12. 2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办. 苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味. 现有一块长、宽之比为$3:2$的长方形绣布，且这块绣布的面积为$384\ \mathrm{dm}^2$.
（1）求这块绣布的周长；
（2）刺绣师傅想用这块绣布裁出一块面积为$202\ \mathrm{dm}^2$的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（$π$取3）.

解：​$(1)$​设绣布的长为​$3x\mathrm {dm}，$​宽为​$2x\mathrm {dm}$​​$ $​则​$3x·2x = 384，$​解得​$x = 8($​负值已舍去​$)$​​$ $​则​$3x = 24，$​​$2x = 16$​∴这块绣布的周长为​$2×(24 + 16)=80(\mathrm {dm})$​​$ (2)$​不能。理由如下：​$ $​由​$(1)$​得这块绣布的长为​$24\ \mathrm {dm}，$​宽为​$16\ \mathrm {dm}$​∴裁出的圆形绣布的直径最大为​$16\ \mathrm {dm}$​ 此时该圆形绣布的面积为​$(16÷2)^2×3 = 192(\mathrm {dm}^2)$​∵​$192<202$​∴不能裁出符合要求的圆形绣布

13. 若$\sqrt{150x}(0＜x＜150)$是一个整数，则整数$x$所有可取的值之和为 （ ）
A. 96
B. 180
C. 330
D. 4

B

14. 新素养 应用意识 已知 $\min\{\sqrt{x}, x^2, x\}$ 表示取三个数中最小的那个数,例如:当 $x=9$ 时, $\min\{\sqrt{x}, x^2, x\} = \min\{\sqrt{9}, 9^2, 9\} = 3$. 当 $\min\{\sqrt{x}, x^2, x\} = \frac{1}{16}$ 时, $x$ 的值为$\underline{\hspace{2em}}$.

$\frac{1}{4}$

15. 有两名十分喜欢探究的同学小明和小刚，他们善于将所做的题目进行归纳，下面是他们的探究过程。
（1）解题与归纳：
① 小明摘选了下列各题，请你帮他完成填空：
$\sqrt{2^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{5^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{6^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{0^2} = \_\_\_\_\_\_,$
$\sqrt{(-3)^2} = \_\_\_\_\_\_, \sqrt{(-6)^2} = \_\_\_\_\_\_.$归纳:对于任意有理数$a$，有$\sqrt{a^2} = \_\_\_\_\_\_ = \begin{cases} a(a＞0), \\ 0(a=0), \\ -a(a＜0), \end{cases}$
② 小刚摘选了下列各题，请你帮他完成填空：
$(\sqrt{4})^2 = \_\_\_\_\_\_, (\sqrt{9})^2 = \_\_\_\_\_\_,$
$(\sqrt{25})^2 = \_\_\_\_\_\_, (\sqrt{36})^2 = \_\_\_\_\_\_,$
$(\sqrt{49})^2 = \_\_\_\_\_\_, (\sqrt{0})^2 = \_\_\_\_\_\_.$归纳:对于任意非负有理数$a$，有$(\sqrt{a})^2 = \_\_\_\_\_\_;$
（2）应用:已知有理数$a,b$在数轴上的对应点位置如图所示，化简:$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} + \sqrt{(a-b)^2} - (\sqrt{b-a})^2.$

2
; 5
; 6
; 0
; 3
; 6
; $\vert a\vert$ ; 4
; 9
; 25
; 36
; 49
; 0
; $a$ ; 解：​$(2)$​由数轴，得​$a＜0，$​​$b＞0$​∴​$a - b＜0，$​​$b - a＞0$​∴​$\sqrt {a^2}-\sqrt {b^2}+\sqrt {(a - b)^2}-(\sqrt {b - a})^2$​​$=\vert a\vert -\vert b\vert +\vert a - b\vert -(b - a)$​​$ =-a - b + b - a - b + a$​​$=-a - b$​