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1. 解方程组$\begin{cases}2x - y + 3z = 1, \\3x + y - 7z = 2, \\5x - y + 3z = 3\end{cases}$时，为使运算简便，消元时应优先（ ）
A.消去$x$
B.消去$y$
C.消去$z$
D.消去常数项
A.消去$x$
B.消去$y$
C.消去$z$
D.消去常数项
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三元一次方程组的消元原则：为了运算简便，优先消去系数最简单（多为±1）的未知数，这样消元时不需要给方程乘较大的系数，减少计算量。我们先观察三个方程中各未知数的系数：x的系数是2、3、5，z的系数是3、-7、3，y的系数是-1、1、-1，显然y的系数都是±1，直接用加减消元就能消去y，运算最简便。
【解析】
观察方程组中三个方程的未知数系数：
y的系数分别为-1、+1、-1，均为±1：
将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y，得到关于x、z的二元一次方程：$5x - 4z = 3$；
将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，得到关于x、z的二元一次方程：$8x - 4z = 5$；
消去y的过程不需要额外给方程乘任何系数，运算最简便，因此优先消去y。
如果消去x或z，需要先找系数的最小公倍数，给多个方程乘对应系数，计算更繁琐；消去常数项不符合三元一次方程组的常规消元逻辑，因此A、C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的消元；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，消元时优先选择系数为±1的未知数，能有效降低计算量，是解三元一次方程组的基础实用技巧。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆三元一次方程组的消元原则：为了运算简便，优先消去系数最简单（多为±1）的未知数，这样消元时不需要给方程乘较大的系数，减少计算量。我们先观察三个方程中各未知数的系数：x的系数是2、3、5，z的系数是3、-7、3，y的系数是-1、1、-1，显然y的系数都是±1，直接用加减消元就能消去y，运算最简便。
【解析】
观察方程组中三个方程的未知数系数：
y的系数分别为-1、+1、-1，均为±1：
将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y，得到关于x、z的二元一次方程：$5x - 4z = 3$；
将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，得到关于x、z的二元一次方程：$8x - 4z = 5$；
消去y的过程不需要额外给方程乘任何系数，运算最简便，因此优先消去y。
如果消去x或z，需要先找系数的最小公倍数，给多个方程乘对应系数，计算更繁琐；消去常数项不符合三元一次方程组的常规消元逻辑，因此A、C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的消元；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，消元时优先选择系数为±1的未知数，能有效降低计算量，是解三元一次方程组的基础实用技巧。
【难度系数】
0.9
2.对于任意实数x和y，定义一种新运算“△”：$x△y=ax+by+c$，其中a,b,c为常数。例如：$3△2=3a+2b+c$。已知$1△1=0$，$4△2=3$，$9△(-3)=28$，则$5△7$的值为
-10
。答案
-10
解析
【分析】
首先根据新运算“△”的定义，将已知的3个运算结果转化为关于常数a、b、c的三元一次方程组，通过消元法求解得到a、b、c的具体值，再将x=5、y=7代入新运算公式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，结合已知条件可列方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad \mathrm{①} \\4a + 2b + c = 3 \quad \mathrm{②} \\9a - 3b + c = 28 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用②-①消去c，得：$3a + b = 3$ ④
用③-②消去c，得：$5a - 5b = 25$，化简为$a - b = 5$ ⑤
④+⑤得：$4a = 8$，解得$a=2$
将$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
将$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此新运算公式为：$x△y=2x - 3y + 1$
代入x=5，y=7计算：
$5△7=2×5 - 3×7 + 1 = 10 - 21 + 1 = -10$
【答案】
-10
【知识点】
