三、解答题(共 40 分)
11. (10 分)如图,正六边形 ABCDEF 内接于$\odot O$.
(1)若 P 是$\overset{\frown}{CD}$上的动点,连接 BP、FP,求$∠BPF$的度数.
(2)已知$△ ADF$的面积为$2\sqrt{3}$,求$\odot O$的面积.

解: (1) 如图，在$\overset{\frown}{CD}$上取一点$P，$连接$BP$、$AP$、$FP$、$FO。$ 因为六边形$ABCDEF$是正六边形，所以$AF = AB，$$\angle AOF=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}。$ 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle APF=\frac{1}{2}\angle AOF = 30^{\circ}。$ 又因为$AF = AB，$所以$\angle APB=\angle APF = 30^{\circ}，$则$\angle BPF=\angle APB+\angle APF = 60^{\circ}。$ (2) 因为$\angle AOF = 60^{\circ}，$$AO = FO，$所以$\triangle AOF$是等边三角形，所以$\angle DAF = 60^{\circ}。$ 在正六边形中，$DF=\sqrt{3}AF，$$AD = 2AF。$ 已知$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AF\cdot DF=\frac{\sqrt{3}}{2}AF^{2}=2\sqrt{3}，$ 解得$AF = 2，$即$\odot O$的半径为$2。$ 根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$（其中$r$为半径），所以$\odot O$的面积为$\pi\times2^{2}=4\pi。$ ;

12. (10 分)如图,在直径为 2 的圆形纸片上裁剪出圆心角$∠ ACB=90°$的扇形 CAB.
(1)求阴影部分的面积.
(2)用所裁剪的扇形纸片 CAB 围成一个圆锥的侧面,求此圆锥底面圆的半径.

解: (1) 如图，连接$AB$、$OC。$ 因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$AB$是$\odot O$的直径，所以$A$、$O$、$B$三点共线，$OB = OC = OA。$ 又因为$AC = BC，$所以$AB\perp OC。$ 已知$\odot O$的直径为$2，$则半径为$1，$$AC = BC=\sqrt{2}。$ 根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$S_{扇形}=\frac{90\times\pi\times(\sqrt{2})^{2}}{360}=\frac{\pi}{2}。$ 圆的面积$S_{圆}=\pi\times1^{2}=\pi，$所以$S_{阴影部分}=\pi - \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}。$ (2) 扇形$CAB$中$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{90\pi\times\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}。$ 设圆锥底面圆的半径为$r，$根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得$2\pi r=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}，$解得$r = \frac{\sqrt{2}}{4}，$故该圆锥的底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{4}。$ ;

13. (10 分)如图,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的一条弦,且$CD⊥ AB$于点 E.
(1)求证:$∠ BCO=∠ D$.
(2)若$CD=4\sqrt{3},AE=2$,求阴影部分的面积.

证明: (1) 因为$OC = OB，$根据等边对等角，所以$\angle BCO=\angle B。$ 又因为同弧所对的圆周角相等，$\angle B=\angle D，$所以$\angle BCO=\angle D。$ (2) 设$\odot O$的半径为$r。$ 因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点$E，$根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD。$ 已知$CD = 4\sqrt{3}，$所以$CE = 2\sqrt{3}。$ 在$Rt\triangle OEC$中，根据勾股定理$OC^{2}=CE^{2}+OE^{2}，$即$r^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+(r - 2)^{2}。$ 展开得$r^{2}=12+r^{2}-4r + 4，$ 移项化简得$4r = 16，$解得$r = 4。$ 所以$OC = OA = 4，$$OE = OA - AE = 4 - 2 = 2。$ 因为$\cos\angle OCE=\frac{CE}{OC}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$所以$\angle OCE = 30^{\circ}，$则$\angle AOC = 60^{\circ}。$ $S_{阴影部分}=S_{扇形AOC}-S_{\triangle OCE}$ $=\frac{60\times\pi\times4^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}$ $=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}。$

14. (10分)如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,以边AB为直径作$\odot O$,点E在边BC上,连接AE交$\odot O$于点F,连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证:$△ ABE≌△ BCG$.
(2)若$∠ AEB=55°$,求$\overset{\frown}{BF}$的长.(结果保留$π$)

(1) 证明：因为四边形$ABCD$是正方形，$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ABE=\angle BCG = \angle AFB = 90^{\circ}。$ 所以$\angle BAF+\angle ABF = 90^{\circ}，$$\angle ABF+\angle EBF = 90^{\circ}，$则$\angle EBF=\angle BAF。$ 在$\triangle ABE$和$\triangle BCG$中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle CBG \\AB = BC \\\angle ABE=\angle BCG\end{cases}，$ 所以$\triangle ABE\cong\triangle BCG(ASA)。$ (2) 解：如图，连接$OF。$ 因为$\angle ABE = 90^{\circ}，$$\angle AEB = 55^{\circ}，$所以$\angle BAE = 90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}。$ 根据圆周角定理，$\angle BOF = 2\angle BAE = 70^{\circ}。$ 因为四边形$ABCD$是边长为$4$的正方形，所以$OB=\frac{1}{2}AB = 2。$ 根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70\pi\times2}{180}=\frac{7\pi}{9}。$ ;