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四、解答题
9.如图，$\mathrm{Rt}△ AB'C'$是由$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接$CC'$交AB于点E，$CC'$的延长线交$BB'$于点F。
(1)证明:$△ ACE ∽ △ FBE$；
(2)设$∠ ABC=α$，$∠ CAC'=β$，试探索$α$，$β$满足什么关系时，$△ ACE$与$△ FBE$是全等三角形，并说明理由。
9.如图，$\mathrm{Rt}△ AB'C'$是由$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接$CC'$交AB于点E，$CC'$的延长线交$BB'$于点F。
(1)证明:$△ ACE ∽ △ FBE$；
(2)设$∠ ABC=α$，$∠ CAC'=β$，试探索$α$，$β$满足什么关系时，$△ ACE$与$△ FBE$是全等三角形，并说明理由。
答案
9.(1)证明:$\because \mathrm{Rt}△ AB'C'$是由$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点A顺时针旋转得到的，
$\therefore AC=AC',AB=AB',∠ CAB=∠ C'AB'$。$\therefore ∠ CAC'=∠ BAB'$。$\therefore ∠ ACC'=∠ ABB'$。
又$∠ AEC=∠ FEB, \therefore △ ACE ∽ △ FBE$。
(2)解:当$β=2α$时,$△ ACE ≌ △ FBE$。 在$△ ACC'$中,$\because AC=AC'$,
$\therefore ∠ ACC'=\dfrac{180°-∠ CAC'}{2}=\dfrac{180°-β}{2}=90°-α$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACC'+∠ BCE=90°$,即$90°-α+∠ BCE=90°,\therefore ∠ BCE=α$。
$\because ∠ ABC=α,\therefore ∠ ABC=∠ BCE$。$\therefore CE=BE$。由(1)知:$△ ACE ∽ △ FBE,\therefore △ ACE ≌ △ FBE$。
$\therefore AC=AC',AB=AB',∠ CAB=∠ C'AB'$。$\therefore ∠ CAC'=∠ BAB'$。$\therefore ∠ ACC'=∠ ABB'$。
又$∠ AEC=∠ FEB, \therefore △ ACE ∽ △ FBE$。
(2)解:当$β=2α$时,$△ ACE ≌ △ FBE$。 在$△ ACC'$中,$\because AC=AC'$,
$\therefore ∠ ACC'=\dfrac{180°-∠ CAC'}{2}=\dfrac{180°-β}{2}=90°-α$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACC'+∠ BCE=90°$,即$90°-α+∠ BCE=90°,\therefore ∠ BCE=α$。
$\because ∠ ABC=α,\therefore ∠ ABC=∠ BCE$。$\therefore CE=BE$。由(1)知:$△ ACE ∽ △ FBE,\therefore △ ACE ≌ △ FBE$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ACE∽△FBE，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，进而推出∠ACC'=∠ABB'，再结合对顶角相等，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 已知△ACE∽△FBE，要使两三角形全等，只需证明一组对应边相等，此处选择证明CE=BE。结合等腰△ACC'的内角和公式、Rt△ABC的角互余关系，推导得到∠BCE=∠ABC，即可得到CE=BE，进而反推出α和β的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC'，AB=AB'，∠CAB=∠C'AB'，
∴∠CAC'=∠BAB'，
∴∠ACC'=∠ABB'，
又
∵∠AEC=∠FEB（对顶角相等），
∴△ACE∽△FBE。
(2) 解：当β=2α时，△ACE≌△FBE，理由如下：
在△ACC'中，
∵AC=AC'，
∴∠ACC'=$\dfrac{180°-∠CAC'}{2}=\dfrac{180°-β}{2}=90°-α$，
在Rt△ABC中，∠ACC'+∠BCE=90°，即$90°-α+∠BCE=90°$，
∴∠BCE=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由(1)知△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE。
【答案】
(1) 已证△ACE∽△FBE；
(2) 当β=2α时，△ACE≌△FBE。
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定；全等三角形的判定
【点评】本题结合旋转性质、三角形相似与全等判定考察，核心是利用旋转的不变性得到边、角的等量关系，结合三角形内角和、等腰三角形性质推导角的关系即可解题，侧重考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ACE∽△FBE，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，进而推出∠ACC'=∠ABB'，再结合对顶角相等，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 已知△ACE∽△FBE，要使两三角形全等，只需证明一组对应边相等，此处选择证明CE=BE。结合等腰△ACC'的内角和公式、Rt△ABC的角互余关系，推导得到∠BCE=∠ABC，即可得到CE=BE，进而反推出α和β的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC'，AB=AB'，∠CAB=∠C'AB'，
