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5. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形的长比宽多4，面积是96，求这个矩形的长.
(2)一个直角三角形的两条直角边的长的差是7，斜边长是13，求较短的直角边的长.
(1)一个矩形的长比宽多4，面积是96，求这个矩形的长.
(2)一个直角三角形的两条直角边的长的差是7，斜边长是13，求较短的直角边的长.
答案
5. 【解】(1)设这个矩形的长为 x.
根据题意,得 $x(x-4)=96$.
去括号,得 $x^2 - 4x = 96$.
移项,得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96 = 0$.
(2)设较短的直角边的长为 x.
根据题意,得 $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$.
去括号,得 $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$.
移项,合并同类项,得 $2x^2 + 14x - 120 = 0$.
$x^2$ 的系数化为1,得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60 = 0$.
根据题意,得 $x(x-4)=96$.
去括号,得 $x^2 - 4x = 96$.
移项,得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96 = 0$.
(2)设较短的直角边的长为 x.
根据题意,得 $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$.
去括号,得 $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$.
移项,合并同类项,得 $2x^2 + 14x - 120 = 0$.
$x^2$ 的系数化为1,得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60 = 0$.
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列一元二次方程并化为一般形式，解题思路如下：第一步设未知数，根据所求量设出合适的未知数，用含未知数的代数式表示出其他相关量；第二步找等量关系列方程：(1)利用“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程；(2)利用直角三角形勾股定理“两条直角边的平方和=斜边的平方”列方程；最后将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数）的一般形式，注意一般形式通常将二次项系数化为互质的正整数。
【解析】
(1)设这个矩形的长为$x$，则宽为$x-4$。
根据题意，得 $x(x-4)=96$。
去括号，得 $x^2 - 4x = 96$。
移项，得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96 = 0$。
(2)设较短的直角边的长为$x$，则较长直角边的长为$x+7$。
根据题意，得 $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$。
去括号，得 $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$。
移项，合并同类项，得 $2x^2 + 14x - 120 = 0$。
将$x^2$的系数化为1，得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60 = 0$。
【答案】
(1) $x^2 - 4x - 96 = 0$
(2) $x^2 + 7x - 60 = 0$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、勾股定理
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题，主要考查学生从实际几何问题中提取等量关系列方程的能力，以及将方程转化为一般形式的运算能力，熟练掌握常见几何公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查根据实际问题列一元二次方程并化为一般形式，解题思路如下：第一步设未知数，根据所求量设出合适的未知数，用含未知数的代数式表示出其他相关量；第二步找等量关系列方程：(1)利用“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程；(2)利用直角三角形勾股定理“两条直角边的平方和=斜边的平方”列方程；最后将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数）的一般形式，注意一般形式通常将二次项系数化为互质的正整数。
【解析】
(1)设这个矩形的长为$x$，则宽为$x-4$。
根据题意，得 $x(x-4)=96$。
去括号，得 $x^2 - 4x = 96$。
移项，得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96 = 0$。
(2)设较短的直角边的长为$x$，则较长直角边的长为$x+7$。
根据题意，得 $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$。
去括号，得 $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$。
移项，合并同类项，得 $2x^2 + 14x - 120 = 0$。
将$x^2$的系数化为1，得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60 = 0$。
【答案】
(1) $x^2 - 4x - 96 = 0$
(2) $x^2 + 7x - 60 = 0$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、勾股定理
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题，主要考查学生从实际几何问题中提取等量关系列方程的能力，以及将方程转化为一般形式的运算能力，熟练掌握常见几何公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 将方程$(x+2)^2=5x-2$化成$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，下列选项中的内容正确的是（
A.$a=1,b=-3,c=-2$
B.$a=1,b=-1,c=6$
C.$a=1,b=-5,c=6$
D.$a=1,b=-5,c=2$
B
）A.$a=1,b=-3,c=-2$
B.$a=1,b=-1,c=6$
C.$a=1,b=-5,c=6$
D.$a=1,b=-5,c=2$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题思路分为三步：第一步先利用完全平方公式展开方程左边的平方项，第二步将等号右侧的项全部移到左侧（注意移项要变号），第三步合并同类项得到一般形式，最后对应找出$a、b、c$的值和选项比对即可。
