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三人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球.
(1)用列表或画树状图的方法求经过3次传球后,球仍回到甲手中的概率；
(2)由(1)进一步探索：经过4次传球后,球仍回到甲手中的不同的传球方法共有多少种？
(3)就传球次数$n$与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小提出你的猜想(写出结论即可).
(1)用列表或画树状图的方法求经过3次传球后,球仍回到甲手中的概率；
(2)由(1)进一步探索：经过4次传球后,球仍回到甲手中的不同的传球方法共有多少种？
(3)就传球次数$n$与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小提出你的猜想(写出结论即可).
答案
（1）$P(3次传球后球仍回到甲手中)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；（2）经过4次传球后球仍然回到甲手中的不同传球方法共有6种；（3）猜想：当$n$为奇数时，$P(球回到甲手中)＜P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$；当$n$为偶数时，$P(球回到甲手中)＞P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$.
解析
（1）画树状图如下：
第一次传球：甲→乙，甲→丙
第二次传球：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙
第三次传球：甲→乙，甲→丙；乙→甲，乙→丙；甲→乙，甲→丙；乙→甲，乙→丙
共有8种等可能结果，其中球回到甲手中的结果有2种，$P(3次传球后球仍回到甲手中)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
（2）6；
（3）当$n$为奇数时，$P(球回到甲手中)＜P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$；当$n$为偶数时，$P(球回到甲手中)＞P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$。
第一次传球：甲→乙，甲→丙
第二次传球：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙
第三次传球：甲→乙，甲→丙；乙→甲，乙→丙；甲→乙，甲→丙；乙→甲，乙→丙
共有8种等可能结果，其中球回到甲手中的结果有2种，$P(3次传球后球仍回到甲手中)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
（2）6；
（3）当$n$为奇数时，$P(球回到甲手中)＜P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$；当$n$为偶数时，$P(球回到甲手中)＞P(球回到乙手中)=P(球回到丙手中)$。
1. 为了了解一种玉米种子的发芽情况,某农科站在相同的实验条件下,做了大量这种种子发芽的实验,通过实验估计这种种子的发芽率为97%,那么100kg这种玉米种子中约有______kg能够发芽。
答案
97
2. 用6个球(除颜色不同外其余没有区别)设计满足下列条件的游戏：摸到白球的概率为$\frac{1}{2}$,摸到红球的概率为$\frac{1}{3}$,摸到黄球的概率为$\frac{1}{6}$,则应准备____个白球,____个红球,____个黄球。
答案
3,2,1
解析
白球：$6×\frac{1}{2}=3$
红球：$6×\frac{1}{3}=2$
黄球：$6×\frac{1}{6}=1$
3,2,1
红球：$6×\frac{1}{3}=2$
黄球：$6×\frac{1}{6}=1$
3,2,1
3. 在一个不透明的口袋中,装有除颜色不同外无其他差别的4个白球和n个黄球。某同学进行了如下实验：从袋中随机摸出一个球,记下它的颜色,放回摇匀,为一次摸球实验。记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下：
|摸球实验次数|100|200|500|1000|
|摸出白球的次数|21|39|102|199|
根据列表可以估计出n的值为______。
|摸球实验次数|100|200|500|1000|
|摸出白球的次数|21|39|102|199|
根据列表可以估计出n的值为______。
答案
16
解析
