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13. 如图8,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ B=90°$,$D$为$AB$的中点,$E$在线段$AC$上,$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,则$\frac{AE}{AC}$的值为。
答案
解：设$BC=a$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$A,F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$；
2. 当点$E$在$F,C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$A,F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$；
2. 当点$E$在$F,C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
解析
【分析】
本题是特殊直角三角形中的线段比值求解问题，解题思路如下：1. 先利用含30°角的直角三角形的三边关系，设参数表示出△ABC各边的长度；2. 根据已知的比例关系求出DE的长度；3. 过D作AC的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段DF和AF的长度；4. 再用勾股定理求出EF的长度，注意E在线段AC上有两种位置（在垂足F的左右两侧），分类计算AE的长度，最后求出AE与AC的比值即可。
【解析】
设$BC=a$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$A,F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$；
2. 当点$E$在$F,C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题的关键是合理设参数表示各线段长度，易错点是容易忽略点E在线段AC上的两种位置情况，导致漏解，解题时要注意结合图形分析动点的所有可能位置，培养严谨的几何思维。
【难度系数】
0.6
本题是特殊直角三角形中的线段比值求解问题，解题思路如下：1. 先利用含30°角的直角三角形的三边关系，设参数表示出△ABC各边的长度；2. 根据已知的比例关系求出DE的长度；3. 过D作AC的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段DF和AF的长度；4. 再用勾股定理求出EF的长度，注意E在线段AC上有两种位置（在垂足F的左右两侧），分类计算AE的长度，最后求出AE与AC的比值即可。
【解析】
设$BC=a$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$A,F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$；
2. 当点$E$在$F,C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题的关键是合理设参数表示各线段长度，易错点是容易忽略点E在线段AC上的两种位置情况，导致漏解，解题时要注意结合图形分析动点的所有可能位置，培养严谨的几何思维。
【难度系数】
0.6
14.(2025·眉山)如图9,在平面直角坐标系中,用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案,若$OA=1$,$∠ OAB=90°$,则点$G$的坐标为。
答案
解：
由题意可知，所有以O为公共顶点的相似三角形均为等腰直角三角形，$∠ OAB=90°$，$OA=AB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
同理，后续每个等腰直角三角形的直角边长度等于前一个三角形的斜边长：
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$BC=OB=\sqrt{2}$，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=2$；
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$CD=OC=2$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$DE=OD=2\sqrt{2}$，$OE=\sqrt{OD^2+DE^2}=4$；
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$EF=OE=4$，$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=4\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$FG=OF=4\sqrt{2}$，$OG=\sqrt{OF^2+FG^2}=8$。
根据图案的旋转规律，$OG$与x轴正方向夹角为$270°$，因此点G的横坐标为$8·\cos270°=0$，纵坐标为$8·\sin270°=-8$。
点G的坐标为$\boldsymbol{(0,-8)}$。
由题意可知，所有以O为公共顶点的相似三角形均为等腰直角三角形，$∠ OAB=90°$，$OA=AB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
同理，后续每个等腰直角三角形的直角边长度等于前一个三角形的斜边长：
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$BC=OB=\sqrt{2}$，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=2$；
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$CD=OC=2$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$DE=OD=2\sqrt{2}$，$OE=\sqrt{OD^2+DE^2}=4$；
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$EF=OE=4$，$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=4\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$FG=OF=4\sqrt{2}$，$OG=\sqrt{OF^2+FG^2}=8$。
