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7. 若关于$ x $的一元二次方程$ 2x^2 + bx + c = 0 $满足$ 2 + b + c = 0 $，则这个方程必有一个根是（
A.$ x = -1 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = \frac{1}{2} $
D.$ x = 1 $
D
）A.$ x = -1 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = \frac{1}{2} $
D.$ x = 1 $
答案
7. D 【解析】
∵一元二次方程$ 2x^2 + bx + c = 0 $满足$ 2 + b + c = 0 $，
∴当$ x = 1 $时，$ 2x^2 + bx + c = 0 $成立.
∴这个方程必有一个根是$ x = 1 $.
故选D.
∵一元二次方程$ 2x^2 + bx + c = 0 $满足$ 2 + b + c = 0 $，
∴当$ x = 1 $时，$ 2x^2 + bx + c = 0 $成立.
∴这个方程必有一个根是$ x = 1 $.
故选D.
解析
【分析】
要判断一元二次方程必有哪个根，可根据一元二次方程根的定义思考：若某个x的值代入方程后，左边等于右边（即等于0），则这个x就是方程的根。观察已知条件$2 + b + c = 0$，和方程左边的代数式$2x^2 + bx + c$对比，可尝试代入不同的x值，看哪个代入后能得到$2 + b + c$的形式，即可确定对应根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
将$x=1$代入方程$2x^2 + bx + c = 0$的左边，得：
$2×1^2 + b×1 + c = 2 + b + c$
由题可知$2 + b + c = 0$，因此当$x=1$时，方程左边等于右边，满足方程。
故这个方程必有一个根是$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题时只需将已知条件和方程左边的代数式对应，通过代入验证即可快速得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程必有哪个根，可根据一元二次方程根的定义思考：若某个x的值代入方程后，左边等于右边（即等于0），则这个x就是方程的根。观察已知条件$2 + b + c = 0$，和方程左边的代数式$2x^2 + bx + c$对比，可尝试代入不同的x值，看哪个代入后能得到$2 + b + c$的形式，即可确定对应根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
将$x=1$代入方程$2x^2 + bx + c = 0$的左边，得：
$2×1^2 + b×1 + c = 2 + b + c$
由题可知$2 + b + c = 0$，因此当$x=1$时，方程左边等于右边，满足方程。
故这个方程必有一个根是$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题时只需将已知条件和方程左边的代数式对应，通过代入验证即可快速得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
8.若一元二次方程$x^2 -3x +c =0$的一个根为$x=2$，则一次函数$y=3x +c$的图象不经过第
四
象限.答案
8. 四 【解析】根据题意，得$ 2^2 - 3×2 + c = 0 $.
解得$ c = 2 $.
$\therefore y = 3x + 2$.
进而一次函数$ y = 3x + 2 $的图象不经过第四象限.
解得$ c = 2 $.
$\therefore y = 3x + 2$.
进而一次函数$ y = 3x + 2 $的图象不经过第四象限.
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=2代入一元二次方程，即可求出参数c的值；再将c的值代入一次函数解析式，结合一次函数y=kx+b中k、b的符号与图象经过象限的关系，就能判断出图象不经过的象限。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 -3x +c =0$的根，
∴将x=2代入方程得：$2^2 - 3×2 + c = 0$，
计算得$4 - 6 + c = 0$，解得$c=2$。
将$c=2$代入一次函数解析式得$y=3x + 2$，
在一次函数$y=3x+2$中，$k=3＞0$，函数图象呈上升趋势，$b=2＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的概念与一次函数图象性质相结合考查，解题关键是先求出参数c的值，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，熟练掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=2代入一元二次方程，即可求出参数c的值；再将c的值代入一次函数解析式，结合一次函数y=kx+b中k、b的符号与图象经过象限的关系，就能判断出图象不经过的象限。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 -3x +c =0$的根，
∴将x=2代入方程得：$2^2 - 3×2 + c = 0$，
计算得$4 - 6 + c = 0$，解得$c=2$。
将$c=2$代入一次函数解析式得$y=3x + 2$，
在一次函数$y=3x+2$中，$k=3＞0$，函数图象呈上升趋势，$b=2＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的概念与一次函数图象性质相结合考查，解题关键是先求出参数c的值，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，熟练掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9.若$3a+6＞0$，且$ax^2 -5x +3=0$是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
$a＞-2$且$a≠0$
答案
9. $a＞-2$且$a≠0$ 【解析】由$ 3a + 6 ＞ 0 $，得$ a ＞ -2 $.
