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基础知识·预习
问题1 用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须是什么形式？
问题2 一元二次方程的根有哪几种情况？
问题3 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
问题1 用直接开平方法解一元二次方程时，方程必须是什么形式？
问题2 一元二次方程的根有哪几种情况？
问题3 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案
1. 方程必须是形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，即左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
2. 共有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根。
3. 一般步骤为：
①化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；
②移：把常数项移到方程的右边；
③配：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边化为完全平方式；
④开：若方程右边为非负数，用直接开平方法求解，若方程右边为负数，则方程无实数根。
2. 共有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根。
3. 一般步骤为：
①化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；
②移：把常数项移到方程的右边；
③配：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边化为完全平方式；
④开：若方程右边为非负数，用直接开平方法求解，若方程右边为负数，则方程无实数根。
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程解法相关的基础概念题，可结合对应方法的运算原理逐一思考：
1. 思考直接开平方法的适用形式时，结合开平方运算的要求：被开方数必须非负，因此方程左边需为含未知数的完全平方式，右边需为非负常数；
2. 思考一元二次方程根的情况时，结合实数范围内平方数的非负性，按方程变形后右边常数的正负可对应得到三类根的情况；
3. 思考配方法的步骤时，按照“将方程逐步转化为可直接开平方的形式”的逻辑梳理：先统一二次项系数为1方便凑完全平方，再将常数项移到等号另一侧，接着添加常数项凑出完全平方式，最后用直接开平方法求解。
【解析】
问题1：直接开平方法是对完全平方式进行开平方运算，由于负数没有实数平方根，因此只有当方程形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）时，才能用直接开平方法求解。
问题2：在实数范围内求解一元二次方程时，根据开平方的运算规则，根共分为三类：判别式大于0时对应两个不等实根，判别式等于0时对应两个相等实根，判别式小于0时无实根。
问题3：配方法的核心是将普通一元二次方程转化为可直接开平方的形式，操作时按先化简二次项系数、再移项、再凑完全平方式、最后开方的顺序进行即可。
【答案】
1. 方程必须是形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，即左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
2. 共有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根。
3. 一般步骤为：
①化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；
②移：把常数项移到方程的右边；
③配：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边化为完全平方式；
④开：若方程右边为非负数，用直接开平方法求解，若方程右边为负数，则方程无实数根。
【知识点】
直接开平方法适用条件，一元二次方程根的分类，配方法解方程步骤
【点评】
这三道题是一元二次方程解法的核心基础概念题，掌握上述内容是后续熟练求解一元二次方程、运用配方法解决各类代数问题的重要前提，需在理解运算原理的基础上准确记忆，避免混淆操作步骤。
【难度系数】
0.9
这三道题均为一元二次方程解法相关的基础概念题，可结合对应方法的运算原理逐一思考：
1. 思考直接开平方法的适用形式时，结合开平方运算的要求：被开方数必须非负，因此方程左边需为含未知数的完全平方式，右边需为非负常数；
2. 思考一元二次方程根的情况时，结合实数范围内平方数的非负性，按方程变形后右边常数的正负可对应得到三类根的情况；
3. 思考配方法的步骤时，按照“将方程逐步转化为可直接开平方的形式”的逻辑梳理：先统一二次项系数为1方便凑完全平方，再将常数项移到等号另一侧，接着添加常数项凑出完全平方式，最后用直接开平方法求解。
【解析】
问题1：直接开平方法是对完全平方式进行开平方运算，由于负数没有实数平方根，因此只有当方程形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）时，才能用直接开平方法求解。
问题2：在实数范围内求解一元二次方程时，根据开平方的运算规则，根共分为三类：判别式大于0时对应两个不等实根，判别式等于0时对应两个相等实根，判别式小于0时无实根。
问题3：配方法的核心是将普通一元二次方程转化为可直接开平方的形式，操作时按先化简二次项系数、再移项、再凑完全平方式、最后开方的顺序进行即可。
【答案】
1. 方程必须是形如$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，即左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。
2. 共有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根。
3. 一般步骤为：
①化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；
②移：把常数项移到方程的右边；
③配：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边化为完全平方式；
④开：若方程右边为非负数，用直接开平方法求解，若方程右边为负数，则方程无实数根。
【知识点】
直接开平方法适用条件，一元二次方程根的分类，配方法解方程步骤
【点评】
这三道题是一元二次方程解法的核心基础概念题，掌握上述内容是后续熟练求解一元二次方程、运用配方法解决各类代数问题的重要前提，需在理解运算原理的基础上准确记忆，避免混淆操作步骤。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】用直接开平方法解下列方程.
