1. 综合与实践:车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆,车轮都是圆形的.为什么车轮要设计成圆形的呢?这里面有什么数学道理吗?带着这样的疑问,小青进行了如下的探究活动:
将车轮设计成不同的正多边形,在水平地面上模拟行驶.
(1)探究一:将车轮设计成等边三角形,转动过程如图1,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$,$BA=CA=DA=2$,圆心角$∠BAD=120°$.此时中心轨迹最高点是$C$(即$\overset{\frown}{BD}$的中点),转动一次前后中心的连线是$BD$(水平线),请在图2中计算点$C$到$BD$的距离$d_1$.
(2)探究二:将车轮设计成正方形,转动过程如图3,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$,$BA=CA=DA=2$,圆心角$∠BAD=90°$.此时中心轨迹最高点是$C$(即$\overset{\frown}{BD}$的中点),转动一次前后中心的连线是$BD$(水平线),请在图4中计算$C$到$BD$的距离$d_2$.(结果保留根号)
(3)探究三:将车轮设计成正六边形,转动过程如图5,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$,圆心角$∠BAD=$______.此时中心轨迹最高点是$C$(即$\overset{\frown}{BD}$的中点),转动一次前后中心的连线是$BD$(水平线),请直接写出图6中$C$到$BD$的距离$d_3=$______(结果保留根号).
(4)归纳推理:$d_1$、$d_2$、$d_3$的大小关系为________,按此规律推理,车轮设计成的正多边形边数越多,其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离________(填“越大”或“越小”).
(5)得出结论:将车轮设计成圆形,转动过程如图7,其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行,此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离$d=$______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.因此,将车轮设计成圆形.

$60^{\circ}$ ; $2 - \sqrt{3}$ ; $d_{1}＞d_{2}＞d_{3}$ ; 越小
; $0$ ;