11 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x-2m+1=0$的两个实数根之积为负数,则实数$m$的取值范围是.

11. $m＞\dfrac{1}{2}$

12 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+2m-1=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$.
(1) 若 $x_1=1$,求 $x_2$ 及 $m$ 的值.
(2) 是否存在实数 $m$,满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数 $m$ 的值;若不存在,请说明理由.

12. (1) 由题意,得 $\begin{cases}1+x_2=6,\\1· x_2=2m-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_2=5,\\m=3\end{cases}$ (2) 存在 根据题意,得 $(-6)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤5$. 假设存在实数 $m$,满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5}$,即 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\dfrac{6}{m-5}$.$\because x_1+x_2=6$,$x_1x_2=2m-1$,$\therefore 2m-1-6+1=\dfrac{6}{m-5}$. 化简,得 $m^2-8m+12=0$,解得 $m_1=2$,$m_2=6$.$\because m≤5$ 且 $m-5≠0$,$\therefore m=2$. 经检验,$m=2$ 是原分式方程的解,且符合题意. $\therefore$ 假设成立,即存在实数 $m=2$,满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5}$

13 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+2k=0$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}.$
（1）求实数 $k$ 的取值范围.
（2）是否存在实数 $k$,使得 $x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2} ≥ 0$ 成立？若存在,请求出 $k$ 的值;若不存在,请说明理由.

13. (1) $\because$ 方程有两个实数根,$\therefore \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)=1-4k≥0$,解得 $k≤\dfrac{1}{4}$ (2) 不存在 理由:假设存在实数 $k$,使得 $x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$ 成立. $\because x_1$,$x_2$ 是原方程的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=2k+1$,$x_1x_2=k^2+2k$.$\because x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$,即 $x_1x_2-x_1^2-x_2^2≥0$,$\therefore 3x_1x_2-(x_1+x_2)^2≥0$,即 $3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0$. 整理,得 $(k-1)^2≤0$.$\therefore k=1$. 由(1),知 $k≤\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 不存在实数 $k$,使得 $x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$ 成立.

14 [2025 宿迁]方程 $x^{2}-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 m,n,求 $(m^{2}-2023m-2026)(n^{2}-2023n-2026)$ 的值.

14. $\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m$,$n$,$\therefore m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,$\therefore m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$