根据图案的旋转规律，$OG$与x轴正方向夹角为$270°$，因此点G的横坐标为$8·\cos270°=0$，纵坐标为$8·\sin270°=-8$。
点G的坐标为$\boldsymbol{(0,-8)}$。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，根据所有三角形相似、且△OAB是直角边为1的等腰直角三角形，可推出所有三角形都是等腰直角三角形，每个三角形的直角边长等于前一个三角形的斜边长，可通过勾股定理依次推导得到OG的长度；其次，每个等腰直角三角形的锐角为45°，即每经过一个三角形，对应边绕O点逆时针旋转45°，数出从OA到OG的旋转次数就能得到OG与x轴正方向的夹角，确定OG的位置；最后结合OG的长度和位置，写出点G的坐标。
【解析】
由题意可知，所有以O为公共顶点的相似三角形均为等腰直角三角形，已知∠OAB=90°，则OA=AB=1。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
同理，后续每个等腰直角三角形的直角边长度等于前一个三角形的斜边长：
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$BC=OB=\sqrt{2}$，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=2$；
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$CD=OC=2$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$DE=OD=2\sqrt{2}$，$OE=\sqrt{OD^2+DE^2}=4$；
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$EF=OE=4$，$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=4\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$FG=OF=4\sqrt{2}$，$OG=\sqrt{OF^2+FG^2}=8$。
每经过一个等腰直角三角形，对应边绕O点逆时针旋转45°，从OA到OG共旋转6次，总旋转角度为$6×45°=270°$，即OG与y轴负半轴重合，因此点G的横坐标为0，纵坐标为-8。
【答案】
$\boldsymbol{(0,-8)}$
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于规律探究类几何题，将相似、勾股定理和坐标系知识结合考查，需要学生准确推导边长变化规律、确定线段的位置，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：首先，根据所有三角形相似、且△OAB是直角边为1的等腰直角三角形，可推出所有三角形都是等腰直角三角形，每个三角形的直角边长等于前一个三角形的斜边长，可通过勾股定理依次推导得到OG的长度；其次，每个等腰直角三角形的锐角为45°，即每经过一个三角形，对应边绕O点逆时针旋转45°，数出从OA到OG的旋转次数就能得到OG与x轴正方向的夹角，确定OG的位置；最后结合OG的长度和位置，写出点G的坐标。
【解析】
由题意可知，所有以O为公共顶点的相似三角形均为等腰直角三角形，已知∠OAB=90°，则OA=AB=1。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
同理，后续每个等腰直角三角形的直角边长度等于前一个三角形的斜边长：
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$BC=OB=\sqrt{2}$，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=2$；
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$CD=OC=2$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$DE=OD=2\sqrt{2}$，$OE=\sqrt{OD^2+DE^2}=4$；
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$EF=OE=4$，$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=4\sqrt{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$FG=OF=4\sqrt{2}$，$OG=\sqrt{OF^2+FG^2}=8$。
每经过一个等腰直角三角形，对应边绕O点逆时针旋转45°，从OA到OG共旋转6次，总旋转角度为$6×45°=270°$，即OG与y轴负半轴重合，因此点G的横坐标为0，纵坐标为-8。
【答案】
$\boldsymbol{(0,-8)}$
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于规律探究类几何题，将相似、勾股定理和坐标系知识结合考查，需要学生准确推导边长变化规律、确定线段的位置，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15.(12分)如图10,已知$AD// BE// CF$,它们依次交直线$l_1$于点A,B,C,交直线$l_2$于点D,E,F,且$AB=6,BC=8$。
(1)求$\frac{DE}{DF}$的值；
(2)当$AD=5,CF=19$时,求BE的长。
15.(12分)如图10,已知$AD// BE// CF$,它们依次交直线$l_1$于点A,B,C,交直线$l_2$于点D,E,F,且$AB=6,BC=8$。
(1)求$\frac{DE}{DF}$的值；
(2)当$AD=5,CF=19$时,求BE的长。
答案
解：
(1) ∵ $AD// BE// CF$，
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$。
∵ $AB=6$，$BC=8$，
∴ $AC=AB+BC=14$，
∴ $\frac{DE}{DF}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$。
(2) 过点A作$AG// DF$，分别交$BE$、$CF$于点G、H。
∵ $AD// BE// CF$，$AG// DF$，
∴ 四边形$ADEG$、四边形$D F H F$均为平行四边形，
∴ $AD=EG=HF=5$。
∵ $CF=19$，
∴ $CH=CF-HF=19-5=14$。
∵ $BG// CH$，
