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16. (10分)如图11，E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，若矩形ABEF与矩形ABCD相似，AB=4，求AD的长。
答案
解：设AD的长为x。
∵E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$。
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=4$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{4}$
整理得$x^2=32$，
解得$x_1=4\sqrt{2}$，$x_2=-4\sqrt{2}$，边长为正，舍去负根。
∴AD的长为$4\sqrt{2}$。
∵E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$。
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=4$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{4}$
整理得$x^2=32$，
解得$x_1=4\sqrt{2}$，$x_2=-4\sqrt{2}$，边长为正，舍去负根。
∴AD的长为$4\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：矩形ABEF与矩形ABCD相似，AB=4，E、F分别是BC、AD的中点，要求AD的长度。第一步我们可以设AD的长为x，根据中点的性质用x表示出AF的长度；第二步利用相似多边形的核心性质：对应边成比例，找准两个矩形的对应边列出比例式；第三步代入已知数值解方程，最后结合边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到AD的长度。
【解析】
解：设AD的长为x。
∵E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$。
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=4$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{4}$
整理得$x^2=32$，
解得$x_1=4\sqrt{2}$，$x_2=-4\sqrt{2}$，
∵边长为正数，
∴舍去$x_2=-4\sqrt{2}$。
∴AD的长为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
相似多边形性质，矩形性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，核心考察相似多边形对应边成比例的应用，易错点为相似图形对应边匹配错误，以及求解方程后忽略边长为正的要求未舍去负根，掌握相似图形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：矩形ABEF与矩形ABCD相似，AB=4，E、F分别是BC、AD的中点，要求AD的长度。第一步我们可以设AD的长为x，根据中点的性质用x表示出AF的长度；第二步利用相似多边形的核心性质：对应边成比例，找准两个矩形的对应边列出比例式；第三步代入已知数值解方程，最后结合边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到AD的长度。
【解析】
解：设AD的长为x。
∵E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$。
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=4$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{4}$
整理得$x^2=32$，
解得$x_1=4\sqrt{2}$，$x_2=-4\sqrt{2}$，
∵边长为正数，
∴舍去$x_2=-4\sqrt{2}$。
∴AD的长为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
相似多边形性质，矩形性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，核心考察相似多边形对应边成比例的应用，易错点为相似图形对应边匹配错误，以及求解方程后忽略边长为正的要求未舍去负根，掌握相似图形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
17. (12分)如图12,矩形ABCD为台球桌面,AD=260 cm,AB=130 cm,球目前在点E位置,AE=60 cm。如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到点D位置。
(1)求证:△BEF∽△CDF;
(2)求CF的长。
(1)求证:△BEF∽△CDF;
(2)求CF的长。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
由台球反弹的入射角等于反射角的性质可得：$∠ EFB = ∠ DFC$，
∴ $△ BEF ∽ △ CDF$。
(2) 解：
由已知条件得：
$BE = AB - AE = 130 - 60 = 70\ \mathrm{cm}$，
$CD = AB = 130\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 260\ \mathrm{cm}$。
设 $CF = x\ \mathrm{cm}$，则 $BF = (260 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ $△ BEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{BE}{CD} = \frac{BF}{CF}$，
代入数值：$\frac{70}{130} = \frac{260 - x}{x}$，
交叉相乘得：$70x = 130(260 - x)$，
整理得：$200x = 33800$，
解得：$x = 169$。
答：$CF$的长为$\boldsymbol{169\ \mathrm{cm}}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
由台球反弹的入射角等于反射角的性质可得：$∠ EFB = ∠ DFC$，
∴ $△ BEF ∽ △ CDF$。
(2) 解：
由已知条件得：
$BE = AB - AE = 130 - 60 = 70\ \mathrm{cm}$，
$CD = AB = 130\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 260\ \mathrm{cm}$。
设 $CF = x\ \mathrm{cm}$，则 $BF = (260 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ $△ BEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{BE}{CD} = \frac{BF}{CF}$，
代入数值：$\frac{70}{130} = \frac{260 - x}{x}$，
交叉相乘得：$70x = 130(260 - x)$，
整理得：$200x = 33800$，
解得：$x = 169$。
答：$CF$的长为$\boldsymbol{169\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BEF∽△CDF，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，再结合台球反弹入射角等于反射角的规律得到∠EFB=∠DFC，两组角对应相等即可证明两三角形相似。
(2) 求CF的长可利用相似三角形的性质求解：先根据已知线段长度求出BE的长，再设CF为x，用含x的式子表示BF，根据相似三角形对应边成比例列出方程，解方程即可得到CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
由台球反弹的入射角等于反射角的性质可得：$∠ EFB = ∠ DFC$，
∴ $△ BEF ∽ △ CDF$。
(2) 解：
由已知条件得：
$BE = AB - AE = 130 - 60 = 70\ \mathrm{cm}$，
$CD = AB = 130\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 260\ \mathrm{cm}$。
设 $CF = x\ \mathrm{cm}$，则 $BF = (260 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ $△ BEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{BE}{CD} = \frac{BF}{CF}$，
代入数值：$\frac{70}{130} = \frac{260 - x}{x}$，
交叉相乘得：$70x = 130(260 - x)$，
整理得：$200x = 33800$，
解得：$x = 169$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CF$的长为$\boldsymbol{169\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景设计，将实际问题转化为几何模型求解，侧重考查基础几何知识的应用能力，解题的核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解未知线段。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BEF∽△CDF，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，再结合台球反弹入射角等于反射角的规律得到∠EFB=∠DFC，两组角对应相等即可证明两三角形相似。
(2) 求CF的长可利用相似三角形的性质求解：先根据已知线段长度求出BE的长，再设CF为x，用含x的式子表示BF，根据相似三角形对应边成比例列出方程，解方程即可得到CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
由台球反弹的入射角等于反射角的性质可得：$∠ EFB = ∠ DFC$，
∴ $△ BEF ∽ △ CDF$。
(2) 解：
由已知条件得：
$BE = AB - AE = 130 - 60 = 70\ \mathrm{cm}$，
$CD = AB = 130\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 260\ \mathrm{cm}$。
设 $CF = x\ \mathrm{cm}$，则 $BF = (260 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ $△ BEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{BE}{CD} = \frac{BF}{CF}$，
代入数值：$\frac{70}{130} = \frac{260 - x}{x}$，
交叉相乘得：$70x = 130(260 - x)$，
整理得：$200x = 33800$，
解得：$x = 169$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CF$的长为$\boldsymbol{169\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景设计，将实际问题转化为几何模型求解，侧重考查基础几何知识的应用能力，解题的核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解未知线段。
【难度系数】
0.7
