23.(本小题8分)已知,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,D为直线BC上一动点,连接AD,在直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD.
(1)如图①,当点D在线段BC上时,过点E作EH⊥AC于点H.求证:EH=AC.
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接BE交CA的延长线于点M.求证:BM=EM.
(3)当点D在直线BC上时,连接BE交直线AC于点M,若2AC=5CM,则$\frac{S_{△ ADB}}{S_{△ AEM}}=$.

23.(1)【证明】
∵ AE⊥AD,∠ACB=90°,
∴ ∠EAH=90°−∠CAD,∠ADC=90°−∠CAD,
∴ ∠EAH=∠ADC.
又
∵ ∠AHE=∠ACB=90°,AE=AD,
∴ △AHE≌△DCA(AAS),
∴ EH=AC.
(2)【证明】过点E作EN⊥AC,交CA延长线于点N,如图①,
∵ AE⊥AD,∠ACB=90°,
∴ ∠EAN=90°−∠CAD,∠ADC=90°−∠CAD,
∴ ∠EAN=∠ADC.
∵ ∠ANE=∠DCA=90°,AE=AD,
∴ △ANE≌△DCA(AAS),
∴ EN=AC,
∵ AC=BC,
∴ AC=EN=BC.
∵ ∠EMN=∠BMC,∠N=∠BCA=90°,
∴ △ENM≌△BCM(AAS),
∴ BM=EM.

(3)【解】$\frac{4}{3}$或$\frac{4}{7}$
分析:当点D在线段BC上时,如图②,
∵ 2AC=5CM,
∴ 设AC=5a,则CM=2a.
由(1)得△AHE≌△DCA,
则AH=CD,EH=AC=BC=5a.
∵ ∠EHM=∠BCM=90°,∠BMC=∠EMH,
∴ △MHE≌△MCB(AAS),
∴ HM=CM=2a,
∴ AH=AC−CM−HM=5a−2a−2a=a,
∴ AM=AH+HM=3a,CD=AH=a,EH=AC=5a,BD=BC−CD=4a,
∴ $\frac{S_{△ADB}}{S_{△AEM}}=\frac{\frac{1}{2}BD×AC}{\frac{1}{2}AM×EH}=\frac{\frac{1}{2}×4a×5a}{\frac{1}{2}×3a×5a}=\frac{4}{3}$;
当点D在线段CB的延长线上时,过点E作EN⊥AC,交AC的延长线于点N,如图③.
∵ 2AC=5CM,
∴ 设AC=5a,则CM=2a.
∵ EN⊥AC,AE⊥AD,
∴ ∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°,
∴ ∠EAN=90°−∠CAD,∠ADC=90°−∠CAD,
∴ ∠EAN=∠ADC.
又
∵ ∠ANE=∠DCA=90°,AE=AD,
∴ △ANE≌△DCA(AAS),
∴ EN=AC,AN=CD.
∵ AC=BC,
∴ EN=BC.
∵ ∠EMN=∠BMC,∠N=∠BCM=90°,
∴ △ENM≌△BCM(AAS),
∴ CM=NM=2a,即 NE=BC=AC=5a,
∴ AN=AC+CM+NM=9a,
∴ AM=AC+CM=7a,AN=CD=9a,
∴ $\frac{S_{△ADB}}{S_{△AEM}}=\frac{\frac{1}{2}BD×AC}{\frac{1}{2}AM×EN}=\frac{\frac{1}{2}×4a×5a}{\frac{1}{2}×7a×5a}=\frac{4}{7}$;
当点D在线段BC的延长线上,得AC＜CM,
∴ 2AC=5CM不可能,舍去.
综上所述,$\frac{S_{△ADB}}{S_{△AEM}}=\frac{4}{3}$或$\frac{4}{7}$.