登录
7. (2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 ()
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，可先通过最长边的比值得到两个三角形的周长比，再结合周长之和的已知条件，通过设未知数列方程或者按比例分配的方式，就能算出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形为相似三角形，相似三角形的周长比等于对应边的相似比
已知两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm，因此二者的相似比（大三角形:小三角形）=10:6=5:3
即两个三角形的周长比也为5:3
设较大三角形周长为$5x$ cm，较小三角形周长为$3x$ cm
根据周长之和为48 cm，列方程得：
$5x + 3x = 48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18$ cm
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形周长比性质
2.比例计算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形周长比和对应边比的关系，计算时注意不要混淆大小三角形的比例顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，可先通过最长边的比值得到两个三角形的周长比，再结合周长之和的已知条件，通过设未知数列方程或者按比例分配的方式，就能算出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形为相似三角形，相似三角形的周长比等于对应边的相似比
已知两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm，因此二者的相似比（大三角形:小三角形）=10:6=5:3
即两个三角形的周长比也为5:3
设较大三角形周长为$5x$ cm，较小三角形周长为$3x$ cm
根据周长之和为48 cm，列方程得：
$5x + 3x = 48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18$ cm
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形周长比性质
2.比例计算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形周长比和对应边比的关系，计算时注意不要混淆大小三角形的比例顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. (2025·遂宁)如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息,求出线段AQ的长为 ()
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
答案
A
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再识别尺规作图的含义：BQ是∠ABC的角平分线，且BQ⊥AQ。延长AQ交BC延长线于点H，根据“角平分线+所在边上的高”可判定△ABH为等腰三角形，得到AB=BH、Q为AH中点，先计算CH的长度，再在Rt△ACH中用勾股定理求出AH的长，最后根据中点性质得到AQ的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
由尺规作图痕迹可知：BQ平分∠ABC，且$BQ⊥ AQ$。
延长AQ交BC的延长线于点H，
∵BQ平分∠ABH，$BQ⊥ AH$，
∴△ABH是等腰三角形，$AB=BH=13$，且Q为AH的中点。
∴$CH=BH-BC=13-5=8$，
在Rt△ACH中，∠ACH=90°，AC=12，CH=8，
由勾股定理得：$AH=\sqrt{AC^2+CH^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
∵Q是AH中点，
∴$AQ=\frac{1}{2}AH=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形性质的综合应用，解题关键是准确识别作图痕迹的含义，通过构造辅助线得到等腰三角形转化线段关系，再结合勾股定理求解，能有效考查学生的识图能力和几何综合计算能力。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再识别尺规作图的含义：BQ是∠ABC的角平分线，且BQ⊥AQ。延长AQ交BC延长线于点H，根据“角平分线+所在边上的高”可判定△ABH为等腰三角形，得到AB=BH、Q为AH中点，先计算CH的长度，再在Rt△ACH中用勾股定理求出AH的长，最后根据中点性质得到AQ的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
由尺规作图痕迹可知：BQ平分∠ABC，且$BQ⊥ AQ$。
延长AQ交BC的延长线于点H，
∵BQ平分∠ABH，$BQ⊥ AH$，
∴△ABH是等腰三角形，$AB=BH=13$，且Q为AH的中点。
∴$CH=BH-BC=13-5=8$，
在Rt△ACH中，∠ACH=90°，AC=12，CH=8，
由勾股定理得：$AH=\sqrt{AC^2+CH^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
∵Q是AH中点，
∴$AQ=\frac{1}{2}AH=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形性质的综合应用，解题关键是准确识别作图痕迹的含义，通过构造辅助线得到等腰三角形转化线段关系，再结合勾股定理求解，能有效考查学生的识图能力和几何综合计算能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 若$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}(a≠c)$，则$\frac{b-d}{a-c}=$。
9. 若$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}(a≠c)$，则$\frac{b-d}{a-c}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题已知两组比的比值相等且均为$\frac{1}{2}$，要求两个差的比值，可从两个方向思考：一是利用比例的基本性质，将$b$、$d$分别用含$a$、$c$的式子表示，再代入所求代数式化简求值；二是直接应用等比性质求解，题目给出的$a≠c$的条件，保证了所求式子的分母不为0，符合等比性质的使用前提。
【解析】
方法一：
$\because \frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$
$\therefore b=\frac{1}{2}a$，$d=\frac{1}{2}c$
将上述关系代入$\frac{b-d}{a-c}$可得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}c}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}(a-c)}{a-c}$
又$\because a≠c$，即$a-c≠0$，约分化简得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
方法二：
$\because \frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，且$a≠c$即$a-c≠0$
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$（$n、q、n-q$均不为0），则$\frac{m-p}{n-q}=k$
直接可得$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于比例相关的基础考题，解题方法灵活，不管是参数代入法还是直接应用等比性质，都能快速得出结果，解题时注意不要忽略分母不为零的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
本题已知两组比的比值相等且均为$\frac{1}{2}$，要求两个差的比值，可从两个方向思考：一是利用比例的基本性质，将$b$、$d$分别用含$a$、$c$的式子表示，再代入所求代数式化简求值；二是直接应用等比性质求解，题目给出的$a≠c$的条件，保证了所求式子的分母不为0，符合等比性质的使用前提。
【解析】
方法一：
$\because \frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$
$\therefore b=\frac{1}{2}a$，$d=\frac{1}{2}c$
将上述关系代入$\frac{b-d}{a-c}$可得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}c}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}(a-c)}{a-c}$
又$\because a≠c$，即$a-c≠0$，约分化简得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
方法二：
$\because \frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，且$a≠c$即$a-c≠0$
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$（$n、q、n-q$均不为0），则$\frac{m-p}{n-q}=k$
