8 已知 a,b 是关于 x 的一元二次方程 $x^{2}-2x+p-1=0$ 的两个非负实数根. 若 p 是实数,求 $(a-1)(b-1)$的最小值与最大值.

8. 根据题意, 得 $\Delta=(-2)^{2}-4(p-1) ≥ 0$, 且 $a+b=2, ab=p-1 ≥$ 0 , 解得 $1 ≤ p ≤ 2.\because (a-1)(b-1)=-(a+b)+ab+1=-2+p-$ $1+1=p-2, \therefore$ 当 $p=1$ 时, $(a-1)(b-1)$ 取得最小值, 最小值为 $1-2=-1$; 当 $p=2$ 时, $(a-1)(b-1)$ 取得最大值, 最大值为 $2-$ $2=0$

9 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x+m-2=0$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$,求:
(1) $m$ 的取值范围;
(2) $3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$ 的最小值.

9. (1) 根据题意, 得 $\Delta=(-2)^{2}-4(m-2) ≥ 0$, 解得 $m ≤ 3$ (2) 根据题意, 得 $x_{1}+x_{2}=2, x_{1}x_{2}=m-2, \therefore 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=6-$ $(m-2)=-m+8.\because m ≤ 3, \therefore$ 当 $m=3$ 时, $3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$ 取得最小值, 最小值为 $-3+8=5$

10 [2024 遂宁]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m+2)x+m-1=0.$
(1) 求证:无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根为 $x_1,x_2$,且 $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,求 $m$ 的值.

10. (1) $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1, \therefore \Delta=[-(m+2)]^{2}-$ $4 ×1 ×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8.\because m^{2} ≥ 0, \therefore m^{2}+$ $8＞0$, 即 $\Delta＞0, \therefore$ 无论 $m$ 取何值, 方程都有两个不相等的实数根(2) $\because$ 方程 $x^{2}-(m+2) x+m-1=0$ 的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$, $\therefore x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1}x_{2}=m-1.\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$, 即 $(x_{1}+$ $x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9, \therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理, 得 $m^{2}+m-2=$ 0. $\therefore (m+2)(m-1)=0$, 解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1, \therefore m$ 的值为 -2 或 1

11 分类讨论思想 已知关于$x$的方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0.$
(1) 求证:无论$k$为何值,方程总有实数根.
(2) 设$x_{1},x_{2}$是方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$的两个实数根,记$S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$,则$S$的值能为1吗? 若能,求出此时$k$的值;若不能,请说明理由.

11. (1) (1) 当 $k-1=0$, 即 $k=1$ 时, 方程为一元一次方程 $2x+2=0$,解得 $x=-1.\therefore$ 当 $k=1$ 时, 原方程有一个实数根. (2) 当 $k-1 ≠0$, 即 $k ≠1$ 时, 方程为一元二次方程. $\because \Delta=(2k)^{2}-4 ×2(k-1)=4k^{2}-$ $8k+8=4(k-1)^{2}+4,(k-1)^{2}＞0, \therefore 4(k-1)^{2}+4＞0, \therefore$ 方程有两个不相等的实数根. 综上所述, 无论 $k$ 为何值, 方程总有实数根(2) 能 $\because x_{1}, x_{2}$ 是方程 $(k-1) x^{2}+2k x+2=0$ 的两个实数根, $\therefore x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2k}{k-1}, x_{1}x_{2}=\dfrac{2}{k-1}$. 令 $S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-$ $(x_{1}+x_{2})=1, \therefore \dfrac{2}{k-1}+\dfrac{2k}{k-1}=1$. 整理, 得 $2+2k=k-1$, 解得 $k=-3$. 经检验, $k=-3$ 是分式方程的解, 且符合题意. $\therefore k$ 的值为-3