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二、填空题(每小题3分,共18分)
9.(2024·青海改编)如图3,一只蚂蚁在树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径,它获得食物的概率是。
9.(2024·青海改编)如图3,一只蚂蚁在树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径,它获得食物的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先明确等可能事件的概率计算方法：概率等于所求事件发生的情况数除以所有等可能发生的总情况数。首先梳理蚂蚁的可选路径：观察图形，蚂蚁向上行进到岔路口时，共有3条不同的路径可以选择，且每条路径被选中的可能性相等，其中只有1条路径通向食物所在位置，因此用能获得食物的路径数除以总路径数，即可得到对应的概率。
【解析】
解：由图可知，蚂蚁在岔路口共有3种等可能的路径选择，其中只有1种路径可获得食物，根据概率公式：
$P(\mathrm{获得食物})=\frac{\mathrm{能获得食物的路径数}}{\mathrm{总的等可能路径数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是准确梳理所有等可能的情况和符合要求的情况，结合概率公式直接计算即可，易错点为数错总路径数。
【难度系数】
0.8
要解决这道概率题，首先明确等可能事件的概率计算方法：概率等于所求事件发生的情况数除以所有等可能发生的总情况数。首先梳理蚂蚁的可选路径：观察图形，蚂蚁向上行进到岔路口时，共有3条不同的路径可以选择，且每条路径被选中的可能性相等，其中只有1条路径通向食物所在位置，因此用能获得食物的路径数除以总路径数，即可得到对应的概率。
【解析】
解：由图可知，蚂蚁在岔路口共有3种等可能的路径选择，其中只有1种路径可获得食物，根据概率公式：
$P(\mathrm{获得食物})=\frac{\mathrm{能获得食物的路径数}}{\mathrm{总的等可能路径数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是准确梳理所有等可能的情况和符合要求的情况，结合概率公式直接计算即可，易错点为数错总路径数。
【难度系数】
0.8
10.(2024·淮安)一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中。通过大量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率是0.4,则袋中约有红球个。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到白球的频率0.4可近似看作摸到白球的概率。我们可以先通过白球数量和对应概率求出袋中球的总数量，再减去白球数量得到红球数量；也可以设红球个数为未知数，结合概率公式列方程求解。
【解析】
解法1：
∵大量重复摸球试验中，摸到白球的频率近似等于摸到白球的概率
∴袋中球的总个数为：$8 ÷ 0.4 = 20$（个）
∴红球的个数为：$20 - 8 = 12$（个）
解法2：
设袋中红球有$x$个，根据概率公式可得：
$\dfrac{8}{8+x} = 0.4$
方程两边同乘$8+x$得：$8 = 0.4(8+x)$
展开计算得：$8 = 3.2 + 0.4x$
移项化简得：$0.4x = 4.8$
解得：$x = 12$
检验：当$x=12$时，$8+x=20 ≠ 0$，故$x=12$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
频率估计概率、简单概率计算、分式方程应用
【点评】
本题是概率相关的基础应用题，解题核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，结合概率计算公式即可求解，列分式方程解题时要注意检验解的合理性。
【难度系数】
0.8
大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到白球的频率0.4可近似看作摸到白球的概率。我们可以先通过白球数量和对应概率求出袋中球的总数量，再减去白球数量得到红球数量；也可以设红球个数为未知数，结合概率公式列方程求解。
【解析】
解法1：
∵大量重复摸球试验中，摸到白球的频率近似等于摸到白球的概率
∴袋中球的总个数为：$8 ÷ 0.4 = 20$（个）
∴红球的个数为：$20 - 8 = 12$（个）
解法2：
设袋中红球有$x$个，根据概率公式可得：
$\dfrac{8}{8+x} = 0.4$
方程两边同乘$8+x$得：$8 = 0.4(8+x)$
展开计算得：$8 = 3.2 + 0.4x$
移项化简得：$0.4x = 4.8$
解得：$x = 12$
检验：当$x=12$时，$8+x=20 ≠ 0$，故$x=12$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
频率估计概率、简单概率计算、分式方程应用
【点评】
本题是概率相关的基础应用题，解题核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，结合概率计算公式即可求解，列分式方程解题时要注意检验解的合理性。
【难度系数】
0.8
11. 图4是两个可以自由转动的均匀圆盘A和B,A,B分别被分成三等份和四等份,同时自由转动圆盘A和B,圆盘停止后(指针未指向一个确定的数字则重转),指针分别指向的两个数字的和为偶数的概率是。
答案
解：列表表示所有等可能出现的结果如下：
| A\B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个数字的和为偶数的结果有6种。
因此所求概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
| A\B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个数字的和为偶数的结果有6种。
因此所求概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是两步试验的古典概型概率求解问题，解题思路如下：首先两个圆盘转动为独立事件，指针指向每个数字的可能性均等；要计算两数和为偶数的概率，需先找出所有等可能的结果总数，再筛选出“两数和为偶数”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。另外两数和为偶数等价于两个数字同为奇数或同为偶数，也可先按奇偶性分类计数，简化计算过程。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果：
| A\B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
由表格可知，所有等可能的结果共有$3×4=12$种，其中两个数字的和为偶数的结果有6种。
根据概率计算公式，所求概率为：
