1. 如图,在边长为1的正方形网格中,点O与△ABC的各顶点均在格点上.请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁.

1. 解:如图,△A₁B₁C₁即为所求.

【分析】
要画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形，需依据旋转的性质解题：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。解题思路为：先确定△ABC三个顶点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点位置，再顺次连接对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 分别连接OA、OB、OC；
2. 以点O为旋转中心，将线段OA、OB、OC沿逆时针方向旋转90°，结合网格的边长特点，确定旋转后对应点A₁、B₁、C₁的位置，满足OA₁=OA、OB₁=OB、OC₁=OC，且∠AOA₁=∠BOB₁=∠COC₁=90°；
3. 依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得图形即为所求的△A₁B₁C₁。
【答案】
1. 解:如图,△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
旋转的性质；旋转作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查对旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）的理解和应用，作图时需注意对应点的位置准确，熟练运用旋转的性质即可快速完成作图。
【难度系数】
0.8

2. (人教九上 P₉₆ 习题 T₄ 改编)如图,已知△ABC,作下列旋转:
(1)以点A为中心,把△ABC逆时针旋转40°;
(2)以AC的中点为中心,把△ABC旋转180°.

2. (1) 如图1,△AB'C'即为所求.
(2) 如图2,△A''B''C''即为所求.

【分析】
本题考查旋转作图，解题需紧扣旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，按步骤找到各顶点的对应点后顺次连接即可。
(1) 以A为旋转中心时，点A位置不变，只需确定B、C两点逆时针旋转40°后的对应点：分别过A作AB、AC的逆时针方向40°角，截取等长线段得到对应点B'、C'，连接即可得旋转后的三角形。
(2) 以AC中点为中心旋转180°属于中心对称作图，旋转后对应点的连线过旋转中心且到中心的距离相等：先确定AC中点，A的对应点与C重合、C的对应点与A重合，再延长B与中点的连线至等长得到B的对应点，顺次连接各对应点即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 确定旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角度为40°；
② 以点A为顶点，在AB的逆时针侧作∠BAB'=40°，且截取AB'=AB，得到点B的对应点B'；同理作∠CAC'=40°，截取AC'=AC，得到点C的对应点C'；
③ 顺次连接A、B'、C'，所得△AB'C'即为所求。
(2) 作图步骤：
① 找到线段AC的中点O，确定旋转三要素：旋转中心为O，旋转角度为180°；
② 点A绕O旋转180°的对应点A''与点C重合，点C绕O旋转180°的对应点C''与点A重合；连接BO并延长至B''，使OB''=OB，得到点B的对应点B''；
③ 顺次连接A''、B''、C''，所得△A''B''C''即为所求。
【答案】
(1) 如图1,△AB'C'即为所求.
(2) 如图2,△A''B''C''即为所求.
【知识点】
旋转作图、旋转的性质、中心对称的性质
【点评】
本题是基础的几何作图类题目，核心是熟练掌握旋转作图的步骤，准确把握旋转三要素，正确找到各顶点旋转后的对应点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 综合与实践
如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, ∠ ABC = 30°$, 将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$30°$,得到$△ DBE$($A,D$两点为对应点),点$E$恰好在$AB$上.
(1)【动手实践】画出旋转后的图形；
(2)【问题探究】连接$AD$,求$∠ ADE$的度数.

3. (1) 如图,△DBE即为所求.
(2) 根据题意,得∠BED = ∠C = 90°, ∠DBE = ∠ABC = 30°,BD = BA.
∴ ∠ADB = ∠DAB = 1/2 × (180° - 30°) = 75°.
∵ ∠AED = 180° - 90° = 90°,
∴ ∠ADE = 90° - ∠DAE = 90° - 75° = 15°.

