1.(2024·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{2}{x}$交于A,B两点,$AC ⊥ x$轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在$y=\frac{2}{x}$的图象上任取点$P(x_1,y_1)$和点$Q(x_2,y_2)$,若$y_1＞y_2$,则$x_1＞x_2$;④$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}$.其中正确结论的个数是()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. C 解析 如图,作$BE⊥x$轴,垂足为E.①根据反比例函数图象关于原点成中心对称,故①正确.
②
∵点A与点B关于原点对称,$∴OA=OB$.在$△ OBE$和$△ OAC$中,$\begin{cases} ∠EOB=∠COA \\ ∠OEB=∠OCA \\ OB=OA \end{cases}$,$∴△ OBE ≌△ OAC(\mathrm{AAS})$,$∴OE=OC.∵EB// y$轴,$∴OD$是$△ CBE$的中位线,$∴D$是$BC$的中点,故②正确.
③在每个象限内,$y$随$x$的增大而减小,故③错误.
④$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$,故$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}$,故④正确.故选C.

2.(2023·新疆中考变式)如图,在平面直角坐标系中,△OAB为直角三角形,∠A=90°,∠AOB=30°,OB=4.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过OA的中点C,交AB于点D,则k的值为.

2. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 解析 如图,过点A作$AE⊥OB$于点E,过点C作$CF⊥OB$于点F.$∵∠A=90°,∠AOB=30°$,$OB=4$,$∴AB=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2$.由勾股定理,得$OA=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$∠AOB=30°$,$OA=2\sqrt{3}$,$∴AE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$,由勾股定理,得$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$.$∵C$是$OA$的中点,$∴CF=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{3}{2}$.$∵$点C在第一象限，$∴$点C的坐标是$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.$∵$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过OA的中点C,$∴k=\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

3. (2025·新疆中考变式)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=k_1x+b(k_1≠0)$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$交于$A(1,4),B(-4,n)$
两点,过点A作直线$AC⊥AB$交x轴于点C,连接BC,求$△ ABC$的面积.

3. 解:$∵A(1,4),B(-4,n)$在双曲线上,$∴k_2=1×4=4$,$n=\frac{4}{-4}=-1$.$∵A(1,4),B(-4,-1)$在$y=k_1x+b(k_1≠0)$上,$∴4=k_1+b$,$-1=-4k_1+b$,解得$k_1=1$,$b=3$,则直线AB的解析式为$y=x+3$.
如图,设AB与x轴交于点D,此时$∠ADC=45°$.
$∵AC⊥AB$,$∴△ ADC$为等腰直角三角形.过点A作$AE⊥x$轴于点E,则$E(1,0)$.将$y=0$代入$y=x+3$,解得$x=-3$,即$D(-3,0)$,$∴DE=4$,由三线合一得$EC=4$,即$C(5,0)$,$∴DC=8$,$∴S_{△ ABC}=S_{△ ADC}+S_{△ BDC}=\frac{1}{2}DC·AE+\frac{1}{2}DC·|y_B|=\frac{1}{2}×8×4+\frac{1}{2}×8×1=20$.

1.(乌鲁木齐模拟)如图,已知一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$(m为常数且$m≠0$)的图象都经过点$A(-1,2),B(2,-1)$,结合图象,则不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$的解集是()


A.$x＜-1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜2$
C.$-1＜x＜0$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$

1. D