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1. 用直接开平方法解下列方程.
(1) $(3x - 2)^2 = 4^2$.
(2) $(2x + 6)^2 - 8 = 0$.
(3) $(3x + 1)^2 = \dfrac{1}{4}(2x - 1)^2$.
(1) $(3x - 2)^2 = 4^2$.
(2) $(2x + 6)^2 - 8 = 0$.
(3) $(3x + 1)^2 = \dfrac{1}{4}(2x - 1)^2$.
答案
1. (1) 由方程$(3x-2)^2=4^2$，得$3x-2=\pm4$，$3x-2=4$，或$3x-2=-4$，即$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$.
(2) 移项，得$(2x+6)^2=8$.
由此可得$2x+6=\pm2\sqrt{2}$，
$2x+6=2\sqrt{2}$，或$2x+6=-2\sqrt{2}$，
即$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$.
(3) 由方程$(3x+1)^2=\dfrac{1}{4}(2x-1)^2$，得$3x+1=\pm(x-\dfrac{1}{2})$，
$3x+1=x-\dfrac{1}{2}$，或$3x+1=\dfrac{1}{2}-x$，
即$x_1=-\dfrac{3}{4}$，$x_2=-\dfrac{1}{8}$.
(2) 移项，得$(2x+6)^2=8$.
由此可得$2x+6=\pm2\sqrt{2}$，
$2x+6=2\sqrt{2}$，或$2x+6=-2\sqrt{2}$，
即$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$.
(3) 由方程$(3x+1)^2=\dfrac{1}{4}(2x-1)^2$，得$3x+1=\pm(x-\dfrac{1}{2})$，
$3x+1=x-\dfrac{1}{2}$，或$3x+1=\dfrac{1}{2}-x$，
即$x_1=-\dfrac{3}{4}$，$x_2=-\dfrac{1}{8}$.
解析
【分析】
直接开平方法的核心依据是平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$；若方程两边都是完全平方式即$a^2=b^2$，则$a=\pm b$。解题时先将方程整理为“完全平方式等于非负常数（或另一完全平方式）”的形式，再开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
(1) 方程已为完全平方式等于正整数的形式，直接开平方拆分求解即可；
(2) 先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式后再开平方求解；
(3) 方程两边都是完全平方式，直接开平方后拆分得到两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$(3x - 2)^2 = 4^2$开平方，得$3x - 2 = \pm4$
拆分为两个一元一次方程：
$3x-2=4$，解得$x=2$；
$3x-2=-4$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$。
(2) 移项得$(2x + 6)^2 = 8$
开平方得$2x + 6 = \pm2\sqrt{2}$
拆分为两个一元一次方程：
$2x+6=2\sqrt{2}$，移项化简得$x=-3+\sqrt{2}$；
$2x+6=-2\sqrt{2}$，移项化简得$x=-3-\sqrt{2}$。
(3) 对$(3x + 1)^2 = \dfrac{1}{4}(2x - 1)^2$开平方，得$3x + 1 = \pm(x-\dfrac{1}{2})$
拆分为两个一元一次方程：
$3x+1=x-\dfrac{1}{2}$，移项得$2x=-\dfrac{3}{2}$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$；
$3x+1=\dfrac{1}{2}-x$，移项得$4x=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
(2) $x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$
(3) $x_1=-\dfrac{3}{4}$，$x_2=-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的适用形式，开平方时需同时考虑正负两种情况，避免漏解，最终转化为一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
直接开平方法的核心依据是平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$；若方程两边都是完全平方式即$a^2=b^2$，则$a=\pm b$。解题时先将方程整理为“完全平方式等于非负常数（或另一完全平方式）”的形式，再开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
(1) 方程已为完全平方式等于正整数的形式，直接开平方拆分求解即可；
(2) 先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式后再开平方求解；
(3) 方程两边都是完全平方式，直接开平方后拆分得到两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$(3x - 2)^2 = 4^2$开平方，得$3x - 2 = \pm4$
拆分为两个一元一次方程：
$3x-2=4$，解得$x=2$；
$3x-2=-4$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$。
(2) 移项得$(2x + 6)^2 = 8$
开平方得$2x + 6 = \pm2\sqrt{2}$
拆分为两个一元一次方程：
$2x+6=2\sqrt{2}$，移项化简得$x=-3+\sqrt{2}$；
$2x+6=-2\sqrt{2}$，移项化简得$x=-3-\sqrt{2}$。
(3) 对$(3x + 1)^2 = \dfrac{1}{4}(2x - 1)^2$开平方，得$3x + 1 = \pm(x-\dfrac{1}{2})$
拆分为两个一元一次方程：
$3x+1=x-\dfrac{1}{2}$，移项得$2x=-\dfrac{3}{2}$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$；
$3x+1=\dfrac{1}{2}-x$，移项得$4x=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
(2) $x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$
(3) $x_1=-\dfrac{3}{4}$，$x_2=-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的适用形式，开平方时需同时考虑正负两种情况，避免漏解，最终转化为一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】用配方法解下列方程.