【解析】
1. 展开方程左侧的完全平方项：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，原方程变为：
$x^2+4x+4=5x-2$
2. 移项：将右侧的$5x$和$-2$移到左侧，移项后符号改变：
$x^2+4x+4-5x+2=0$
3. 合并同类项：
二次项为$x^2$，系数为1；
一次项为$4x-5x=-x$，系数为-1；
常数项为$4+2=6$；
最终得到一般形式：$x^2 -x +6=0$
对应得$a=1，b=-1，c=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需要注意完全平方展开的准确性，移项时要记得变号，合并同类项时不要算错系数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题思路分为三步：第一步先利用完全平方公式展开方程左边的平方项，第二步将等号右侧的项全部移到左侧（注意移项要变号），第三步合并同类项得到一般形式，最后对应找出$a、b、c$的值和选项比对即可。
【解析】
1. 展开方程左侧的完全平方项：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，原方程变为：
$x^2+4x+4=5x-2$
2. 移项：将右侧的$5x$和$-2$移到左侧，移项后符号改变：
$x^2+4x+4-5x+2=0$
3. 合并同类项：
二次项为$x^2$，系数为1；
一次项为$4x-5x=-x$，系数为-1；
常数项为$4+2=6$；
最终得到一般形式：$x^2 -x +6=0$
对应得$a=1，b=-1，c=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需要注意完全平方展开的准确性，移项时要记得变号，合并同类项时不要算错系数。
【难度系数】
0.8
2. 若有 $ x $ 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道单循环比赛的实际应用题，解题时先思考每支球队的比赛场次：x支球队中，每支球队需要和除自身外的其余(x-1)支球队各赛1场，若直接用球队总数乘每支球队的比赛场次，会出现每1场比赛被重复计算2次的情况，因此需要除以2得到实际总比赛场次，再结合已知总场次为45即可列出对应方程。
【解析】
已知有x支球队参赛，每两队之间赛1场：
1. 每支球队的比赛场次为(x-1)场，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于任意两队之间的1场比赛被算了2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 根据题意总比赛场次为45场，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环场次计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是明确单循环比赛的计数规则，避免重复计算场次，只要掌握这一要点就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
这是一道单循环比赛的实际应用题，解题时先思考每支球队的比赛场次：x支球队中，每支球队需要和除自身外的其余(x-1)支球队各赛1场，若直接用球队总数乘每支球队的比赛场次，会出现每1场比赛被重复计算2次的情况，因此需要除以2得到实际总比赛场次，再结合已知总场次为45即可列出对应方程。
【解析】
已知有x支球队参赛，每两队之间赛1场：
1. 每支球队的比赛场次为(x-1)场，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于任意两队之间的1场比赛被算了2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 根据题意总比赛场次为45场，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环场次计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是明确单循环比赛的计数规则，避免重复计算场次，只要掌握这一要点就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程，则$m + n =$
2
.答案
3. 2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且最高次项系数不为0，同时不存在次数高于2的项。我们对照这个条件分析方程的各项：首先方程里有三次项$mx^3$，要满足最高次数为2，必须让三次项消失，即三次项系数为0；其次剩下的项中最高次数要等于2，由此可确定$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴不存在三次项，即三次项系数$m=0$
且未知数的最高次数为2，即$n=2$
∴$m+n=0+2=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易忽略高于二次的项的系数必须为0的要求，只要紧扣定义的几个判定要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且最高次项系数不为0，同时不存在次数高于2的项。我们对照这个条件分析方程的各项：首先方程里有三次项$mx^3$，要满足最高次数为2，必须让三次项消失，即三次项系数为0；其次剩下的项中最高次数要等于2，由此可确定$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴不存在三次项，即三次项系数$m=0$
且未知数的最高次数为2，即$n=2$
∴$m+n=0+2=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易忽略高于二次的项的系数必须为0的要求，只要紧扣定义的几个判定要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.已知2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根，则实数k的值是
-2
。答案
4. -2
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知2是方程的根，说明x=2代入原方程后等式成立，因此我们只需将x=2代入方程，就能得到只含有未知数k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，得：
$2^2 - 3×2 - k = 0$
计算得：$4 - 6 - k = 0$
即：$-2 - k = 0$
移项解得：$k = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根满足方程”这一要点，就能通过代入法快速求出参数值，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知2是方程的根，说明x=2代入原方程后等式成立，因此我们只需将x=2代入方程，就能得到只含有未知数k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，得：
