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1.若关于$x$的方程$\frac{x+2}{x-2}=\frac{m}{x-2}$有增根，则$m$的值及增根$x$的值分别为（
A.$m=-4,x=2$
B.$m=4,x=2$
C.$m=-4,x=-2$
D.$m=4,x=-2$
B
）A.$m=-4,x=2$
B.$m=4,x=2$
C.$m=-4,x=-2$
D.$m=4,x=-2$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先明确增根的两个性质：①增根会使原分式方程的最简公分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先根据分母为0确定增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
第一步：确定增根。原方程的最简公分母为$x-2$，分式方程有增根时，公分母为0，即$x-2=0$，解得增根$x=2$。
第二步：去分母得到整式方程。方程两边同时乘$x-2$（$x≠2$时等式成立），得$x+2=m$。
第三步：将增根代入整式方程求m。把$x=2$代入$x+2=m$，得$m=2+2=4$。
综上，$m=4$，增根$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程部分的典型基础题，核心考查对增根概念的理解，解题时牢牢抓住增根的两个特征即可快速求解，这类题型也是各类考试的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
要解决分式方程增根求参数的问题，首先明确增根的两个性质：①增根会使原分式方程的最简公分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先根据分母为0确定增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
第一步：确定增根。原方程的最简公分母为$x-2$，分式方程有增根时，公分母为0，即$x-2=0$，解得增根$x=2$。
第二步：去分母得到整式方程。方程两边同时乘$x-2$（$x≠2$时等式成立），得$x+2=m$。
第三步：将增根代入整式方程求m。把$x=2$代入$x+2=m$，得$m=2+2=4$。
综上，$m=4$，增根$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程部分的典型基础题，核心考查对增根概念的理解，解题时牢牢抓住增根的两个特征即可快速求解，这类题型也是各类考试的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
2. 不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 2, \\ \dfrac{x - 1}{2} - 1 ＜ x\end{cases}$的解集为( )
A.$x ＜ -3$
B.$x ＞ 4$
C.$-3 ＜ x ＜ 4$
D.无解
A.$x ＜ -3$
B.$x ＞ 4$
C.$-3 ＜ x ＜ 4$
D.无解
答案
2.C
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。首先解第一个简单的一元一次不等式得到第一个解集，再解第二个带分母的一元一次不等式，注意去分母、系数化为1时的运算规则，尤其是两边同时乘负数时不等号方向要改变，得到第二个解集后，再根据解集取法口诀确定公共部分即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $x - 2 ＜ 2$：
移项可得 $x ＜ 2 + 2$，计算得 $x ＜ 4$。
2. 解不等式 $\dfrac{x - 1}{2} - 1 ＜ x$：
两边同时乘2消去分母，得 $x - 1 - 2 ＜ 2x$，
合并同类项得 $x - 3 ＜ 2x$，
移项得 $x - 2x ＜ 3$，即 $-x ＜ 3$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x ＞ -3$。
根据“大小小大中间找”的解集判定规则，两个解集的公共部分为$-3 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
C
【知识点】
1.解一元一次不等式
2.一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是基础题型，重点考察一元一次不等式组的求解能力，解题的关键是正确计算每个不等式的解集，熟练掌握不等式组解集的判定规则，要注意解不等式时系数化为1若涉及乘除负数，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。首先解第一个简单的一元一次不等式得到第一个解集，再解第二个带分母的一元一次不等式，注意去分母、系数化为1时的运算规则，尤其是两边同时乘负数时不等号方向要改变，得到第二个解集后，再根据解集取法口诀确定公共部分即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $x - 2 ＜ 2$：
移项可得 $x ＜ 2 + 2$，计算得 $x ＜ 4$。
2. 解不等式 $\dfrac{x - 1}{2} - 1 ＜ x$：
两边同时乘2消去分母，得 $x - 1 - 2 ＜ 2x$，
合并同类项得 $x - 3 ＜ 2x$，
移项得 $x - 2x ＜ 3$，即 $-x ＜ 3$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x ＞ -3$。
根据“大小小大中间找”的解集判定规则，两个解集的公共部分为$-3 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
C
【知识点】
1.解一元一次不等式