(1)$4x^2 -9=0$.
(2)$(x-1)^2 -49=0$.
(3)$2(x+5)^2=\frac{1}{2}$.
【解】(1)移项,并将二次项系数化为1,
得$x^2=\frac{9}{4}$.
由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,
即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$(x-1)^2=49$.
由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3)方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
(1)$4x^2 -9=0$.
(2)$(x-1)^2 -49=0$.
(3)$2(x+5)^2=\frac{1}{2}$.
【解】(1)移项,并将二次项系数化为1,
得$x^2=\frac{9}{4}$.
由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,
即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$(x-1)^2=49$.
由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3)方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
答案
(1) 移项,并将二次项系数化为1,得$x^2=\frac{9}{4}$.由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2) 移项,得$(x-1)^2=49$.由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3) 方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
(2) 移项,得$(x-1)^2=49$.由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3) 方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“(含未知数的整式)²=非负数”的形式，再利用平方根的定义降次为两个一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)对于不含一次项的方程，先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到x²等于非负数的形式后直接开平方求解；(2)对于含完全平方式的方程，先移项得到完全平方式等于非负数的结构，将括号内的整式看作整体开平方，再解得到的两个一元一次方程即可；(3)对于完全平方式前带系数的方程，先将系数化为1，得到完全平方式等于非负数的形式，再把括号内的整式看作整体开平方，求解对应的一元一次方程即可。
【解析】
(1) 移项,并将二次项系数化为1,得$x^2=\frac{9}{4}$.由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2) 移项,得$(x-1)^2=49$.由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3) 方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
(2)$x_1=8,x_2=-6$
(3)$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的定义
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握直接开平方法的适用形式，能快速将原方程转化为平方项等于非负数的结构，开平方时要注意不要遗漏负平方根，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.85
用直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“(含未知数的整式)²=非负数”的形式，再利用平方根的定义降次为两个一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)对于不含一次项的方程，先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到x²等于非负数的形式后直接开平方求解；(2)对于含完全平方式的方程，先移项得到完全平方式等于非负数的结构，将括号内的整式看作整体开平方，再解得到的两个一元一次方程即可；(3)对于完全平方式前带系数的方程，先将系数化为1，得到完全平方式等于非负数的形式，再把括号内的整式看作整体开平方，求解对应的一元一次方程即可。
【解析】
(1) 移项,并将二次项系数化为1,得$x^2=\frac{9}{4}$.由此可得$x=\pm\frac{3}{2}$,即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2) 移项,得$(x-1)^2=49$.由此可得$x-1=\pm7$,
$x-1=7$,或$x-1=-7$,
即$x_1=8,x_2=-6$.
(3) 方程两边都除以2,得$(x+5)^2=\frac{1}{4}$.
由此可得$x+5=\pm\frac{1}{2}$,
$x+5=\frac{1}{2}$,或$x+5=-\frac{1}{2}$,
即$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
(2)$x_1=8,x_2=-6$
(3)$x_1=-\frac{9}{2},x_2=-\frac{11}{2}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的定义
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握直接开平方法的适用形式，能快速将原方程转化为平方项等于非负数的结构，开平方时要注意不要遗漏负平方根，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.85