$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，有理数加法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查两步试验等可能结果的列举能力，解题核心是不重不漏地列出所有情况，再结合题目要求筛选符合条件的结果，掌握列表法或树状图法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是两步试验的古典概型概率求解问题，解题思路如下：首先两个圆盘转动为独立事件，指针指向每个数字的可能性均等；要计算两数和为偶数的概率，需先找出所有等可能的结果总数，再筛选出“两数和为偶数”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。另外两数和为偶数等价于两个数字同为奇数或同为偶数，也可先按奇偶性分类计数，简化计算过程。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果：
| A\B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
由表格可知，所有等可能的结果共有$3×4=12$种，其中两个数字的和为偶数的结果有6种。
根据概率计算公式，所求概率为：
$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，有理数加法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查两步试验等可能结果的列举能力，解题核心是不重不漏地列出所有情况，再结合题目要求筛选符合条件的结果，掌握列表法或树状图法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12. (2025·山西)如图5是创新小组设计的一款小程序的界面示意图,程序规则为:每点击一次按钮,“
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“
”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“☺”回到格子A的概率是。
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“☺”回到格子A的概率是。答案
解：根据题意，从格子A出发第一次点击按钮，笑脸有2种等可能的移动结果：向左移动到D、向右移动到B。
若第一次移动到D，第二次点击按钮有2种等可能结果：向左到E、向右回到A；
若第一次移动到B，第二次点击按钮有2种等可能结果：向左回到A、向右到C。
所有等可能的结果共4种，其中最终回到格子A的结果有2种。
因此所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
若第一次移动到D，第二次点击按钮有2种等可能结果：向左到E、向右回到A；
若第一次移动到B，第二次点击按钮有2种等可能结果：向左回到A、向右到C。
所有等可能的结果共4种，其中最终回到格子A的结果有2种。
因此所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是两步随机试验的概率计算问题，属于古典概型范畴。解题思路如下：首先明确每次移动的等可能性，第一次从格子A出发，只有向左、向右2种等可能的移动结果；接着针对第一次移动的每一种结果，分别列举出第二次移动的所有等可能情况，统计所有等可能的总结果数，再从中找出最终回到格子A的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法梳理所有移动路径：
1. 第一次点击按钮：从A出发，有2种等可能的移动结果：向左移动到D、向右移动到B；
2. 分情况讨论第二次点击的结果：
若第一次移动到D，第二次点击有2种等可能结果：向左到E、向右回到A；
若第一次移动到B，第二次点击有2种等可能结果：向左回到A、向右到C。
综上，所有等可能的结果共4种，其中最终回到格子A的结果有2种。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，再结合概率公式求解，是概率章节的常考类型。
【难度系数】
0.8
本题是两步随机试验的概率计算问题，属于古典概型范畴。解题思路如下：首先明确每次移动的等可能性，第一次从格子A出发，只有向左、向右2种等可能的移动结果；接着针对第一次移动的每一种结果，分别列举出第二次移动的所有等可能情况，统计所有等可能的总结果数，再从中找出最终回到格子A的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法梳理所有移动路径：
1. 第一次点击按钮：从A出发，有2种等可能的移动结果：向左移动到D、向右移动到B；
2. 分情况讨论第二次点击的结果：
若第一次移动到D，第二次点击有2种等可能结果：向左到E、向右回到A；
若第一次移动到B，第二次点击有2种等可能结果：向左回到A、向右到C。
综上，所有等可能的结果共4种，其中最终回到格子A的结果有2种。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，再结合概率公式求解，是概率章节的常考类型。
【难度系数】
0.8
13.将A,B,C,D四个字母随机标注在一个四边形的四个顶点处，
则AC恰好为对角线的概率是。
则AC恰好为对角线的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题核心是求出所有等可能的标注总情况数，以及AC恰好为对角线的符合条件的情况数，再根据概率公式计算。为简化计算，可利用相对位置法：由于我们仅关注A和C的相对位置，可先固定A的位置（不影响概率结果），此时剩余3个顶点是C的等可能位置，其中仅1个位置是A的对角顶点，即可快速推导概率；也可通过全排列分别计算总情况数和符合条件的情况数求解。
【解析】
解法1（相对位置法）：
因为所有标注是等可能的，我们可以先固定A在四边形的某一个顶点处，此时剩余3个顶点可供B、C、D三个字母随机放置，C的位置共有3种等可能的结果，其中只有1个位置是与A相对的对角线顶点，因此AC恰好为对角线的概率为$\frac{1}{3}$。
解法2（排列计数法）：
四个字母随机标注在四边形的4个顶点，总共有$A_4^4=4×3×2×1=24$种等可能的标注方法。
四边形共有2组对角线，当AC为对角线时，AC可在一组对角线的两个位置互换，剩余的B、D也可在另外两个顶点互换，因此符合条件的标注情况数为$2×2×2=8$种。
根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 古典概型
2. 排列计数
【点评】
本题侧重考查概率的基础计算，解题时可以灵活选择简化方法，通过固定单个元素位置降低计数难度，平时练习时要注意培养多角度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.6