2.一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是基础题型，重点考察一元一次不等式组的求解能力，解题的关键是正确计算每个不等式的解集，熟练掌握不等式组解集的判定规则，要注意解不等式时系数化为1若涉及乘除负数，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.8
3.如果$a,b$均为有理数，且$b＜0$，那么$a,a-b,a+b$的大小关系是（
A.$a＜a+b＜a-b$
B.$a＜a-b＜a+b$
C.$a+b＜a＜a-b$
D.$a-b＜a+b＜a$
C
）A.$a＜a+b＜a-b$
B.$a＜a-b＜a+b$
C.$a+b＜a＜a-b$
D.$a-b＜a+b＜a$
答案
3.C
解析
【分析】
要比较$a,a-b,a+b$的大小，已知$b＜0$，可从两个思路入手：一是利用有理数加减法的运算规律，即加上负数结果比原数小、减去负数结果比原数大，直接推导大小关系；二是用特殊值法，代入符合条件的具体数值计算后比较，两种方法都能快速得出结论。
【解析】
方法一：性质推导法
已知$b＜0$，因此$-b＞0$。
1. $a+b$是$a$加上一个负数，所得结果小于原数$a$，即$a+b ＜ a$；
2. $a-b=a+(-b)$，是$a$加上一个正数，所得结果大于原数$a$，即$a ＜ a-b$。
联立可得$a+b ＜ a ＜ a-b$。
方法二：特殊值验证法
取符合条件的有理数，例如令$a=1$，$b=-1$：
计算得$a-b=1-(-1)=2$，$a+b=1+(-1)=0$，
则三个数的大小关系为$0 ＜ 1 ＜ 2$，即$a+b ＜ a ＜ a-b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数大小比较，有理数加减法法则，不等式的基本性质
【点评】
本题是有理数运算与大小比较结合的基础常考题，既可以通过运算性质逻辑推导，也可以用特殊值法快速求解，特殊值法在做选择题时能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要比较$a,a-b,a+b$的大小，已知$b＜0$，可从两个思路入手：一是利用有理数加减法的运算规律，即加上负数结果比原数小、减去负数结果比原数大，直接推导大小关系；二是用特殊值法，代入符合条件的具体数值计算后比较，两种方法都能快速得出结论。
【解析】
方法一：性质推导法
已知$b＜0$，因此$-b＞0$。
1. $a+b$是$a$加上一个负数，所得结果小于原数$a$，即$a+b ＜ a$；
2. $a-b=a+(-b)$，是$a$加上一个正数，所得结果大于原数$a$，即$a ＜ a-b$。
联立可得$a+b ＜ a ＜ a-b$。
方法二：特殊值验证法
取符合条件的有理数，例如令$a=1$，$b=-1$：
计算得$a-b=1-(-1)=2$，$a+b=1+(-1)=0$，
则三个数的大小关系为$0 ＜ 1 ＜ 2$，即$a+b ＜ a ＜ a-b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数大小比较，有理数加减法法则，不等式的基本性质
【点评】
本题是有理数运算与大小比较结合的基础常考题，既可以通过运算性质逻辑推导，也可以用特殊值法快速求解，特殊值法在做选择题时能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB//CD，AD与BC相交于点O，OA＝4，OD＝6，则△AOB与△DOC的周长比是
2:3
。答案
4. 2:3
解析
【分析】
要计算△AOB与△DOC的周长比，可结合相似三角形的性质求解：相似三角形的周长比等于相似比。首先根据已知AB//CD，结合平行线的性质和对顶角相等，可证明两个三角形相似，再求出对应边的比值即相似比，最终得到周长比。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比为OA:OD=4:6=2:3，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得△AOB与△DOC的周长比为2:3。
【答案】
2:3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形相关知识的应用，解题核心是先结合平行线性质证明三角形相似，再利用相似比与周长比的关系得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要计算△AOB与△DOC的周长比，可结合相似三角形的性质求解：相似三角形的周长比等于相似比。首先根据已知AB//CD，结合平行线的性质和对顶角相等，可证明两个三角形相似，再求出对应边的比值即相似比，最终得到周长比。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比为OA:OD=4:6=2:3，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得△AOB与△DOC的周长比为2:3。
【答案】
2:3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形相关知识的应用，解题核心是先结合平行线性质证明三角形相似，再利用相似比与周长比的关系得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠ADE=∠ACB，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为
4
。答案
5. 4
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，△ADE与△ACB有公共角∠A，且题目给出∠ADE=∠ACB，根据相似三角形的判定定理可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AE的长度。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ ADE=∠ ACB\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