直接可得$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于比例相关的基础考题，解题方法灵活，不管是参数代入法还是直接应用等比性质，都能快速得出结果，解题时注意不要忽略分母不为零的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
10. 20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图5，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即$BE^2 = AE · AB$。已知AB为2 m，则线段BE的长为 m。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{5}-1}$
解析
【分析】
首先我们根据题目给出的黄金分割等量关系$BE^2 = AE · AB$建立方程求解。先设$BE$的长度为$x\ \mathrm{m}$，已知$AB=2\ \mathrm{m}$，可得$AE=AB-BE=(2-x)\ \mathrm{m}$，将各线段长度代入等量关系可得到关于$x$的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的要求舍去负根，即可得到$BE$的长度。
【解析】
解：设线段$BE$的长为$x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=2\ \mathrm{m}$，$\therefore AE=AB-BE=(2-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意$BE^2=AE· AB$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
由一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
$\because$ 线段长度为正数，$\therefore x=-1-\sqrt{5}$不符合题意，舍去。
$\therefore x=\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，列方程解几何问题
【点评】
本题结合黄金分割的实际应用背景，考查方程思想在几何线段求解中的运用，解题关键是准确根据题意列出方程，注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
首先我们根据题目给出的黄金分割等量关系$BE^2 = AE · AB$建立方程求解。先设$BE$的长度为$x\ \mathrm{m}$，已知$AB=2\ \mathrm{m}$，可得$AE=AB-BE=(2-x)\ \mathrm{m}$，将各线段长度代入等量关系可得到关于$x$的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的要求舍去负根，即可得到$BE$的长度。
【解析】
解：设线段$BE$的长为$x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=2\ \mathrm{m}$，$\therefore AE=AB-BE=(2-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意$BE^2=AE· AB$，代入得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：$x^2+2x-4=0$
由一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
$\because$ 线段长度为正数，$\therefore x=-1-\sqrt{5}$不符合题意，舍去。
$\therefore x=\sqrt{5}-1$
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，列方程解几何问题
【点评】
本题结合黄金分割的实际应用背景，考查方程思想在几何线段求解中的运用，解题关键是准确根据题意列出方程，注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
11.(2025·内江改编)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处可见。如图6①是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头。如图6②所示,动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$,$BD=20\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长度是cm。
答案
$\boldsymbol{60}$
解析
【分析】
首先观察图②，AC和BD均垂直于AB，可得∠A与∠B都是直角，再结合对顶角∠AOC=∠BOD，可判定△AOC和△BOD相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的动力臂OA、阻力臂OB和BD的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，
∴$∠ A=∠ B=90°$，
又
∵$∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等），
∴$△ AOC ∽ △ BOD$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$。
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC=20×3=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中的杠杆原理考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形模型，再利用相似的性质列式计算，有助于提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图②，AC和BD均垂直于AB，可得∠A与∠B都是直角，再结合对顶角∠AOC=∠BOD，可判定△AOC和△BOD相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的动力臂OA、阻力臂OB和BD的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，
∴$∠ A=∠ B=90°$，
又
∵$∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等），
∴$△ AOC ∽ △ BOD$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$。
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC=20×3=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中的杠杆原理考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形模型，再利用相似的性质列式计算，有助于提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
12. (2025·广东)如图7,把$△ AOB$放大后得到$△ COD$,则$△ AOB$与$△ COD$的相似比是。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$（或$1:3$）
解析
【分析】
本题考查位似图形的相似比计算，解题思路如下：首先明确将△AOB放大得到△COD，说明两个三角形是位似图形，位似中心为原点O，相似比等于原图形与放大后图形对应边的比值；接下来找到两个三角形的一组对应边，计算其长度后作比即可，注意相似比是△AOB与△COD的比，顺序不能颠倒。
【解析】
解：由网格可知，点B的坐标为$(2,0)$，点D的坐标为$(6,0)$，
∴$OB=2$，$OD=6$。
∵把$△AOB$放大后得到$△COD$，
∴$△AOB ∽ △COD$，OB和OD是一组对应边，
∴$△AOB$与$△COD$的相似比为$OB:OD=2:6=\frac{1}{3}$（或$1:3$）。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$（或$1:3$）
【知识点】
位似图形的性质，相似比的计算，坐标与图形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是利用位似图形的对应边成比例求解相似比，解题时要注意相似比的前后顺序，避免因对应关系搞反而出错。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相似比计算，解题思路如下：首先明确将△AOB放大得到△COD，说明两个三角形是位似图形，位似中心为原点O，相似比等于原图形与放大后图形对应边的比值；接下来找到两个三角形的一组对应边，计算其长度后作比即可，注意相似比是△AOB与△COD的比，顺序不能颠倒。
【解析】
解：由网格可知，点B的坐标为$(2,0)$，点D的坐标为$(6,0)$，
∴$OB=2$，$OD=6$。
∵把$△AOB$放大后得到$△COD$，
∴$△AOB ∽ △COD$，OB和OD是一组对应边，
∴$△AOB$与$△COD$的相似比为$OB:OD=2:6=\frac{1}{3}$（或$1:3$）。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$（或$1:3$）
【知识点】
位似图形的性质，相似比的计算，坐标与图形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是利用位似图形的对应边成比例求解相似比，解题时要注意相似比的前后顺序，避免因对应关系搞反而出错。
【难度系数】
0.8