$\because ax^2 - 5x + 3 = 0 $是关于$ x $的一元二次方程，
$\therefore a ≠ 0 $.
$\therefore a $的取值范围是$ a ＞ -2 $且$ a ≠ 0 $.
$\because ax^2 - 5x + 3 = 0 $是关于$ x $的一元二次方程，
$\therefore a ≠ 0 $.
$\therefore a $的取值范围是$ a ＞ -2 $且$ a ≠ 0 $.
解析
【分析】
解题时需结合题目给出的两个约束条件推导a的取值范围：首先解不等式3a+6＞0得到a的第一个取值范围，再根据一元二次方程的核心要求（二次项系数不为0）得到a的第二个限制条件，最终取两个范围的公共部分即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$3a+6＞0$：
移项得$3a ＞ -6$，两边同时除以3，解得$a ＞ -2$。
2. 结合一元二次方程的定义分析：
$\because ax^2 -5x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore$ 方程的二次项系数不能为0，即$a ≠ 0$。
3. 综合两个条件：$a$需要同时满足$a ＞ -2$和$a ≠ 0$。
【答案】
$a＞-2$且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，主要考查多约束条件下参数范围的求解，容易出现的错误是遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先梳理全所有限制条件再综合推导结果。
【难度系数】
0.8
解题时需结合题目给出的两个约束条件推导a的取值范围：首先解不等式3a+6＞0得到a的第一个取值范围，再根据一元二次方程的核心要求（二次项系数不为0）得到a的第二个限制条件，最终取两个范围的公共部分即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$3a+6＞0$：
移项得$3a ＞ -6$，两边同时除以3，解得$a ＞ -2$。
2. 结合一元二次方程的定义分析：
$\because ax^2 -5x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore$ 方程的二次项系数不能为0，即$a ≠ 0$。
3. 综合两个条件：$a$需要同时满足$a ＞ -2$和$a ≠ 0$。
【答案】
$a＞-2$且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，主要考查多约束条件下参数范围的求解，容易出现的错误是遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先梳理全所有限制条件再综合推导结果。
【难度系数】
0.8
10. 已知$m$，$n$是方程$x^2 + 3021x - 3022 = 0$的两根，试求代数式$(m^2 + 3021m - 3021)(n^2 + 3021n + 1)$的值。
答案
10.【解】$\because m,n $是方程$ x^2 + 3\ 021x - 3\ 022 = 0 $的两根，
$\therefore m^2 + 3\ 021m - 3\ 022 = 0, n^2 + 3\ 021n - 3\ 022 = 0.$
$\therefore m^2 + 3\ 021m = 3\ 022, n^2 + 3\ 021n = 3\ 022.$
$\therefore 原式 = (3\ 022 - 3\ 021) × (3\ 022 + 1) = 3\ 023.$
$\therefore m^2 + 3\ 021m - 3\ 022 = 0, n^2 + 3\ 021n - 3\ 022 = 0.$
$\therefore m^2 + 3\ 021m = 3\ 022, n^2 + 3\ 021n = 3\ 022.$
$\therefore 原式 = (3\ 022 - 3\ 021) × (3\ 022 + 1) = 3\ 023.$
解析
【分析】
本题不需要求解m、n的具体值，首先根据一元二次方程根的定义，将m、n分别代入原方程，可得到关于$m^2 + 3021m$和$n^2 + 3021n$的等式，再将这两个式子作为整体代入所求代数式，直接计算即可得到结果，这种整体代入的方法可以大幅简化计算量。
【解析】
∵m，n是方程$x^2 + 3021x - 3022 = 0$的两根，
∴将m代入方程得：$m^2 + 3021m - 3022 = 0$，即$m^2 + 3021m = 3022$；
将n代入方程得：$n^2 + 3021n - 3022 = 0$，即$n^2 + 3021n = 3022$。
将上述两个结果代入所求代数式：
原式=$(3022 - 3021)×(3022 + 1)$
=$1×3023$
=$3023$
【答案】
3023
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关代数式求值的典型题型，核心是运用方程根的定义得到对应代数式的值，通过整体思想代入计算，规避了求解方程根的复杂运算，考查学生对基础知识的运用能力和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题不需要求解m、n的具体值，首先根据一元二次方程根的定义，将m、n分别代入原方程，可得到关于$m^2 + 3021m$和$n^2 + 3021n$的等式，再将这两个式子作为整体代入所求代数式，直接计算即可得到结果，这种整体代入的方法可以大幅简化计算量。
【解析】
∵m，n是方程$x^2 + 3021x - 3022 = 0$的两根，
∴将m代入方程得：$m^2 + 3021m - 3022 = 0$，即$m^2 + 3021m = 3022$；
将n代入方程得：$n^2 + 3021n - 3022 = 0$，即$n^2 + 3021n = 3022$。
将上述两个结果代入所求代数式：
原式=$(3022 - 3021)×(3022 + 1)$
=$1×3023$
=$3023$
【答案】
3023
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关代数式求值的典型题型，核心是运用方程根的定义得到对应代数式的值，通过整体思想代入计算，规避了求解方程根的复杂运算，考查学生对基础知识的运用能力和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11.已知$△ ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$.
