知识点】
逻辑推理；排除法
【点评】
本题属于基础的逻辑应用题型，解题的核心是逐一对所有给定规则进行校验，使用排除法可以快速缩小正确选项范围，解题时注意不要遗漏任意一条规则即可避免出错。
【难度系数】
0.6
这是一道逻辑规则匹配类的选择题，解题可采用排除法：先明确三条点菜规则的具体要求，再把每个选项依次对照三条规则逐一验证，只要选项违反任意一条规则就直接排除，最终全部符合规则的选项就是正确答案。
【解析】
首先明确三条点菜规则：
①M和N不能同时被点；
②如果点了P，就必须同时点Q或R中的至少一个；
③Q和S必须且只能点其中1个（不能同时点，也不能都不点）。
逐一验证选项：
A选项：同时包含M和N，违反规则①，排除；
B选项：包含P，但没有Q也没有R，违反规则②，排除；
C选项：仅含N不含M，符合规则①；含P同时有Q，符合规则②；有Q无S，符合规则③，所有规则都满足；
D选项：既没有Q也没有S，违反规则③，排除。
【答案】
C
【知识点】
逻辑推理；排除法
【点评】
本题属于基础的逻辑应用题型，解题的核心是逐一对所有给定规则进行校验，使用排除法可以快速缩小正确选项范围，解题时注意不要遗漏任意一条规则即可避免出错。
【难度系数】
0.6
2.如图,一个4×4的正方形网格被分成了四块“
”。若要求每块、每行、每列的四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字,则在★处应填入的汉字是(
A.强
B.国
C.有
D.我
”。若要求每块、每行、每列的四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字,则在★处应填入的汉字是(B
)A.强
B.国
C.有
D.我
答案
B
解析
【分析】
本题属于逻辑推理类填字问题，解题思路和四宫数独一致，核心依据是“每块、每行、每列内的‘强’‘国’‘有’‘我’四个汉字均不重复”的规则。解题时优先从已知汉字最多的行、列或块入手，用排除法逐步缩小每个位置可填汉字的范围，最终确定★位置的汉字。
【解析】
我们将网格从上到下记为第1~4行，从左到右记为第1~4列，四块为4个2×2的区域：
1. 先分析第1列：已知第1行第1列是“强”，第3行第1列是“有”，第4行第1列是“我”，结合每列汉字不重复的规则，可得第2行第1列只能是剩下的“国”；
2. 再分析左上角的2×2块（第1~2行、第1~2列）：该块内已有“强”（第1行第1列）和“国”（第2行第1列），还缺“有”“我”两个字；
3. 分析第1行：已知第1行第4列是“有”，结合每行汉字不重复的规则，第1行第2列不能填“有”，只能填“我”；
4. 最后回到左上角2×2块：仅剩第2行第2列（即★位置）空缺，该块内已有“强”“国”“我”，因此★处只能填剩下的“国”。
【答案】
B
【知识点】
逻辑推理，排除法，规则应用
【点评】
本题将逻辑推理和汉字填充结合，趣味性较强，主要考查学生对已知条件的梳理能力和严谨的推理能力，只要熟练运用排除法，按顺序从已知信息最多的维度分析，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
本题属于逻辑推理类填字问题，解题思路和四宫数独一致，核心依据是“每块、每行、每列内的‘强’‘国’‘有’‘我’四个汉字均不重复”的规则。解题时优先从已知汉字最多的行、列或块入手，用排除法逐步缩小每个位置可填汉字的范围，最终确定★位置的汉字。
【解析】
我们将网格从上到下记为第1~4行，从左到右记为第1~4列，四块为4个2×2的区域：
1. 先分析第1列：已知第1行第1列是“强”，第3行第1列是“有”，第4行第1列是“我”，结合每列汉字不重复的规则，可得第2行第1列只能是剩下的“国”；
2. 再分析左上角的2×2块（第1~2行、第1~2列）：该块内已有“强”（第1行第1列）和“国”（第2行第1列），还缺“有”“我”两个字；
3. 分析第1行：已知第1行第4列是“有”，结合每行汉字不重复的规则，第1行第2列不能填“有”，只能填“我”；
4. 最后回到左上角2×2块：仅剩第2行第2列（即★位置）空缺，该块内已有“强”“国”“我”，因此★处只能填剩下的“国”。
【答案】
B
【知识点】
逻辑推理，排除法，规则应用
【点评】
本题将逻辑推理和汉字填充结合，趣味性较强，主要考查学生对已知条件的梳理能力和严谨的推理能力，只要熟练运用排除法，按顺序从已知信息最多的维度分析，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3.有一本书，若每天读80页，则4天读不完，5天又有余；若每天读90页，则3天读不完，4天又有余；若每天读n(n是自然数)页，则恰好n天读完。这本书有
324
页。答案
324
解析
【分析】
解题时首先要根据前两个阅读条件确定总页数的取值范围，再结合第三个“n天每天读n页恰好读完”的条件，可知总页数是完全平方数，最后在取值范围内筛选出符合要求的完全平方数即可。第一步先根据第一个阅读条件列出不等式得到第一个页数范围；第二步根据第二个阅读条件列出不等式得到第二个页数范围；第三步取两个范围的公共区间；第四步在公共区间内寻找符合完全平方数特征的数，即为总页数。