新定义运算，三元一次方程组的求解，代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查方程组的应用，解题的核心是将新运算规则转化为熟悉的方程模型，通过消元法逐步求解未知数，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
首先根据新运算“△”的定义，将已知的3个运算结果转化为关于常数a、b、c的三元一次方程组，通过消元法求解得到a、b、c的具体值，再将x=5、y=7代入新运算公式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，结合已知条件可列方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad \mathrm{①} \\4a + 2b + c = 3 \quad \mathrm{②} \\9a - 3b + c = 28 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用②-①消去c，得：$3a + b = 3$ ④
用③-②消去c，得：$5a - 5b = 25$，化简为$a - b = 5$ ⑤
④+⑤得：$4a = 8$，解得$a=2$
将$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
将$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此新运算公式为：$x△y=2x - 3y + 1$
代入x=5，y=7计算：
$5△7=2×5 - 3×7 + 1 = 10 - 21 + 1 = -10$
【答案】
-10
【知识点】
新定义运算，三元一次方程组的求解，代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查方程组的应用，解题的核心是将新运算规则转化为熟悉的方程模型，通过消元法逐步求解未知数，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
3.解方程组。
(1)$\begin{cases}x + z - 3 = 0, \\2x - y + 2z = 2, \\x - y - z = -3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x - y + z = 10, \\x + 2y - z = 6, \\x + y + z = 12。\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x + z - 3 = 0, \\2x - y + 2z = 2, \\x - y - z = -3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x - y + z = 10, \\x + 2y - z = 6, \\x + y + z = 12。\end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases}x=2,\\y=4,\\z=1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=4,\\z=5\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=4,\\z=5\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过加减消元法或代入消元法，先消去1个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求解二元一次方程组得到两个未知数的值，再代入原方程组求出第三个未知数的值。
对于(1)，观察发现方程②和③都含有y，可先通过两式相减消去y，结合方程①得到关于x和z的二元一次方程组求解；对于(2)，三个方程中z的系数绝对值都是1，可通过两两相加消去z，得到关于x和y的二元一次方程组求解。
【解析】
(1) 对原方程组编号：
$\begin{cases}x + z - 3 = 0 \quad ①\\2x - y + 2z = 2 \quad ②\\x - y - z = -3 \quad ③\end{cases}$
用②-③消去y：
$(2x - y + 2z) - (x - y - z) = 2 - (-3)$
化简得：$x + 3z = 5 \quad ④$
由①得：$x + z = 3 \quad ⑤$
用④-⑤：$(x+3z)-(x+z)=5-3$，解得$2z=2$，即$z=1$。
把$z=1$代入⑤：$x + 1 = 3$，解得$x=2$。
把$x=2$，$z=1$代入③：$2 - y - 1 = -3$，解得$y=4$。
(2) 对原方程组编号：
$\begin{cases}3x - y + z = 10 \quad ①\\x + 2y - z = 6 \quad ②\\x + y + z = 12 \quad ③\end{cases}$
用①+②消去z：
$(3x - y + z) + (x + 2y - z) = 10 + 6$
化简得：$4x + y = 16 \quad ④$
用②+③消去z：
$(x + 2y - z) + (x + y + z) = 6 + 12$
化简得：$2x + 3y = 18 \quad ⑤$
将⑤×2得：$4x + 6y = 36 \quad ⑥$
用⑥-④：$(4x+6y)-(4x+y)=36-16$，解得$5y=20$，即$y=4$。
