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1.如图，小正方形的边长均为1，则下列右图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（
A
C
D
A
）A
C
D
答案
1.A
解析
【分析】
要判断阴影三角形与△ABC是否相似，可先借助勾股定理算出△ABC的三边长，得到三边的长度比，再依次计算各选项中阴影三角形的三边长及对应比，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，选出比例一致的选项即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
首先计算△ABC的三边长：
短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
中边：$2$
长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$（各项同除以$\sqrt{2}$化简）。
再分别计算各选项阴影三角形的三边比：
选项A：阴影三边长为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，和△ABC三边比一致，两三角形相似；
选项B：阴影三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，和△ABC比例不同，不相似；
选项C：阴影三边长为$1$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和△ABC比例不同，不相似；
选项D：阴影三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，和△ABC比例不同，不相似。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于网格类相似判断的典型题，解题的核心是通过勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理比对边长比例即可得出结论，解题时注意先化简边长比再比对，可减少计算量。
【难度系数】
0.7
要判断阴影三角形与△ABC是否相似，可先借助勾股定理算出△ABC的三边长，得到三边的长度比，再依次计算各选项中阴影三角形的三边长及对应比，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，选出比例一致的选项即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
首先计算△ABC的三边长：
短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
中边：$2$
长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$（各项同除以$\sqrt{2}$化简）。
再分别计算各选项阴影三角形的三边比：
选项A：阴影三边长为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，和△ABC三边比一致，两三角形相似；
选项B：阴影三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，和△ABC比例不同，不相似；
选项C：阴影三边长为$1$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和△ABC比例不同，不相似；
选项D：阴影三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，和△ABC比例不同，不相似。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于网格类相似判断的典型题，解题的核心是通过勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理比对边长比例即可得出结论，解题时注意先化简边长比再比对，可减少计算量。
【难度系数】
0.7
2.一斜坡长70m，它的高为5m，将重物从斜坡下起点推到斜坡上20m处停下，停下地点的高度为(
A.$\frac{11}{7}$m
B.$\frac{9}{7}$m
C.$\frac{10}{7}$m
D.$\frac{3}{2}$m
C
)A.$\frac{11}{7}$m
B.$\frac{9}{7}$m
C.$\frac{10}{7}$m
D.$\frac{3}{2}$m
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道和斜坡相关的实际应用题，解题核心是抓住斜坡倾斜程度不变的特点：同一斜坡上，任意位置的垂直高度与对应沿斜坡走过的长度的比值是固定的。我们可以通过比例关系列等式求解，先找到整个斜坡的高度和总斜坡长度的比值，再结合重物移动的斜坡长度，就能求出停下位置对应的高度。
【解析】
设停下地点的高度为$ x $ m。
因为斜坡倾斜程度不变，高度和对应斜坡长度的比值相等，可列比例式：
$\frac{x}{20}=\frac{5}{70}$
解比例得：
$x=\frac{5×20}{70}=\frac{100}{70}=\frac{10}{7}$
因此停下地点的高度为$\frac{10}{7}$ m。
【答案】
C
【知识点】
比例的应用、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类的几何实际应用题，解题关键是抓住同一斜坡上高度与对应斜坡长度的比值恒定的特点，只要掌握比例计算的方法就能快速解答，是几何知识结合生活场景的典型考法。
【难度系数】
0.8
这是一道和斜坡相关的实际应用题，解题核心是抓住斜坡倾斜程度不变的特点：同一斜坡上，任意位置的垂直高度与对应沿斜坡走过的长度的比值是固定的。我们可以通过比例关系列等式求解，先找到整个斜坡的高度和总斜坡长度的比值，再结合重物移动的斜坡长度，就能求出停下位置对应的高度。
【解析】
设停下地点的高度为$ x $ m。
因为斜坡倾斜程度不变，高度和对应斜坡长度的比值相等，可列比例式：
$\frac{x}{20}=\frac{5}{70}$
解比例得：
$x=\frac{5×20}{70}=\frac{100}{70}=\frac{10}{7}$
因此停下地点的高度为$\frac{10}{7}$ m。
【答案】
C
【知识点】
比例的应用、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类的几何实际应用题，解题关键是抓住同一斜坡上高度与对应斜坡长度的比值恒定的特点，只要掌握比例计算的方法就能快速解答，是几何知识结合生活场景的典型考法。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=7$，$AC=6$，延长$BC$到$E$，使$△ EAB ∽ △ ECA$，则$EC$的长为（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
3.C
解析
【分析】
解题首先要利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。首先根据相似三角形的字母对应顺序，结合公共角∠E，确定两组三角形的对应边：△EAB∽△ECA对应顶点为E→E、A→C、B→A，因此对应边比例为$\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{AC}$。接下来设$EC=x$，可得$EB=BC+EC=7+x$，代入已知边长列比例式求解即可。
【解析】
设$EC$的长度为$x$，则$EB=EC+BC=x+7$。
∵$△ EAB ∽ △ ECA$
∴根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{AC}$
推导得$\frac{EB}{EC}=(\frac{AB}{AC})^2$
代入$AB=8$、$AC=6$、$EB=x+7$、$EC=x$得：