【解析】
设这本书的总页数为$ x $页。
1. 由“每天读80页，4天读不完，5天有余”可得：
$ 80×4 ＜ x ＜ 80×5 $，即$ 320 ＜ x ＜ 400 $
2. 由“每天读90页，3天读不完，4天有余”可得：
$ 90×3 ＜ x ＜ 90×4 $，即$ 270 ＜ x ＜ 360 $
3. 取两个不等式的公共解集，可得总页数的范围为$ 320 ＜ x ＜ 360 $
4. 由“每天读$ n $页恰好$ n $天读完”可知$ x = n^2 $（$ n $为自然数），即$ x $是完全平方数。
计算相邻自然数的平方：$ 17^2=289 $（小于320，不符合），$ 18^2=324 $（在320~360区间内，符合），$ 19^2=361 $（大于360，不符合）
因此这本书总页数为324页。
【答案】
324
【知识点】
不等式的应用，完全平方数
【点评】
本题是不等式和特殊数性质的结合应用，解题核心是先根据题意准确列出不等式确定未知数的取值范围，再结合完全平方数的特征筛选出最终结果，能很好地考查逻辑推理和范围筛选的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据前两个阅读条件确定总页数的取值范围，再结合第三个“n天每天读n页恰好读完”的条件，可知总页数是完全平方数，最后在取值范围内筛选出符合要求的完全平方数即可。第一步先根据第一个阅读条件列出不等式得到第一个页数范围；第二步根据第二个阅读条件列出不等式得到第二个页数范围；第三步取两个范围的公共区间；第四步在公共区间内寻找符合完全平方数特征的数，即为总页数。
【解析】
设这本书的总页数为$ x $页。
1. 由“每天读80页，4天读不完，5天有余”可得：
$ 80×4 ＜ x ＜ 80×5 $，即$ 320 ＜ x ＜ 400 $
2. 由“每天读90页，3天读不完，4天有余”可得：
$ 90×3 ＜ x ＜ 90×4 $，即$ 270 ＜ x ＜ 360 $
3. 取两个不等式的公共解集，可得总页数的范围为$ 320 ＜ x ＜ 360 $
4. 由“每天读$ n $页恰好$ n $天读完”可知$ x = n^2 $（$ n $为自然数），即$ x $是完全平方数。
计算相邻自然数的平方：$ 17^2=289 $（小于320，不符合），$ 18^2=324 $（在320~360区间内，符合），$ 19^2=361 $（大于360，不符合）
因此这本书总页数为324页。
【答案】
324
【知识点】
不等式的应用，完全平方数
【点评】
本题是不等式和特殊数性质的结合应用，解题核心是先根据题意准确列出不等式确定未知数的取值范围，再结合完全平方数的特征筛选出最终结果，能很好地考查逻辑推理和范围筛选的能力。
【难度系数】
0.7
4.若一个自然数被2除余1，被3除余2，被5除余3，则称这个数是“魅力数”。
(1)判断43是否为“魅力数”，请说明理由。
(2)求出所有不大于100的“魅力数”。
(1)判断43是否为“魅力数”，请说明理由。
(2)求出所有不大于100的“魅力数”。
答案
(1)43不是“魅力数”。理由如下：
因为43=14×3+1，所以43被3除余1，不余2，所以43不是“魅力数”。
(2)先确定被2除余1且被5除余3的数，
有13,23,33,43,53,63,73,83,93；
再确定其中被3除余2的数，有23,53,83。
故所有不大于100的“魅力数”有23,53,83。
因为43=14×3+1，所以43被3除余1，不余2，所以43不是“魅力数”。
(2)先确定被2除余1且被5除余3的数，
有13,23,33,43,53,63,73,83,93；
再确定其中被3除余2的数，有23,53,83。
故所有不大于100的“魅力数”有23,53,83。
解析
【分析】
(1)判断一个数是否为“魅力数”，只需对照定义逐一验证三个余数条件：被2除余1、被3除余2、被5除余3，只要有一个条件不满足就不是魅力数。
(2)求不大于100的魅力数时，直接枚举所有数计算量较大，可先合并两个约束条件缩小范围，再验证第三个条件。优先合并和2、5相关的两个条件：被2除余1说明是奇数，被5除余3说明个位是3或8，结合奇数特征可推出这类数个位只能是3，快速列出100以内符合的数后，再筛选出被3除余2的数即可。
【解析】
(1) 43不是“魅力数”，理由如下：
计算43除以3的余数：$43=14×3+1$，即43被3除余1，不符合“被3除余2”的魅力数要求，因此43不是“魅力数”。
(2) 第一步：找同时满足“被2除余1、被5除余3”且不大于100的自然数：
被2除余1的数是奇数，个位为1、3、5、7、9；被5除余3的数个位为3或8；两个条件同时满足时个位只能为3，符合的数有：13、23、33、43、53、63、73、83、93。
第二步：从上述数中筛选“被3除余2”的数：
分别计算除以3的余数，仅23、53、83满足被3除余2的要求。