$2^2 - 3×2 - k = 0$
计算得：$4 - 6 - k = 0$
即：$-2 - k = 0$
移项解得：$k = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根满足方程”这一要点，就能通过代入法快速求出参数值，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
5.若关于$x$的一元二次方程$(x+2)^2 = m(2x+1)$中不含一次项，则实数$m$的值是
2
.答案
5. 2
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：首先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，明确各项系数；题目说明方程不含一次项，即一次项系数$b=0$，结合二次项系数不为0的隐含条件，列方程求解即可得到$m$的取值。
【解析】
第一步：将原方程展开并整理为一般形式
先展开等号左侧：$(x+2)^2=x^2+4x+4$
原方程可化为：$x^2+4x+4=2mx+m$
移项、合并同类项得：$x^2+(4-2m)x+(4-m)=0$
第二步：根据“不含一次项”的条件列方程
不含一次项即一次项系数为0，可得：
$4-2m=0$
第三步：解方程求$m$，并验证二次项系数
解得$m=2$，此时二次项系数为$1≠0$，符合一元二次方程的定义。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式不含项的条件
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题的关键是掌握方程不含某一项等价于该项的系数为0，整理方程时要注意合并同类项的准确性，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是：首先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，明确各项系数；题目说明方程不含一次项，即一次项系数$b=0$，结合二次项系数不为0的隐含条件，列方程求解即可得到$m$的取值。
【解析】
第一步：将原方程展开并整理为一般形式
先展开等号左侧：$(x+2)^2=x^2+4x+4$
原方程可化为：$x^2+4x+4=2mx+m$
移项、合并同类项得：$x^2+(4-2m)x+(4-m)=0$
第二步：根据“不含一次项”的条件列方程
不含一次项即一次项系数为0，可得：
$4-2m=0$
第三步：解方程求$m$，并验证二次项系数
解得$m=2$，此时二次项系数为$1≠0$，符合一元二次方程的定义。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式不含项的条件
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题的关键是掌握方程不含某一项等价于该项的系数为0，整理方程时要注意合并同类项的准确性，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
6.若$m$是一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$的一个根,求代数式$(m+1)^2 - (m+2)·(m-2)+3m^2$的值.
答案
6.【解】$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore 3m^2 + 2m - 1 = 0,即 3m^2 + 2m = 1.$
$\therefore (m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2 = 3m^2 + 2m + 5 = 1 + 5 = 6.$
$\therefore 3m^2 + 2m - 1 = 0,即 3m^2 + 2m = 1.$
$\therefore (m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2 = 3m^2 + 2m + 5 = 1 + 5 = 6.$
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式：$3m^2+2m=1$；无需先求解m的值，先对所求代数式利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，化简后可发现式子中出现$3m^2+2m$的整体结构，最后将$3m^2+2m=1$整体代入化简后的式子计算即可得到结果，这种整体代入的方法可避免直接求解m的繁琐运算。
【解析】
解：$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得：$3m^2 + 2m - 1 = 0$，即 $3m^2 + 2m = 1$。
对所求代数式化简：
$\begin{aligned}&(m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2\\=&3m^2 + 2m + 5\end{aligned}$
将$3m^2 + 2m = 1$代入上式得：原式$=1 + 5 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式的化简求值；乘法公式的应用
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式的运算规则，结合方程根的性质得到待求式中隐含的整体代数式的值，通过整体代入可大幅简化计算，提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式：$3m^2+2m=1$；无需先求解m的值，先对所求代数式利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，化简后可发现式子中出现$3m^2+2m$的整体结构，最后将$3m^2+2m=1$整体代入化简后的式子计算即可得到结果，这种整体代入的方法可避免直接求解m的繁琐运算。
【解析】
解：$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得：$3m^2 + 2m - 1 = 0$，即 $3m^2 + 2m = 1$。
对所求代数式化简：
$\begin{aligned}&(m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2\\=&3m^2 + 2m + 5\end{aligned}$
将$3m^2 + 2m = 1$代入上式得：原式$=1 + 5 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式的化简求值；乘法公式的应用
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式的运算规则，结合方程根的性质得到待求式中隐含的整体代数式的值，通过整体代入可大幅简化计算，提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
