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8. 如图16.2-3，将边长分别为a，b的两个正方形拼接在一起.
（1）用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积.
（2）当a＝2，b＝5时，求图中阴影部分的面积.
（1）用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积.
（2）当a＝2，b＝5时，求图中阴影部分的面积.
答案
8. （1）如答图34，延长FE，CB 交于点A. $S_{梯形ACDE} = \frac{1}{2}(AE+CD)· AC = \frac{1}{2}(a+a+b)b = ab+\frac{b^2}{2}$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2}$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE·AB=\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2}$. $\therefore S_{阴影}=S_{梯形ACDE}-S_{△ BCD}-S_{△ ABE}=ab+\frac{b^2}{2}-(\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2})-(\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2})=\frac{b^2}{2}$
（2）当$a=2$，$b=5$时，$S_{阴影}=\frac{b^2}{2}=\frac{25}{2}$解析
【分析】
求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和或差计算。本题我们可以通过延长FE、CB交于点A，构造出梯形ACDE，阴影部分的面积就等于梯形ACDE的面积减去两个空白三角形△BCD和△ABE的面积，再对所得的式子进行整式化简，就能得到阴影面积的表达式；第二问直接将a、b的数值代入第一问得到的表达式计算即可。
【解析】
（1）如答图34，延长FE，CB交于点A。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，可得：
$S_{梯形ACDE} = \frac{1}{2}(AE+CD)· AC = \frac{1}{2}(a+a+b)b = ab+\frac{b^2}{2}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，分别计算两个空白三角形的面积：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2}$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE·AB=\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2}$
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{梯形ACDE}-S_{△ BCD}-S_{△ ABE}=ab+\frac{b^2}{2}-(\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2})-(\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2})=\frac{b^2}{2}$
（2）当$a=2$，$b=5$时，将$b=5$代入$S_{阴影}=\frac{b^2}{2}$得：
$S_{阴影}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}$
【答案】
（1）$\frac{b^2}{2}$
（2）$\frac{25}{2}$
【知识点】
割补法求面积、整式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，需要熟练掌握梯形、三角形的面积公式，同时在整式化简过程中要注意去括号的符号问题，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和或差计算。本题我们可以通过延长FE、CB交于点A，构造出梯形ACDE，阴影部分的面积就等于梯形ACDE的面积减去两个空白三角形△BCD和△ABE的面积，再对所得的式子进行整式化简，就能得到阴影面积的表达式；第二问直接将a、b的数值代入第一问得到的表达式计算即可。
【解析】
（1）如答图34，延长FE，CB交于点A。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，可得：
$S_{梯形ACDE} = \frac{1}{2}(AE+CD)· AC = \frac{1}{2}(a+a+b)b = ab+\frac{b^2}{2}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，分别计算两个空白三角形的面积：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2}$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE·AB=\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2}$
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{梯形ACDE}-S_{△ BCD}-S_{△ ABE}=ab+\frac{b^2}{2}-(\frac{a^2}{2}+\frac{ab}{2})-(\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2})=\frac{b^2}{2}$
（2）当$a=2$，$b=5$时，将$b=5$代入$S_{阴影}=\frac{b^2}{2}$得：
$S_{阴影}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}$
【答案】
（1）$\frac{b^2}{2}$
（2）$\frac{25}{2}$
【知识点】
割补法求面积、整式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，需要熟练掌握梯形、三角形的面积公式，同时在整式化简过程中要注意去括号的符号问题，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
9. 阅读下列材料，并解决问题.
已知$x^2y=3$，求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析：考虑到满足$x^2y=3$的$x$，$y$的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将$x^2y=3$整体代入.
解：$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24.$
请你用上述方法解决问题：已知$ab=3$，求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)(-2b)$的值.
已知$x^2y=3$，求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析：考虑到满足$x^2y=3$的$x$，$y$的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将$x^2y=3$整体代入.
解：$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24.$
请你用上述方法解决问题：已知$ab=3$，求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)(-2b)$的值.