【分析】
(1) 画旋转后的图形需明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向是顺时针，旋转角为30°。先确定点C的对应点E在AB上，再将BA绕点B顺时针旋转30°得到点A的对应点D，顺次连接D、B、E即可得到△DBE。
(2) 求∠ADE的度数时，首先利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系：BD=BA，∠BED=∠C=90°，∠DBE=30°；再由等腰三角形的性质计算出∠DAB的度数；接着由平角的定义推出∠AED为直角；最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ADE的度数。
【解析】
(1) 根据旋转的性质，将△ABC绕点B顺时针旋转30°，点C的对应点E落在AB上，点A的对应点为D，连接DE、BD，得到的△DBE即为所求旋转后的图形。
(2) 由旋转的性质可得：
$∠ BED = ∠ C = 90°$，$∠ DBE = ∠ ABC = 30°$，$BD = BA$，
∴ $△ ABD$为等腰三角形，
∴ $∠ ADB = ∠ DAB = \frac{1}{2}×(180° - ∠ ABD) = \frac{1}{2}×(180° - 30°) = 75°$，
∵ $∠ BED = 90°$，点E在AB上，
∴ $∠ AED = 180° - ∠ BED = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ ADE = 90° - ∠ DAE = 90° - 75° = 15°$。
【答案】
(1) 如图，△DBE即为所求。
(2) $∠ ADE$的度数为$15°$。
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将旋转的性质与三角形角度计算结合考查，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质逐步推导即可，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

4. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标是（）


A.(4,5)
B.(4,4)
C.(3,5)
D.(3,4)

4. B

【分析】
要找到旋转中心点P的坐标，需利用旋转的核心性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，即旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。解题思路如下：首先确定两组对应点的坐标，再分别求出这两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心P。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，求解步骤如下：
1. 确定两组对应点坐标：$A(5,5)$和对应点$A'(5,3)$，$B(4,1)$和对应点$B'(1,4)$。
2. 求$AA'$的垂直平分线：
$AA'$为竖直方向线段，中点坐标为$(\frac{5+5}{2},\frac{5+3}{2})=(5,4)$，竖直直线的垂线为水平线，因此$AA'$的垂直平分线为直线$y=4$。
3. 求$BB'$的垂直平分线：
$BB'$的中点坐标为$(\frac{4+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2.5,2.5)$，
$BB'$所在直线的斜率$k_{BB'}=\frac{4-1}{1-4}=-1$，因此其垂直平分线的斜率为1（互为负倒数），
代入点斜式得方程：$y-2.5=1×(x-2.5)$，化简得$y=x$。
4. 求交点：联立$\begin{cases}y=4\\y=x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$，即点P坐标为$(4,4)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；线段垂直平分线的性质；平面直角坐标系
【点评】
本题考查旋转性质的基础应用，解题关键是牢记旋转中心到各组对应点距离相等的特征，通过求两条垂直平分线的交点即可快速得到结果，也可通过验证点到对应点距离是否相等进行检验。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$180°$后得到的图形，且点$A$与点$A_1$对应，点$B$与点$B_1$对应，请画出点$O$和$△ A_1B_1C_1$.（不写作法）

5. 解:如图所示,点O和△A₁B₁C₁即为所求.

【分析】
本题是旋转180°的作图题，旋转180°的本质是中心对称，根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。首先我们可以利用已知的对应点A和A₁确定旋转中心O：连接AA₁，AA₁的中点就是点O；接下来再根据中心对称的性质找到点B、C的对应点B₁、C₁，最后顺次连接各对应点即可得到△A₁B₁C₁。
【解析】
作图的隐含步骤如下：
1. 连接已知对应点A、A₁，取线段AA₁的中点，该点即为旋转中心O；
2. 连接BO并延长BO到B₁，使OB₁=OB，得到点B的对应点B₁；
3. 同理连接CO并延长CO到C₁，使OC₁=OC，得到点C的对应点C₁；
4. 顺次连接A₁、B₁、C₁，所得三角形即为所求的△A₁B₁C₁。
【答案】
如图所示,点O和△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
中心对称的性质，旋转作图，线段中点确定
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是理解旋转180°即中心对称的特征，熟练掌握对应点和对称中心的位置关系就能快速完成作图，考查的是图形变换的基础应用能力。
【难度系数】
0.8