将DE=3，BC=6，AB=8代入上式：
$\frac{AE}{8}=\frac{3}{6}$
解得：$AE=8×\frac{3}{6}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先通过公共角和已知等角判定三角形相似，再利用相似的边比例关系建立等式求解，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.8
首先观察图形和已知条件，△ADE与△ACB有公共角∠A，且题目给出∠ADE=∠ACB，根据相似三角形的判定定理可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AE的长度。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ ADE=∠ ACB\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
将DE=3，BC=6，AB=8代入上式：
$\frac{AE}{8}=\frac{3}{6}$
解得：$AE=8×\frac{3}{6}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先通过公共角和已知等角判定三角形相似，再利用相似的边比例关系建立等式求解，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,D是AB边上一点,连接CD。要使$△ ADC$与$△ ABC$相似,应添加的条件是
$∠ ACD=∠ B$或$∠ ADC=∠ ACB$或$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$
（只需写出一个条件即可）。答案
6. $∠ ACD=∠ B$或$∠ ADC=∠ ACB$或$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$
解析
【分析】
要判定△ADC与△ABC相似，首先找两个三角形已有的相等条件：观察可得∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A。结合相似三角形的判定定理，我们只需补充一个满足判定要求的条件即可：要么再补充一组相等的角，要么补充夹公共角∠A的两组边对应成比例。
【解析】
已知△ADC和△ABC中，公共角∠A=∠A：
1. 若依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定，可添加∠ACD=∠B，此时两组角对应相等，可证△ADC∽△ACB；也可添加∠ADC=∠ACB，同理可证两三角形相似。
2. 若依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，可添加$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$，此时夹公共角∠A的两组边对应成比例，可证△ADC∽△ACB。
以上三个条件任选其一即可。
【答案】
$∠ ACD=∠ B$（或$∠ ADC=∠ ACB$，或$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$，任选一个即可）
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是开放性习题，解题核心是先挖掘出公共角相等的隐含条件，再结合相似三角形的判定定理补充合适的条件，答案不唯一，主要考查对相似三角形判定定理的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
要判定△ADC与△ABC相似，首先找两个三角形已有的相等条件：观察可得∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A。结合相似三角形的判定定理，我们只需补充一个满足判定要求的条件即可：要么再补充一组相等的角，要么补充夹公共角∠A的两组边对应成比例。
【解析】
已知△ADC和△ABC中，公共角∠A=∠A：
1. 若依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定，可添加∠ACD=∠B，此时两组角对应相等，可证△ADC∽△ACB；也可添加∠ADC=∠ACB，同理可证两三角形相似。
2. 若依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，可添加$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$，此时夹公共角∠A的两组边对应成比例，可证△ADC∽△ACB。
以上三个条件任选其一即可。
【答案】
$∠ ACD=∠ B$（或$∠ ADC=∠ ACB$，或$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$，任选一个即可）
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是开放性习题，解题核心是先挖掘出公共角相等的隐含条件，再结合相似三角形的判定定理补充合适的条件，答案不唯一，主要考查对相似三角形判定定理的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为
6
。第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 答案
7. 6
解析
【分析】
解决本题首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。首先确定两个三角形的对应边AB和DE，再结合已知的位似比和AB的长度，列出比例式计算即可求出DE的长。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，
∴△ABC∽△DEF，对应边的比等于位似比，即$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$，