答案
原式$=-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab=-4×(ab)^3+6(ab)^2-8ab=-78$
解析
【分析】
本题已知$ab=3$，无法直接求出$a$、$b$的具体值，因此参照材料中的整体思想解题。首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再逆用积的乘方的性质，把展开后的各项转化为含有$ab$的幂的形式，最后将$ab=3$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据单项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}&(2a^3b^2 - 3a^2b + 4a)(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b) + (-3a^2b)×(-2b) + 4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\end{aligned}$
逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，将式子变形为含$ab$的形式：
原式$=-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab$
将$ab=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}&-4×3^3 + 6×3^2 - 8×3\\=&-4×27 + 6×9 - 24\\=&-108 + 54 - 24\\=&-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式运算，积的乘方逆运算，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和整体思想的应用，解题关键是将原式转化为含$ab$的代数式，无需单独求解$a$、$b$的值，简化了计算过程，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题已知$ab=3$，无法直接求出$a$、$b$的具体值，因此参照材料中的整体思想解题。首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再逆用积的乘方的性质，把展开后的各项转化为含有$ab$的幂的形式，最后将$ab=3$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据单项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}&(2a^3b^2 - 3a^2b + 4a)(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b) + (-3a^2b)×(-2b) + 4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\end{aligned}$
逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，将式子变形为含$ab$的形式：
原式$=-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab$
将$ab=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}&-4×3^3 + 6×3^2 - 8×3\\=&-4×27 + 6×9 - 24\\=&-108 + 54 - 24\\=&-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式运算，积的乘方逆运算，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和整体思想的应用，解题关键是将原式转化为含$ab$的代数式，无需单独求解$a$、$b$的值，简化了计算过程，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 下列计算正确的是（
A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a + 1) = a^2 + a$
D
）.A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a + 1) = a^2 + a$
答案
10. D
解析
【分析】
这道题考查整式运算的相关法则，解题时需逐个分析选项，结合对应运算法则判断正误：首先回忆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算规则，再将每个选项的计算结果和规则推导结果对比，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
A选项：$a^2$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，因此该选项计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，因此该选项计算错误；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，因此该选项计算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a + 1)=a·a + a·1 = a^2 + a$，因此该选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算的指数变化规则，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式运算的相关法则，解题时需逐个分析选项，结合对应运算法则判断正误：首先回忆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算规则，再将每个选项的计算结果和规则推导结果对比，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
A选项：$a^2$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，因此该选项计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，因此该选项计算错误；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，因此该选项计算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a + 1)=a·a + a·1 = a^2 + a$，因此该选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算的指数变化规则，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.8
11. 计算：$2a(a-1)-2a^2=（\quad）.$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式的化简运算，解题思路分为两步：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，第二步合并同类项得到最终结果，再匹配对应选项即可。计算时要注意单项式乘多项式时各项的符号不要出错。
【解析】
首先按照单项式乘多项式的法则展开括号部分：
$2a(a-1)=2a· a - 2a·1=2a^2 - 2a$
将展开结果代入原式计算：
原式$=2a^2 - 2a - 2a^2$
合并同类项后，$2a^2$和$-2a^2$相互抵消，可得：
原式$=-2a$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的基本法则和合并同类项的方法，计算时只要注意去括号的符号规则，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的化简运算，解题思路分为两步：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，第二步合并同类项得到最终结果，再匹配对应选项即可。计算时要注意单项式乘多项式时各项的符号不要出错。
【解析】
首先按照单项式乘多项式的法则展开括号部分：
$2a(a-1)=2a· a - 2a·1=2a^2 - 2a$
将展开结果代入原式计算：
原式$=2a^2 - 2a - 2a^2$
合并同类项后，$2a^2$和$-2a^2$相互抵消，可得：
原式$=-2a$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的基本法则和合并同类项的方法，计算时只要注意去括号的符号规则，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
12. 计算：$a(a - 3) - a^2 =$
$-3a$
。答案
12. $-3a$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算单项式乘多项式部分$a(a-3)$，根据单项式乘多项式的运算法则展开，再将展开后的结果与后面的$-a^2$合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$a(a-3)=a· a - a·3=a^2 - 3a$
第二步：将展开结果代入原式，合并同类项：
$a(a - 3) - a^2 = a^2 - 3a - a^2 = (a^2 - a^2) - 3a = -3a$
【答案】
$-3a$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法和加减运算的基本规则，解题时需注意单项式乘多项式的符号处理，合并同类项时准确识别同类项，避免因符号疏忽出错。
【难度系数】
0.9
本题属于整式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算单项式乘多项式部分$a(a-3)$，根据单项式乘多项式的运算法则展开，再将展开后的结果与后面的$-a^2$合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$a(a-3)=a· a - a·3=a^2 - 3a$
第二步：将展开结果代入原式，合并同类项：
$a(a - 3) - a^2 = a^2 - 3a - a^2 = (a^2 - a^2) - 3a = -3a$
【答案】
$-3a$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法和加减运算的基本规则，解题时需注意单项式乘多项式的符号处理，合并同类项时准确识别同类项，避免因符号疏忽出错。
【难度系数】
0.9
