1 关于$x$的方程$ax^{2}-(3a+1)x+2(a+1)=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}-x_{1}x_{2}+x_{2}=1-a$，则$a$的值是（）

A.$1$
B.$-1$
C.$1$或$-1$
D.$2$

1. C

2 (易错题)[2024 内江]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,则$p$的值为()

A.$-1$
B.$3$
C.$1$或$-3$
D.$-1$或$3$

2. B
易错分析
2. 解答本题时容易忽视题中的“一元二次方程根的判别式为正数”这一隐含条件而错选D选项.

3 已知关于 $x$ 的方程 $x^2+2mx+m^2-m+2=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$ ,且 $x_1+x_2+x_1· x_2=2$ ,则 $m$ 的值为.

3. 3

4 设$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+5x-3=0$的两个实数根，且$2x_{1}(x^{2}_{2}+6x_{2}-3)+a=4$，则$a$的值为。

4. 10

5 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2x+3-k=0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $α,β$，且 $k^2=αβ+3k$，求 $k$ 的值.

5. (1) $\Delta=2^{2}-4(3-k)=-8+4k.\because$ 原方程有两个不相等的实数根, $\therefore -8+4k＞0$, 解得 $k＞2$ (2) $\because$ 方程的两个实数根分别为 $α$, $β,\therefore αβ=3-k.\because k^{2}=αβ+3k,\therefore k^{2}=3-k+3k$, 即 $k^{2}-2k-3=$ 0 , 解得 $k_{1}=3, k_{2}=-1$ (不合题意, 舍去), $\therefore k$ 的值为 3

6 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2mx+m^2-4m-1=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$, 且 $(x_1+2)(x_2+2)-$ $2x_1x_2=17$, 求 $m$ 的值.

6. $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}, \therefore \Delta=(-2m)^{2}-4(m^{2}-4m-1) ≥ 0$, 即 $m ≥-\dfrac{1}{4}$, 且 $x_{1}x_{2}=m^{2}-4m-1, x_{1}+x_{2}=2m.\because (x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=$ $17, \therefore x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4-2x_{1}x_{2}=17$, 即 $2(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=$ $13, \therefore 4m-m^{2}+4m+1=13$. 整理, 得 $m^{2}-8m+12=0$, 解得 $m_{1}=$ $2, m_{2}=6.\because m ≥-\dfrac{1}{4}, \therefore$ 满足题意的 $m$ 的值为 2 或 6

7 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(k-1)x+k^{2}+3=0$ 的两个实数根分别为 $x_1,x_2$，设 $t=\dfrac{x_1+x_2}{k}$，则 $t$ 的最大值为（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

7. D