∴ $△ ABG ∽ △ ACH$，
∴ $\frac{BG}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}$，
代入$CH=14$得：$BG=14×\frac{3}{7}=6$，
∴ $BE=BG+EG=6+5=11$。
答：(1) $\frac{DE}{DF}$的值为$\frac{3}{7}$；(2) $BE$的长为11。
(1) ∵ $AD// BE// CF$，
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$。
∵ $AB=6$，$BC=8$，
∴ $AC=AB+BC=14$，
∴ $\frac{DE}{DF}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$。
(2) 过点A作$AG// DF$，分别交$BE$、$CF$于点G、H。
∵ $AD// BE// CF$，$AG// DF$，
∴ 四边形$ADEG$、四边形$D F H F$均为平行四边形，
∴ $AD=EG=HF=5$。
∵ $CF=19$，
∴ $CH=CF-HF=19-5=14$。
∵ $BG// CH$，
∴ $△ ABG ∽ △ ACH$，
∴ $\frac{BG}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}$，
代入$CH=14$得：$BG=14×\frac{3}{7}=6$，
∴ $BE=BG+EG=6+5=11$。
答：(1) $\frac{DE}{DF}$的值为$\frac{3}{7}$；(2) $BE$的长为11。
解析
【分析】
(1) 已知$AD// BE// CF$，三条平行线被两条直线$l_1、l_2$所截，可直接运用平行线分线段成比例定理，将所求$\frac{DE}{DF}$转化为对应线段$\frac{AB}{AC}$的比值，先计算$AC$的长度，代入即可求解。
(2) 要求$BE$的长，可过点$A$作$AG// DF$，与$BE、CF$分别相交，构造平行四边形得到$AD$与$EG、HF$的等量关系，再结合平行线推出三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出$BE$的分段长度，相加即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AD// BE// CF$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$。
$\because AB=6$，$BC=8$，
$\therefore AC=AB+BC=6+8=14$，
$\therefore \frac{DE}{DF}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$。
(2) 过点$A$作$AG// DF$，分别交$BE$、$CF$于点$G$、$H$。
$\because AD// BE// CF$，$AG// DF$，
$\therefore$ 四边形$ADEG$、四边形$ADHF$均为平行四边形，
$\therefore AD=EG=HF=5$。
$\because CF=19$，
$\therefore CH=CF-HF=19-5=14$。
$\because BG// CH$，
$\therefore △ ABG ∽ △ ACH$，
$\therefore \frac{BG}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}$，
将$CH=14$代入得：$BG=14×\frac{3}{7}=6$，
$\therefore BE=BG+EG=6+5=11$。
【答案】
(1) $\frac{DE}{DF}$的值为$\frac{3}{7}$；(2) $BE$的长为$11$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线与相似结合的常见题型，第一问直接考查基础定理的应用，难度较低；第二问需要掌握构造辅助线的思路，将平行条件转化为平行四边形和相似模型求解，有助于巩固平行线和相似的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$AD// BE// CF$，三条平行线被两条直线$l_1、l_2$所截，可直接运用平行线分线段成比例定理，将所求$\frac{DE}{DF}$转化为对应线段$\frac{AB}{AC}$的比值，先计算$AC$的长度，代入即可求解。
(2) 要求$BE$的长，可过点$A$作$AG// DF$，与$BE、CF$分别相交，构造平行四边形得到$AD$与$EG、HF$的等量关系，再结合平行线推出三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出$BE$的分段长度，相加即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AD// BE// CF$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$。
$\because AB=6$，$BC=8$，
$\therefore AC=AB+BC=6+8=14$，
$\therefore \frac{DE}{DF}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$。
(2) 过点$A$作$AG// DF$，分别交$BE$、$CF$于点$G$、$H$。
$\because AD// BE// CF$，$AG// DF$，
$\therefore$ 四边形$ADEG$、四边形$ADHF$均为平行四边形，
$\therefore AD=EG=HF=5$。
$\because CF=19$，
$\therefore CH=CF-HF=19-5=14$。
$\because BG// CH$，
$\therefore △ ABG ∽ △ ACH$，
$\therefore \frac{BG}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}$，
将$CH=14$代入得：$BG=14×\frac{3}{7}=6$，
$\therefore BE=BG+EG=6+5=11$。
【答案】
(1) $\frac{DE}{DF}$的值为$\frac{3}{7}$；(2) $BE$的长为$11$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线与相似结合的常见题型，第一问直接考查基础定理的应用，难度较低；第二问需要掌握构造辅助线的思路，将平行条件转化为平行四边形和相似模型求解，有助于巩固平行线和相似的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