本题属于古典概型概率计算问题，解题核心是求出所有等可能的标注总情况数，以及AC恰好为对角线的符合条件的情况数，再根据概率公式计算。为简化计算，可利用相对位置法：由于我们仅关注A和C的相对位置，可先固定A的位置（不影响概率结果），此时剩余3个顶点是C的等可能位置，其中仅1个位置是A的对角顶点，即可快速推导概率；也可通过全排列分别计算总情况数和符合条件的情况数求解。
【解析】
解法1（相对位置法）：
因为所有标注是等可能的，我们可以先固定A在四边形的某一个顶点处，此时剩余3个顶点可供B、C、D三个字母随机放置，C的位置共有3种等可能的结果，其中只有1个位置是与A相对的对角线顶点，因此AC恰好为对角线的概率为$\frac{1}{3}$。
解法2（排列计数法）：
四个字母随机标注在四边形的4个顶点，总共有$A_4^4=4×3×2×1=24$种等可能的标注方法。
四边形共有2组对角线，当AC为对角线时，AC可在一组对角线的两个位置互换，剩余的B、D也可在另外两个顶点互换，因此符合条件的标注情况数为$2×2×2=8$种。
根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 古典概型
2. 排列计数
【点评】
本题侧重考查概率的基础计算，解题时可以灵活选择简化方法，通过固定单个元素位置降低计数难度，平时练习时要注意培养多角度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.6
14. 张华想让哥哥买几本科技书带回家，于是打电话给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0,2,8三个数字，则张华一次打电话成功的概率是。
答案
解：0，2，8三个数字的所有等可能排列结果共6种，分别为028、082、208、280、802、820，其中正确的号码仅有1种。
因此张华一次打电话成功的概率是$\frac{1}{6}$。
因此张华一次打电话成功的概率是$\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
要计算张华一次打电话成功的概率，需先明确等可能事件的概率计算公式：事件发生的概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先我们需要找出0、2、8三个数字能组成的所有不同的后三位排列数（手机号后三位首位可以为0），再确定正确的号码只有1种，代入公式即可算出结果。
【解析】
首先列举0、2、8三个数字的所有等可能排列结果，共6种，分别为：028、082、208、280、802、820。
其中正确的手机号码后三位仅有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得张华一次打电话成功的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，简单排列
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是正确列举出所有等可能的排列结果，需注意本题是手机号后三位，首位可以为0，不要受三位数首位不为0的思维定式影响漏算情况。
【难度系数】
0.8
要计算张华一次打电话成功的概率，需先明确等可能事件的概率计算公式：事件发生的概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先我们需要找出0、2、8三个数字能组成的所有不同的后三位排列数（手机号后三位首位可以为0），再确定正确的号码只有1种，代入公式即可算出结果。
【解析】
首先列举0、2、8三个数字的所有等可能排列结果，共6种，分别为：028、082、208、280、802、820。
其中正确的手机号码后三位仅有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得张华一次打电话成功的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，简单排列
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是正确列举出所有等可能的排列结果，需注意本题是手机号后三位，首位可以为0，不要受三位数首位不为0的思维定式影响漏算情况。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共58分)
15.(10分)(2024·吉林)吉林省以“绿水青山就是金山银山,冰天雪地也是金山银山”为指引,不断加大冰雪旅游的宣传力度,推出各种优惠活动,“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道亮丽的风景线。某滑雪场为吸引游客,每天抽取一定数量的幸运游客,每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩。若三个项目被抽中的可能性相等,用画树状图或列表的方法,求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率。
15.(10分)(2024·吉林)吉林省以“绿水青山就是金山银山,冰天雪地也是金山银山”为指引,不断加大冰雪旅游的宣传力度,推出各种优惠活动,“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道亮丽的风景线。某滑雪场为吸引游客,每天抽取一定数量的幸运游客,每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩。若三个项目被抽中的可能性相等,用画树状图或列表的方法,求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率。
答案
解：
将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种。
因此幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种。
因此幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】遇到两个独立对象做等可能选择、求特定情况概率的问题时，我们可以先给每个项目做标记简化书写，再通过列表法把两人选择的所有组合全部列出来，确保不重复不遗漏；接着统计出所有等可能的总结果数，再数出“小明与小亮抽中同一个项目”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种。
因此幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】本题属于概率基础应用题，解题核心是通过列表法完整列举所有等可能结果，只要列举过程不出现遗漏、重复，结合简单的分数计算就能得出正确结果。
【难度系数】0.8
【解析】将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种。
因此幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】本题属于概率基础应用题，解题核心是通过列表法完整列举所有等可能结果，只要列举过程不出现遗漏、重复，结合简单的分数计算就能得出正确结果。
【难度系数】0.8