(1)$x^2 -6x=-4$.
(2)$x^2 +x -1=0$.
(3)$2x^2 +4x=1$.
【解】(1)配方,得 $x^2 -6x +3^2 = -4 +3^2$,
即$(x-3)^2=5$.
由此可得 $x-3=\pm\sqrt{5}$,
$x-3=\sqrt{5}$,或 $x-3=-\sqrt{5}$,
即 $x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$.
(2)移项,得 $x^2 +x=1$.
配方,得 $x^2 +x +(\frac{1}{2})^2=1+(\frac{1}{2})^2$,
即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$.
由此可得 $x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$,
$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,或 $x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$,
即 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(1)$x^2 -6x=-4$.
(2)$x^2 +x -1=0$.
(3)$2x^2 +4x=1$.
【解】(1)配方,得 $x^2 -6x +3^2 = -4 +3^2$,
即$(x-3)^2=5$.
由此可得 $x-3=\pm\sqrt{5}$,
$x-3=\sqrt{5}$,或 $x-3=-\sqrt{5}$,
即 $x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$.
(2)移项,得 $x^2 +x=1$.
配方,得 $x^2 +x +(\frac{1}{2})^2=1+(\frac{1}{2})^2$,
即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$.
由此可得 $x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$,
$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,或 $x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$,
即 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
答案
解：
(1) 配方，得 $x^2 - 6x + 3^2 = -4 + 3^2$，
即 $(x-3)^2 = 5$。
由此可得 $x-3 = \pm\sqrt{5}$，
$x-3 = \sqrt{5}$，或 $x-3 = -\sqrt{5}$，
即 $x_1 = 3+\sqrt{5}$，$x_2 = 3-\sqrt{5}$。
(2) 移项，得 $x^2 + x = 1$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，
即 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$。
由此可得 $x+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，或 $x+\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 二次项系数化为1，得 $x^2 + 2x = \frac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1^2 = \frac{1}{2} + 1^2$，
即 $(x+1)^2 = \frac{3}{2}$。
由此可得 $x+1 = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x+1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$，或 $x+1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(1) 配方，得 $x^2 - 6x + 3^2 = -4 + 3^2$，
即 $(x-3)^2 = 5$。
由此可得 $x-3 = \pm\sqrt{5}$，
$x-3 = \sqrt{5}$，或 $x-3 = -\sqrt{5}$，
即 $x_1 = 3+\sqrt{5}$，$x_2 = 3-\sqrt{5}$。
(2) 移项，得 $x^2 + x = 1$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，
即 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$。
由此可得 $x+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，或 $x+\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 二次项系数化为1，得 $x^2 + 2x = \frac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1^2 = \frac{1}{2} + 1^2$，
即 $(x+1)^2 = \frac{3}{2}$。
由此可得 $x+1 = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x+1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$，或 $x+1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循固定思路：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式；④用直接开平方法求解即可。对应三个小题：(1)已完成移项且二次项系数为1，直接配方即可；(2)先将常数项移到右侧再配方；(3)先把二次项系数化为1，再进行后续配方求解。
【解析】
(1) 配方，得 $x^2 - 6x + 3^2 = -4 + 3^2$，
即 $(x-3)^2 = 5$。
由此可得 $x-3 = \pm\sqrt{5}$，
$x-3 = \sqrt{5}$，或 $x-3 = -\sqrt{5}$，
即 $x_1 = 3+\sqrt{5}$，$x_2 = 3-\sqrt{5}$。
(2) 移项，得 $x^2 + x = 1$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，
即 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$。
由此可得 $x+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，或 $x+\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 二次项系数化为1，得 $x^2 + 2x = \frac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1^2 = \frac{1}{2} + 1^2$，
即 $(x+1)^2 = \frac{3}{2}$。
由此可得 $x+1 = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x+1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$，或 $x+1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$；
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；
(3) $x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了配方法的常见考查形式，解题时要牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加等号右侧的数。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程遵循固定思路：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式；④用直接开平方法求解即可。对应三个小题：(1)已完成移项且二次项系数为1，直接配方即可；(2)先将常数项移到右侧再配方；(3)先把二次项系数化为1，再进行后续配方求解。
【解析】
(1) 配方，得 $x^2 - 6x + 3^2 = -4 + 3^2$，
即 $(x-3)^2 = 5$。
由此可得 $x-3 = \pm\sqrt{5}$，
$x-3 = \sqrt{5}$，或 $x-3 = -\sqrt{5}$，
即 $x_1 = 3+\sqrt{5}$，$x_2 = 3-\sqrt{5}$。
(2) 移项，得 $x^2 + x = 1$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，
即 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$。
由此可得 $x+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，或 $x+\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 二次项系数化为1，得 $x^2 + 2x = \frac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1^2 = \frac{1}{2} + 1^2$，
即 $(x+1)^2 = \frac{3}{2}$。
由此可得 $x+1 = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x+1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$，或 $x+1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$；
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；
(3) $x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了配方法的常见考查形式，解题时要牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加等号右侧的数。
【难度系数】
0.8