$\frac{x+7}{x}=(\frac{8}{6})^2=\frac{16}{9}$
交叉相乘得：$16x=9(x+7)$
展开整理：$16x=9x+63$
$7x=63$
解得$x=9$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形性质、比例方程求解
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题关键是根据相似三角形的顶点顺序准确找到对应边，公共角可辅助快速确认对应关系，计算时通过比例变形可简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
解题首先要利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。首先根据相似三角形的字母对应顺序，结合公共角∠E，确定两组三角形的对应边：△EAB∽△ECA对应顶点为E→E、A→C、B→A，因此对应边比例为$\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{AC}$。接下来设$EC=x$，可得$EB=BC+EC=7+x$，代入已知边长列比例式求解即可。
【解析】
设$EC$的长度为$x$，则$EB=EC+BC=x+7$。
∵$△ EAB ∽ △ ECA$
∴根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{AC}$
推导得$\frac{EB}{EC}=(\frac{AB}{AC})^2$
代入$AB=8$、$AC=6$、$EB=x+7$、$EC=x$得：
$\frac{x+7}{x}=(\frac{8}{6})^2=\frac{16}{9}$
交叉相乘得：$16x=9(x+7)$
展开整理：$16x=9x+63$
$7x=63$
解得$x=9$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形性质、比例方程求解
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题关键是根据相似三角形的顶点顺序准确找到对应边，公共角可辅助快速确认对应关系，计算时通过比例变形可简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
4.如图所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个因式分解的公式，这个公式是
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
。答案
4.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
解析
【分析】
解题时我们利用“剪拼前后图形面积不变”的原理，分两步计算阴影面积：第一步先计算左图阴影部分的面积，左图是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积；第二步计算右图拼成的矩形的面积，先确定矩形的长和宽，再用长乘宽得到面积；最后根据两个阴影面积相等列出等式，就能得到对应的因式分解公式。
【解析】
1. 计算左图阴影面积：
大正方形边长为a，面积为$a^2$；挖掉的小正方形边长为b，面积为$b^2$，因此左图阴影面积$S_1 = a^2 - b^2$。
2. 计算右图矩形面积：
观察拼成的矩形，长为$a+b$，宽为$a-b$，因此矩形面积$S_2 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于剪拼前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，这就是所求的因式分解公式。
【答案】
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，面积法验证公式
【点评】
本题借助几何图形的面积计算，直观验证了代数中的平方差公式，体现了数形结合的数学思想，是理解平方差公式几何意义的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时我们利用“剪拼前后图形面积不变”的原理，分两步计算阴影面积：第一步先计算左图阴影部分的面积，左图是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积；第二步计算右图拼成的矩形的面积，先确定矩形的长和宽，再用长乘宽得到面积；最后根据两个阴影面积相等列出等式，就能得到对应的因式分解公式。
【解析】
1. 计算左图阴影面积：
大正方形边长为a，面积为$a^2$；挖掉的小正方形边长为b，面积为$b^2$，因此左图阴影面积$S_1 = a^2 - b^2$。
2. 计算右图矩形面积：
观察拼成的矩形，长为$a+b$，宽为$a-b$，因此矩形面积$S_2 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于剪拼前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，这就是所求的因式分解公式。
【答案】
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，面积法验证公式
【点评】
本题借助几何图形的面积计算，直观验证了代数中的平方差公式，体现了数形结合的数学思想，是理解平方差公式几何意义的典型题型。
【难度系数】
0.8
5.如果 $18x^2 + 19x + m = (9x + 5)(2x + n)$，则 $m=$
5
，$n=$ 1
。答案
5. 5 1
解析
【分析】
本题可利用多项式相等时对应同类项系数相等的原理求解。首先将等式右侧的两个一次二项式按多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再将展开后的式子与左侧的多项式对比，分别根据一次项系数、常数项对应相等列方程，依次求出n和m的值即可。
【解析】
先展开等式右侧的式子：
$\begin{aligned}(9x + 5)(2x + n)&=9x·2x + 9x· n + 5·2x + 5· n\\&=18x^2 + 9nx + 10x + 5n\\&=18x^2 + (9n + 10)x + 5n\end{aligned}$
因为等式左右两边的多项式相等，所以对应同类项的系数相等：
1. 对比一次项系数：$9n + 10 = 19$
解方程得：$9n = 19 - 10 = 9$，即$n=1$
2. 对比常数项：$m = 5n$
将$n=1$代入得：$m=5×1=5$
【答案】
5；1
【知识点】
多项式乘多项式运算；多项式恒等条件
【点评】
本题是整式乘法模块的基础题型，主要考查对多项式乘法运算规则的掌握，以及对多项式恒等时对应系数相等这一原理的理解，解题时注意展开多项式时不要漏乘、错乘，熟练掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题可利用多项式相等时对应同类项系数相等的原理求解。首先将等式右侧的两个一次二项式按多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再将展开后的式子与左侧的多项式对比，分别根据一次项系数、常数项对应相等列方程，依次求出n和m的值即可。
【解析】
先展开等式右侧的式子：
$\begin{aligned}(9x + 5)(2x + n)&=9x·2x + 9x· n + 5·2x + 5· n\\&=18x^2 + 9nx + 10x + 5n\\&=18x^2 + (9n + 10)x + 5n\end{aligned}$
因为等式左右两边的多项式相等，所以对应同类项的系数相等：
1. 对比一次项系数：$9n + 10 = 19$
解方程得：$9n = 19 - 10 = 9$，即$n=1$
2. 对比常数项：$m = 5n$
将$n=1$代入得：$m=5×1=5$
【答案】
5；1
【知识点】
多项式乘多项式运算；多项式恒等条件
【点评】