由表中数据可知，随着实验次数的增加，摸出白球的频率逐渐稳定。计算各次实验摸出白球的频率：$\frac{21}{100}=0.21$，$\frac{39}{200}=0.195$，$\frac{102}{500}=0.204$，$\frac{199}{1000}=0.199$，这些频率均接近$0.2$，故估计摸出白球的概率为$0.2$。
口袋中共有$(4 + n)$个球，其中白球有$4$个，根据概率公式可得$\frac{4}{4 + n}=0.2$，
解方程：$4 = 0.2(4 + n)$
$4 = 0.8 + 0.2n$
$0.2n = 4 - 0.8 = 3.2$
$n = 16$
16
口袋中共有$(4 + n)$个球，其中白球有$4$个，根据概率公式可得$\frac{4}{4 + n}=0.2$，
解方程：$4 = 0.2(4 + n)$
$4 = 0.8 + 0.2n$
$0.2n = 4 - 0.8 = 3.2$
$n = 16$
16
问题 如图(1),小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画出半径分别为2m和3m的同心圆,蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算。
(1)如果你来当裁判,你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形[如图(2)阴影]的面积呢？”请你设计方案,解决这一问题。(需说明设计步骤、原理,写出公式)
名师指导
利用试验频率与理论概率的关系,即掷在阴影部分的频率约等于掷在阴影部分的概率,约等于阴影部分的面积与规则图形的面积的比值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
(1)如果你来当裁判,你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形[如图(2)阴影]的面积呢？”请你设计方案,解决这一问题。(需说明设计步骤、原理,写出公式)
名师指导利用试验频率与理论概率的关系,即掷在阴影部分的频率约等于掷在阴影部分的概率,约等于阴影部分的面积与规则图形的面积的比值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
(1) 不公平。
理由：
大圆面积 $S_{大}=\pi×3^{2}=9\pi$，小圆面积 $S_{小}=\pi×2^{2}=4\pi$，
阴影部分面积 $S = 9\pi - 4\pi = 5\pi$。
$P(小红胜)=\frac{5\pi}{9\pi}=\frac{5}{9}$，$P(小明胜)=\frac{4\pi}{9\pi}=\frac{4}{9}$。
因为 $\frac{5}{9}\neq\frac{4}{9}$，所以游戏不公平。
(2) 设计方案：
步骤：
①准备一个规则图形（如正方形）将非规则图形（如图(2)阴影部分）包含在内，测出规则图形的面积 $S_{总}$。
②向该规则图形内随机掷小石子（保证掷在规则图形内），多次重复试验，记录掷在阴影部分的次数 $m$ 和掷小石子的总次数 $n$。
③计算掷在阴影部分的频率 $f=\frac{m}{n}$。
④根据频率估计概率，设阴影部分面积为 $S$，由 $\frac{S}{S_{总}}\approx\frac{m}{n}$，可得 $S\approx\frac{m}{n}S_{总}$。
原理：利用试验频率与理论概率的关系，即掷在阴影部分的频率约等于掷在阴影部分的概率，约等于阴影部分的面积与规则图形的面积的比值。
公式：$S\approx\frac{m}{n}S_{总}$。
理由：
大圆面积 $S_{大}=\pi×3^{2}=9\pi$，小圆面积 $S_{小}=\pi×2^{2}=4\pi$，
阴影部分面积 $S = 9\pi - 4\pi = 5\pi$。
$P(小红胜)=\frac{5\pi}{9\pi}=\frac{5}{9}$，$P(小明胜)=\frac{4\pi}{9\pi}=\frac{4}{9}$。
因为 $\frac{5}{9}\neq\frac{4}{9}$，所以游戏不公平。
(2) 设计方案：
步骤：
①准备一个规则图形（如正方形）将非规则图形（如图(2)阴影部分）包含在内，测出规则图形的面积 $S_{总}$。
②向该规则图形内随机掷小石子（保证掷在规则图形内），多次重复试验，记录掷在阴影部分的次数 $m$ 和掷小石子的总次数 $n$。
③计算掷在阴影部分的频率 $f=\frac{m}{n}$。
④根据频率估计概率，设阴影部分面积为 $S$，由 $\frac{S}{S_{总}}\approx\frac{m}{n}$，可得 $S\approx\frac{m}{n}S_{总}$。
原理：利用试验频率与理论概率的关系，即掷在阴影部分的频率约等于掷在阴影部分的概率，约等于阴影部分的面积与规则图形的面积的比值。
公式：$S\approx\frac{m}{n}S_{总}$。