【答案】
(1) 43不是“魅力数”，理由：43被3除余1，不满足魅力数被3除余2的条件；
(2) 所有不大于100的“魅力数”为23、53、83。
【知识点】
带余除法、新定义问题求解
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义规则，通过逐步合并约束条件缩小枚举范围，既避免了无意义的计算，也能降低出错概率，主要考察带余除法的基础应用和逻辑筛选能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断一个数是否为“魅力数”，只需对照定义逐一验证三个余数条件：被2除余1、被3除余2、被5除余3，只要有一个条件不满足就不是魅力数。
(2)求不大于100的魅力数时，直接枚举所有数计算量较大，可先合并两个约束条件缩小范围，再验证第三个条件。优先合并和2、5相关的两个条件：被2除余1说明是奇数，被5除余3说明个位是3或8，结合奇数特征可推出这类数个位只能是3，快速列出100以内符合的数后，再筛选出被3除余2的数即可。
【解析】
(1) 43不是“魅力数”，理由如下：
计算43除以3的余数：$43=14×3+1$，即43被3除余1，不符合“被3除余2”的魅力数要求，因此43不是“魅力数”。
(2) 第一步：找同时满足“被2除余1、被5除余3”且不大于100的自然数：
被2除余1的数是奇数，个位为1、3、5、7、9；被5除余3的数个位为3或8；两个条件同时满足时个位只能为3，符合的数有：13、23、33、43、53、63、73、83、93。
第二步：从上述数中筛选“被3除余2”的数：
分别计算除以3的余数，仅23、53、83满足被3除余2的要求。
【答案】
(1) 43不是“魅力数”，理由：43被3除余1，不满足魅力数被3除余2的条件；
(2) 所有不大于100的“魅力数”为23、53、83。
【知识点】
带余除法、新定义问题求解
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义规则，通过逐步合并约束条件缩小枚举范围，既避免了无意义的计算，也能降低出错概率，主要考察带余除法的基础应用和逻辑筛选能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知线段a和∠α,求作△ABC,使AB=a,AC=2a,∠A=$\frac{1}{2}$∠α。(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
如答图,△ABC即为所求。
解析
【分析】
要构造满足条件的△ABC，可按“先定角，再定边”的思路逐步推导：首先题目要求∠A=$\frac{1}{2}$∠α，因此需要先通过尺规作∠α的角平分线，得到大小为$\frac{1}{2}$∠α的角；接下来作一个角等于上述得到的半角，确定顶点A和∠A的两条边；随后在∠A的两条边上分别截取AB=a、AC=2a，确定顶点B、C的位置；最后连接B、C两点，即可得到所求三角形。
【解析】
作图逻辑如下：①先作已知∠α的角平分线，得到度数为$\frac{1}{2}$∠α的角；②作∠A=$\frac{1}{2}$∠α；③在∠A的其中一条边上截取线段AB=a，在另一条边上截取线段AC=2a；④连接BC，所得△ABC即为符合要求的三角形，作图时按题目要求保留所有尺规作图痕迹即可，无需写作法。
【答案】
如答图,△ABC即为所求。
【知识点】
角平分线的尺规作图；作一个角等于已知角；作线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图综合题，需要将多个基本尺规作图方法结合使用，按照“先定角、再定边”的顺序逐步构造图形即可完成，核心考查对基本尺规作图方法的熟练掌握程度。
【难度系数】
0.7
要构造满足条件的△ABC，可按“先定角，再定边”的思路逐步推导：首先题目要求∠A=$\frac{1}{2}$∠α，因此需要先通过尺规作∠α的角平分线，得到大小为$\frac{1}{2}$∠α的角；接下来作一个角等于上述得到的半角，确定顶点A和∠A的两条边；随后在∠A的两条边上分别截取AB=a、AC=2a，确定顶点B、C的位置；最后连接B、C两点，即可得到所求三角形。
【解析】
作图逻辑如下：①先作已知∠α的角平分线，得到度数为$\frac{1}{2}$∠α的角；②作∠A=$\frac{1}{2}$∠α；③在∠A的其中一条边上截取线段AB=a，在另一条边上截取线段AC=2a；④连接BC，所得△ABC即为符合要求的三角形，作图时按题目要求保留所有尺规作图痕迹即可，无需写作法。
【答案】
如答图,△ABC即为所求。
【知识点】
角平分线的尺规作图；作一个角等于已知角；作线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图综合题，需要将多个基本尺规作图方法结合使用，按照“先定角、再定边”的顺序逐步构造图形即可完成，核心考查对基本尺规作图方法的熟练掌握程度。
【难度系数】
0.7