将AB=4代入上式得：$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2DE = 4×3 = 12$，
解得：$DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；解比例
【点评】
本题属于基础题，核心考查位似图形的性质，解题时要注意位似比的前后对应关系，避免因对应关系颠倒出错，熟练掌握位似的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解决本题首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。首先确定两个三角形的对应边AB和DE，再结合已知的位似比和AB的长度，列出比例式计算即可求出DE的长。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，
∴△ABC∽△DEF，对应边的比等于位似比，即$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$，
将AB=4代入上式得：$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2DE = 4×3 = 12$，
解得：$DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；解比例
【点评】
本题属于基础题，核心考查位似图形的性质，解题时要注意位似比的前后对应关系，避免因对应关系颠倒出错，熟练掌握位似的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
三、计算题
8. 先化简,再求值: $(\frac{3a}{a-1} - \frac{a}{a+1}) · \frac{a^2 -1}{a}$, 其中 $a=2$。
8. 先化简,再求值: $(\frac{3a}{a-1} - \frac{a}{a+1}) · \frac{a^2 -1}{a}$, 其中 $a=2$。
答案
8. 化简结果为$2a+4$,值为8。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题时可先观察式子结构，发现括号外的分式$\frac{a^2-1}{a}$中，分子$a^2-1$可分解为$(a-1)(a+1)$，刚好和括号内两个分式的分母对应，因此可以利用乘法分配律将括号外的项分别乘进括号内，直接约分简化计算，无需先通分计算括号内的减法，化简完成后代入$a=2$即可求出结果。计算时要注意去括号的符号问题，同时要保证原分式分母不为0，本题$a=2$时分母均不为0，可直接代入。
【解析】
解：利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3a}{a-1}·\frac{a^2-1}{a} - \frac{a}{a+1}·\frac{a^2-1}{a}\\&=\frac{3a}{a-1}·\frac{(a-1)(a+1)}{a} - \frac{a}{a+1}·\frac{(a-1)(a+1)}{a}\\&\mathrm{（将}a^2-1\mathrm{用平方差公式分解因式）}\\&=3(a+1) - (a-1) \quad \mathrm{（约分，约去相同的因式）}\\&=3a + 3 - a + 1 \quad \mathrm{（去括号，注意括号前是负号时括号内各项变号）}\\&=2a + 4\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
原式$=2×2 + 4 = 8$
【答案】
化简结果为$2a+4$，值为8。
【知识点】
分式化简求值；平方差公式；乘法分配律
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时灵活运用运算律可以大幅简化计算步骤，降低出错概率，需要注意约分和去括号时的符号问题，代入求值前要确认所给的数值不会让原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，解题时可先观察式子结构，发现括号外的分式$\frac{a^2-1}{a}$中，分子$a^2-1$可分解为$(a-1)(a+1)$，刚好和括号内两个分式的分母对应，因此可以利用乘法分配律将括号外的项分别乘进括号内，直接约分简化计算，无需先通分计算括号内的减法，化简完成后代入$a=2$即可求出结果。计算时要注意去括号的符号问题，同时要保证原分式分母不为0，本题$a=2$时分母均不为0，可直接代入。
【解析】
解：利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3a}{a-1}·\frac{a^2-1}{a} - \frac{a}{a+1}·\frac{a^2-1}{a}\\&=\frac{3a}{a-1}·\frac{(a-1)(a+1)}{a} - \frac{a}{a+1}·\frac{(a-1)(a+1)}{a}\\&\mathrm{（将}a^2-1\mathrm{用平方差公式分解因式）}\\&=3(a+1) - (a-1) \quad \mathrm{（约分，约去相同的因式）}\\&=3a + 3 - a + 1 \quad \mathrm{（去括号，注意括号前是负号时括号内各项变号）}\\&=2a + 4\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
原式$=2×2 + 4 = 8$
【答案】
化简结果为$2a+4$，值为8。
【知识点】
分式化简求值；平方差公式；乘法分配律
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时灵活运用运算律可以大幅简化计算步骤，降低出错概率，需要注意约分和去括号时的符号问题，代入求值前要确认所给的数值不会让原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