∴∠CAC'=∠BAB'，
∴∠ACC'=∠ABB'，
又
∵∠AEC=∠FEB（对顶角相等），
∴△ACE∽△FBE。
(2) 解：当β=2α时，△ACE≌△FBE，理由如下：
在△ACC'中，
∵AC=AC'，
∴∠ACC'=$\dfrac{180°-∠CAC'}{2}=\dfrac{180°-β}{2}=90°-α$，
在Rt△ABC中，∠ACC'+∠BCE=90°，即$90°-α+∠BCE=90°$，
∴∠BCE=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由(1)知△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE。
【答案】
(1) 已证△ACE∽△FBE；
(2) 当β=2α时，△ACE≌△FBE。
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定；全等三角形的判定
【点评】本题结合旋转性质、三角形相似与全等判定考察，核心是利用旋转的不变性得到边、角的等量关系，结合三角形内角和、等腰三角形性质推导角的关系即可解题，侧重考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.某游戏软件公司开发出一种游戏软件，前期投入的开发广告宣传费用共50 000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
(1)试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；
(2)如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。
(1)试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；
(2)如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。
答案
10.解:(1)$y=50\ 000+200x$。
(2)设软件公司至少要售出$x$套软件才能保证不亏本,则有$700x≥ 50\ 000+200x$,解得$x≥ 100$。
答:软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。
(2)设软件公司至少要售出$x$套软件才能保证不亏本,则有$700x≥ 50\ 000+200x$,解得$x≥ 100$。
答:软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。
解析
【分析】
（1）首先明确总费用的构成：总费用包含两部分，一是固定的前期投入费用，和销售套数无关，共50000元；二是随销售套数变化的安装调试费用，每套200元，销售x套的这部分费用为200x，两部分相加即可得到总费用y与x的函数关系式。
（2）“不亏本”的含义是销售总收入≥总支出（总费用），先根据“总价=单价×数量”表示出销售x套的总收入，再列出不等式求解，最后结合销售套数为正整数的实际意义，得到最小的销售套数即可。
【解析】
（1）总费用=固定前期投入+销售x套的安装调试费，前期投入为50000元，x套的安装调试费为200x元，因此总费用的函数关系式为：
$y=50000+200x$（x为非负整数）
（2）设售出x套软件时不亏本，此时销售总收入为$700x$元，根据不亏本的要求可得不等式：
$700x ≥ 50000 + 200x$
移项得：$700x - 200x ≥ 50000$
合并同类项得：$500x ≥ 50000$
系数化为1得：$x ≥ 100$
销售套数为正整数，因此x的最小值为100。
【答案】
(1)$y=50000+200x$；(2)软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的实际应用；盈亏问题计算
【点评】
本题是贴近生活的经济类应用题，核心考察将实际问题转化为数学关系式的能力，解题关键是准确梳理总费用、总收入、盈亏条件对应的数量关系，整体计算难度低，理清逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确总费用的构成：总费用包含两部分，一是固定的前期投入费用，和销售套数无关，共50000元；二是随销售套数变化的安装调试费用，每套200元，销售x套的这部分费用为200x，两部分相加即可得到总费用y与x的函数关系式。
（2）“不亏本”的含义是销售总收入≥总支出（总费用），先根据“总价=单价×数量”表示出销售x套的总收入，再列出不等式求解，最后结合销售套数为正整数的实际意义，得到最小的销售套数即可。
【解析】
（1）总费用=固定前期投入+销售x套的安装调试费，前期投入为50000元，x套的安装调试费为200x元，因此总费用的函数关系式为：
$y=50000+200x$（x为非负整数）
（2）设售出x套软件时不亏本，此时销售总收入为$700x$元，根据不亏本的要求可得不等式：
$700x ≥ 50000 + 200x$
移项得：$700x - 200x ≥ 50000$
合并同类项得：$500x ≥ 50000$
系数化为1得：$x ≥ 100$
销售套数为正整数，因此x的最小值为100。
【答案】
(1)$y=50000+200x$；(2)软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的实际应用；盈亏问题计算
【点评】
本题是贴近生活的经济类应用题，核心考察将实际问题转化为数学关系式的能力，解题关键是准确梳理总费用、总收入、盈亏条件对应的数量关系，整体计算难度低，理清逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