若$-2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，则$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形还是等边三角形？请写出你的结论，并说明理由.
若$-2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，则$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形还是等边三角形？请写出你的结论，并说明理由.
答案
11.【解】$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形. 理由如下：
$\because -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，
$\therefore (b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0.$
整理，得$ 4b - 4a = 0.$
$\therefore b = a.$
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
$\because 方程(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，
$\therefore b - c ≠ 0.$
$\therefore b ≠ c.$
$\therefore △ ABC$ 不是等边三角形.
故$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形.
$\because -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，
$\therefore (b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0.$
整理，得$ 4b - 4a = 0.$
$\therefore b = a.$
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
$\because 方程(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，
$\therefore b - c ≠ 0.$
$\therefore b ≠ c.$
$\therefore △ ABC$ 不是等边三角形.
故$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形.
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①根据方程根的定义，将x=-2代入给定的一元二次方程，对等式进行化简整理，得到△ABC三边的等量关系；②结合一元二次方程的定义，可知二次项系数不为0，由此得到三边的不等关系；③最后结合等腰三角形、等边三角形的判定规则，即可确定三角形的类型。
【解析】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形，理由如下：
∵-2是关于x的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$的一个根，
∴将x=-2代入方程得：$(b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$，
展开整理得：$4(b-c)+8(c-a)+4(a-c)=0$，
化简可得：$4b - 4a = 0$，即$b=a$，
∴△ABC是等腰三角形。
又
∵方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数$b - c ≠ 0$，即$b≠c$，
∴△ABC不是等边三角形。
综上，△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【答案】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题融合了代数与几何的基础知识点，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误将三角形判定为等边三角形，解题时需注意审清题干关键词，充分挖掘隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①根据方程根的定义，将x=-2代入给定的一元二次方程，对等式进行化简整理，得到△ABC三边的等量关系；②结合一元二次方程的定义，可知二次项系数不为0，由此得到三边的不等关系；③最后结合等腰三角形、等边三角形的判定规则，即可确定三角形的类型。
【解析】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形，理由如下：
∵-2是关于x的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$的一个根，
∴将x=-2代入方程得：$(b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$，
展开整理得：$4(b-c)+8(c-a)+4(a-c)=0$，
化简可得：$4b - 4a = 0$，即$b=a$，
∴△ABC是等腰三角形。
又
∵方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数$b - c ≠ 0$，即$b≠c$，
∴△ABC不是等边三角形。
综上，△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【答案】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题融合了代数与几何的基础知识点，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误将三角形判定为等边三角形，解题时需注意审清题干关键词，充分挖掘隐含条件。
【难度系数】
0.7