把$y=4$代入④：$4x + 4 = 16$，解得$x=3$。
把$x=3$，$y=4$代入③：$3 + 4 + z = 12$，解得$z=5$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2,\\y=4,\\z=1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=4,\\z=5\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、消元思想、加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的常规解法，重点在于灵活选择消元对象简化计算，计算过程中要注意符号运算，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过加减消元法或代入消元法，先消去1个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求解二元一次方程组得到两个未知数的值，再代入原方程组求出第三个未知数的值。
对于(1)，观察发现方程②和③都含有y，可先通过两式相减消去y，结合方程①得到关于x和z的二元一次方程组求解；对于(2)，三个方程中z的系数绝对值都是1，可通过两两相加消去z，得到关于x和y的二元一次方程组求解。
【解析】
(1) 对原方程组编号：
$\begin{cases}x + z - 3 = 0 \quad ①\\2x - y + 2z = 2 \quad ②\\x - y - z = -3 \quad ③\end{cases}$
用②-③消去y：
$(2x - y + 2z) - (x - y - z) = 2 - (-3)$
化简得：$x + 3z = 5 \quad ④$
由①得：$x + z = 3 \quad ⑤$
用④-⑤：$(x+3z)-(x+z)=5-3$，解得$2z=2$，即$z=1$。
把$z=1$代入⑤：$x + 1 = 3$，解得$x=2$。
把$x=2$，$z=1$代入③：$2 - y - 1 = -3$，解得$y=4$。
(2) 对原方程组编号：
$\begin{cases}3x - y + z = 10 \quad ①\\x + 2y - z = 6 \quad ②\\x + y + z = 12 \quad ③\end{cases}$
用①+②消去z：
$(3x - y + z) + (x + 2y - z) = 10 + 6$
化简得：$4x + y = 16 \quad ④$
用②+③消去z：
$(x + 2y - z) + (x + y + z) = 6 + 12$
化简得：$2x + 3y = 18 \quad ⑤$
将⑤×2得：$4x + 6y = 36 \quad ⑥$
用⑥-④：$(4x+6y)-(4x+y)=36-16$，解得$5y=20$，即$y=4$。
把$y=4$代入④：$4x + 4 = 16$，解得$x=3$。
把$x=3$，$y=4$代入③：$3 + 4 + z = 12$，解得$z=5$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2,\\y=4,\\z=1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=4,\\z=5\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、消元思想、加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的常规解法，重点在于灵活选择消元对象简化计算，计算过程中要注意符号运算，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，每个小正方形的顶点叫作格点，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”。格点多边形的面积记为$ S $，其内部的格点数记为$ N $，边界上的格点数记为$ L $。例如：如图，$△ ABC$是格点三角形，其中$ S=2 $，$ N=0 $，$ L=6 $。
(1)图中格点多边形$ DEFGHI $所对应的$ S=$
(2)经探究发现，任意格点多边形的面积$ S $都可以表示为$ S=aN+bL+c $，其中$ a,b,c $为常数。请结合图中信息，求出$ a,b,c $的值。
(3)当$ N=5 $，$ L=14 $时，$ S=$
(1)图中格点多边形$ DEFGHI $所对应的$ S=$
7
，$ N=$3
，$ L=$10
。(2)经探究发现，任意格点多边形的面积$ S $都可以表示为$ S=aN+bL+c $，其中$ a,b,c $为常数。请结合图中信息，求出$ a,b,c $的值。
(3)当$ N=5 $，$ L=14 $时，$ S=$
11
。答案
(1)$S=7$，$N=3$，$L=10$
(2)$\begin{cases}a=1,\\b=\dfrac{1}{2},\\c=-1\end{cases}$
(3)$S=11$
(2)$\begin{cases}a=1,\\b=\dfrac{1}{2},\\c=-1\end{cases}$
(3)$S=11$
解析
【分析】
第(1)问：计算格点多边形面积可采用割补法，把多边形DEFGHI分割为三角形和长方形分别求面积再求和；内部格点数N是指多边形内部不与边界重合的格点总数，直接计数即可；边界格点数L是指多边形各条边上的所有格点总数，计数时避免重复计算顶点。