本题是整式乘法模块的基础题型，主要考查对多项式乘法运算规则的掌握，以及对多项式恒等时对应系数相等这一原理的理解，解题时注意展开多项式时不要漏乘、错乘，熟练掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6.化简$\frac{x+1}{x} ÷ (x - \frac{1+x^2}{2x})$，其结果是
$\frac{2}{x-1}$
。答案
6.$\frac{2}{x-1}$
解析
【分析】
这是一道分式混合运算化简题，解题遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步先处理括号内的异分母分式减法，将整式x通分为分母是2x的分式，再进行分子的加减运算；第二步将括号内的结果因式分解，便于后续约分；第三步将分式除法转化为乘法运算，约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$x - \frac{1+x^2}{2x} = \frac{2x^2}{2x} - \frac{1+x^2}{2x} = \frac{2x^2 - (1 + x^2)}{2x} = \frac{x^2 - 1}{2x}$
利用平方差公式因式分解分子：$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$，因此括号内结果为$\frac{(x+1)(x-1)}{2x}$
再计算除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$\frac{x+1}{x} ÷ \frac{(x+1)(x-1)}{2x} = \frac{x+1}{x} × \frac{2x}{(x+1)(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得到化简结果。
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题，重点考查运算顺序和分式运算的基本法则，解题时需注意异分母通分的正确性、除法转乘法时的倒数变形，以及因式分解的准确性，熟练掌握基础规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式混合运算化简题，解题遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步先处理括号内的异分母分式减法，将整式x通分为分母是2x的分式，再进行分子的加减运算；第二步将括号内的结果因式分解，便于后续约分；第三步将分式除法转化为乘法运算，约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$x - \frac{1+x^2}{2x} = \frac{2x^2}{2x} - \frac{1+x^2}{2x} = \frac{2x^2 - (1 + x^2)}{2x} = \frac{x^2 - 1}{2x}$
利用平方差公式因式分解分子：$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$，因此括号内结果为$\frac{(x+1)(x-1)}{2x}$
再计算除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$\frac{x+1}{x} ÷ \frac{(x+1)(x-1)}{2x} = \frac{x+1}{x} × \frac{2x}{(x+1)(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得到化简结果。
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题，重点考查运算顺序和分式运算的基本法则，解题时需注意异分母通分的正确性、除法转乘法时的倒数变形，以及因式分解的准确性，熟练掌握基础规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、计算题
7.先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a}$，其中a=-1。
7.先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a}$，其中a=-1。
答案
7.解:原式$=\frac{a-2}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} = \frac{a}{a-2}$,当$a=-1$时,原式$=\frac{-1}{-1-2}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的分式减法：将1转化为分母为a-1的分式，和$\frac{1}{a-1}$通分后计算差；②将分式除法转化为乘法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对分子分母中可以因式分解的多项式进行因式分解，再约去公因式，得到最简分式；④验证a的取值不会让原分式分母为0后，将a=-1代入最简分式计算结果即可，这样计算比直接代入原式更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先化简原式：
括号内通分计算：$1 - \frac{1}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{a-1-1}{a-1} = \frac{a-2}{a-1}$
对除式的分子分母因式分解：$\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a} = \frac{(a-2)^2}{a(a-1)}$
将除法转化为乘法并约分：
原式$=\frac{a-2}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} = \frac{a}{a-2}$
将$a=-1$代入最简分式：
原式$=\frac{-1}{-1 - 2} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，主要考查分式通分、约分、因式分解的掌握程度，计算时要注意遵循运算顺序，代入数值计算时要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的分式减法：将1转化为分母为a-1的分式，和$\frac{1}{a-1}$通分后计算差；②将分式除法转化为乘法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对分子分母中可以因式分解的多项式进行因式分解，再约去公因式，得到最简分式；④验证a的取值不会让原分式分母为0后，将a=-1代入最简分式计算结果即可，这样计算比直接代入原式更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先化简原式：
括号内通分计算：$1 - \frac{1}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{a-1-1}{a-1} = \frac{a-2}{a-1}$
对除式的分子分母因式分解：$\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a} = \frac{(a-2)^2}{a(a-1)}$
将除法转化为乘法并约分：
原式$=\frac{a-2}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} = \frac{a}{a-2}$
将$a=-1$代入最简分式：
原式$=\frac{-1}{-1 - 2} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，主要考查分式通分、约分、因式分解的掌握程度，计算时要注意遵循运算顺序，代入数值计算时要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
