19.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是CD上一点,点D与点C关于点E成中心对称,连接AE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)E是线段CD的,点A与点F关于点成中心对称.
(2)若AB=AD+BC,求证:△ABF是等腰三角形.

19. (1) 中点 E
(2)证明:
∵E是线段CD的中点，
∴DE = CE.
∵AD // BC,
∴∠D = ∠FCE. 在△ADE和△FCE中,∠D = ∠FCE, DE = CE, ∠AED = ∠FEC,
∴△ADE ≌ △FCE (ASA),
∴AD=FC.
∵AB=AD+BC,BF=BC+CF=BC+AD,
∴AB=BF,
∴△ABF是等腰三角形.

20. (11分)阅读下面材料,解决问题.
(1)如图①,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB = .
(2)基本运用
请你利用第(1)题的方法,解答下面问题.
如图②,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF²=BE²+FC².
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.

20. (1) 150°
(2)证明:如图①，，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'. 由旋转的性质得,AE' = AE,CE' = BE,∠CAE' = ∠BAE,∠ACE' = ∠B,∠EAE'=90°.
∵∠EAF=45°,
∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠E'AF. 在△EAF和△E'AF中，$\begin{cases} AE=AE' \\ ∠EAF=∠E'AF \\ AF=AF \end{cases}$,
∴△EAF ≌ △E'AF(SAS),
∴EF=E'F.
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E'CF=45°+45°=90°. 由勾股定理得,E'F²=CE'²+FC²,即EF²=BE²+FC².
(3)解:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=$\sqrt{3}$. 如图②，，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处,连接OO',
∴∠A'BC = ∠ABC + 60° = 30° + 60° = 90°,△A'O'B≌△AOB.
∵A'B=AB=2,BO=BO',A'O' = AO,
∴△BOO'是等边三角形,
∴BO = OO',∠BOO' = ∠BO'O=60°.
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°,
∴C,O,O',A'四点共线. 在Rt△A'BC中,A'C=$\sqrt{BC^2+A'B^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}$=$\sqrt{7}$,
∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=$\sqrt{7}$.