第(2)问：公式$S=aN+bL+c$有3个未知常数，需要找到3组不同的$S、N、L$数值代入，得到三元一次方程组。除了题目给出的$△ ABC$的数值、第(1)问得到的数值，再选取一个简单格点图形（如边长为1的格点正方形）的数值，解方程组即可求出$a、b、c$的值。
第(3)问：将求得的$a、b、c$和题目给出的$N=5、L=14$代入公式直接计算即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 用割补法求面积：将多边形DEFGHI分割为$△ DEF$和矩形FGHI，$△ DEF$面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，矩形FGHI面积为$3×2=6$，故$S=1+6=7$；计数得内部格点共3个，即$N=3$；计数得边界格点共10个，即$L=10$。
(2) 选取三组已知数值代入公式：
① 由$△ ABC$的$S=2,N=0,L=6$，得$6b+c=2$；
② 由第(1)问的$S=7,N=3,L=10$，得$3a+10b+c=7$；
③ 取边长为1的格点正方形，其$S=1,N=0,L=4$，得$4b+c=1$；
联立得三元一次方程组：
$\begin{cases}6b + c = 2\\3a + 10b + c =7\\4b + c =1\end{cases}$
用第一个方程减第三个方程：$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$；
将$b=\frac{1}{2}$代入$4b+c=1$，得$2+c=1$，解得$c=-1$；
将$b=\frac{1}{2},c=-1$代入$3a+10b+c=7$，得$3a+5-1=7$，解得$a=1$。
(3) 将$a=1,b=\frac{1}{2},c=-1,N=5,L=14$代入公式，得：
$S=1×5+\frac{1}{2}×14-1=5+7-1=11$
【答案】
(1)$7$，$3$，$10$
(2)$\begin{cases}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$
(3)$11$
【知识点】
三元一次方程组求解，割补法求面积，格点计数
【点评】
本题结合格点多边形的特点考查三元一次方程组的实际应用，解题核心是准确获取已知条件建立方程组，同时需要学生细心计数格点、正确计算面积，能较好锻炼学生的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
第(1)问：计算格点多边形面积可采用割补法，把多边形DEFGHI分割为三角形和长方形分别求面积再求和；内部格点数N是指多边形内部不与边界重合的格点总数，直接计数即可；边界格点数L是指多边形各条边上的所有格点总数，计数时避免重复计算顶点。
第(2)问：公式$S=aN+bL+c$有3个未知常数，需要找到3组不同的$S、N、L$数值代入，得到三元一次方程组。除了题目给出的$△ ABC$的数值、第(1)问得到的数值，再选取一个简单格点图形（如边长为1的格点正方形）的数值，解方程组即可求出$a、b、c$的值。
第(3)问：将求得的$a、b、c$和题目给出的$N=5、L=14$代入公式直接计算即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 用割补法求面积：将多边形DEFGHI分割为$△ DEF$和矩形FGHI，$△ DEF$面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，矩形FGHI面积为$3×2=6$，故$S=1+6=7$；计数得内部格点共3个，即$N=3$；计数得边界格点共10个，即$L=10$。
(2) 选取三组已知数值代入公式：
① 由$△ ABC$的$S=2,N=0,L=6$，得$6b+c=2$；
② 由第(1)问的$S=7,N=3,L=10$，得$3a+10b+c=7$；
③ 取边长为1的格点正方形，其$S=1,N=0,L=4$，得$4b+c=1$；
联立得三元一次方程组：
$\begin{cases}6b + c = 2\\3a + 10b + c =7\\4b + c =1\end{cases}$
用第一个方程减第三个方程：$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$；
将$b=\frac{1}{2}$代入$4b+c=1$，得$2+c=1$，解得$c=-1$；
将$b=\frac{1}{2},c=-1$代入$3a+10b+c=7$，得$3a+5-1=7$，解得$a=1$。
(3) 将$a=1,b=\frac{1}{2},c=-1,N=5,L=14$代入公式，得：
$S=1×5+\frac{1}{2}×14-1=5+7-1=11$
【答案】
(1)$7$，$3$，$10$
(2)$\begin{cases}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$
(3)$11$
【知识点】
三元一次方程组求解，割补法求面积，格点计数
【点评】
本题结合格点多边形的特点考查三元一次方程组的实际应用，解题核心是准确获取已知条件建立方程组，同时需要学生细心计数格点、正确计算面积，能较好锻炼学生的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
