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8.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1。每个小正方形的顶点叫作格点。△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F。
(1)求证:△ACB∽DCE； (2)求证:EF⊥AB。
(1)求证:△ACB∽DCE； (2)求证:EF⊥AB。
答案
8. 证明:(1)$\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2},\frac{BC}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$。又$∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore △ ACB ∽ △ DCE$。
(2)$\because △ ACB ∽ △ DCE,\therefore ∠ ABC=∠ DEC$。
又$∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ A+∠ DEC=90°,\therefore ∠ EFA=90°$。$\therefore EF⊥ AB$。
(2)$\because △ ACB ∽ △ DCE,\therefore ∠ ABC=∠ DEC$。
又$∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ A+∠ DEC=90°,\therefore ∠ EFA=90°$。$\therefore EF⊥ AB$。
解析
【分析】
（1）要证明△ACB∽△DCE，先观察两个三角形的特征：二者的夹角∠ACB和∠DCE都是90°，因此可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明。首先从网格中数出两个直角三角形的直角边长度，计算两组对应直角边的比值，验证比值相等即可完成相似证明。
（2）要证明EF⊥AB，本质是证明∠EFA=90°。已知Rt△ACB中∠A+∠ABC=90°，若能将∠ABC替换为和它相等的角，且该角与∠A相加仍为90°，即可得到∠EFA=90°。结合（1）的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，可得到∠ABC=∠DEC，等量代换后即可证明∠A+∠DEC=90°，从而推出垂直关系。
【解析】
(1) 由网格可知：$AC=3$，$DC=2$，$BC=6$，$EC=4$，
计算对应边的比值：$\frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
因此$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$，
又因为$∠ACB=∠DCE=90°$，满足两边成比例且夹角相等的相似判定条件，
所以$△ACB ∽ △DCE$。
(2) 由（1）中$△ACB ∽ △DCE$，可得对应角相等：$∠ABC=∠DEC$，
在$Rt△ACB$中，两个锐角互余，即$∠ABC+∠A=90°$，
将$∠ABC$替换为相等的$∠DEC$，可得$∠A+∠DEC=90°$，
在△AEF中，根据三角形内角和为180°，可得$∠EFA=180°-(∠A+∠DEC)=90°$，
因此$EF⊥AB$。
【答案】
(1)$\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2},\frac{BC}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$。又$∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore △ ACB ∽ △ DCE$。
(2)$\because △ ACB ∽ △ DCE,\therefore ∠ ABC=∠ DEC$。又$∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ A+∠ DEC=90°,\therefore ∠ EFA=90°$。$\therefore EF⊥ AB$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合网格特征考查相似三角形与垂直的相关证明，解题的关键是先从网格中获取线段长度信息，再合理运用相似的判定、性质推导角的等量关系，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ACB∽△DCE，先观察两个三角形的特征：二者的夹角∠ACB和∠DCE都是90°，因此可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明。首先从网格中数出两个直角三角形的直角边长度，计算两组对应直角边的比值，验证比值相等即可完成相似证明。
（2）要证明EF⊥AB，本质是证明∠EFA=90°。已知Rt△ACB中∠A+∠ABC=90°，若能将∠ABC替换为和它相等的角，且该角与∠A相加仍为90°，即可得到∠EFA=90°。结合（1）的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，可得到∠ABC=∠DEC，等量代换后即可证明∠A+∠DEC=90°，从而推出垂直关系。
【解析】
(1) 由网格可知：$AC=3$，$DC=2$，$BC=6$，$EC=4$，
计算对应边的比值：$\frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
因此$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$，
又因为$∠ACB=∠DCE=90°$，满足两边成比例且夹角相等的相似判定条件，
所以$△ACB ∽ △DCE$。
(2) 由（1）中$△ACB ∽ △DCE$，可得对应角相等：$∠ABC=∠DEC$，
在$Rt△ACB$中，两个锐角互余，即$∠ABC+∠A=90°$，
将$∠ABC$替换为相等的$∠DEC$，可得$∠A+∠DEC=90°$，
在△AEF中，根据三角形内角和为180°，可得$∠EFA=180°-(∠A+∠DEC)=90°$，
因此$EF⊥AB$。
【答案】
(1)$\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2},\frac{BC}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$。又$∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore △ ACB ∽ △ DCE$。
(2)$\because △ ACB ∽ △ DCE,\therefore ∠ ABC=∠ DEC$。又$∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ A+∠ DEC=90°,\therefore ∠ EFA=90°$。$\therefore EF⊥ AB$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合网格特征考查相似三角形与垂直的相关证明，解题的关键是先从网格中获取线段长度信息，再合理运用相似的判定、性质推导角的等量关系，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 对于多项式 $ x^2 + 2ax + a^2 $ 可以直接用公式法分解为 $ (x+a)^2 $ 的形式，但对于多项式 $ x^2 +2ax -3a^2 $，就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在 $ x^2 +2ax -3a^2 $ 中先加上一项 $ a^2 $，再减去 $ a^2 $ 这项，使整个式子的值不变。
解题过程如下：
$ x^2 +2ax -3a^2 = x^2 +2ax -3a^2 +a^2 -a^2 $（第一步）
$ = x^2 +2ax +a^2 -a^2 -3a^2 $（第二步）
$ = (x+a)^2 - (2a)^2 $（第三步）
$ = (x+3a)(x-a) $。（第四步）
参照上述材料，回答下列问题：
（1）上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到的因式分解的方法是（）
A. 提公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
D. 没有因式分解
（2）从第三步到第四步用到的因式分解的方法是。
（3）请你参照上述方法把 $ m^2 -6mn +8n^2 $ 因式分解。
解题过程如下：
$ x^2 +2ax -3a^2 = x^2 +2ax -3a^2 +a^2 -a^2 $（第一步）
$ = x^2 +2ax +a^2 -a^2 -3a^2 $（第二步）
$ = (x+a)^2 - (2a)^2 $（第三步）
$ = (x+3a)(x-a) $。（第四步）
参照上述材料，回答下列问题：
（1）上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到的因式分解的方法是（）
A. 提公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
D. 没有因式分解
（2）从第三步到第四步用到的因式分解的方法是。
（3）请你参照上述方法把 $ m^2 -6mn +8n^2 $ 因式分解。
答案
解：
(1) C
(2) 平方差公式法
(3)
$\begin{aligned}m^2 -6mn +8n^2&=m^2 -6mn +8n^2 +9n^2 -9n^2\\&=m^2 -6mn +9n^2 -9n^2 +8n^2\\&=(m-3n)^2 -n^2\\&=(m-3n +n)(m-3n -n)\\&=(m-2n)(m-4n)\end{aligned}$
(1) C
(2) 平方差公式法
(3)
$\begin{aligned}m^2 -6mn +8n^2&=m^2 -6mn +8n^2 +9n^2 -9n^2\\&=m^2 -6mn +9n^2 -9n^2 +8n^2\\&=(m-3n)^2 -n^2\\&=(m-3n +n)(m-3n -n)\\&=(m-2n)(m-4n)\end{aligned}$
解析
【分析】
对于(1)，先回忆完全平方公式的结构：两数的平方和加上或减去两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。观察第二步到第三步的变形，前三项$x^2+2ax+a^2$刚好符合完全平方公式的左边形式，变形为$(x+a)^2$，属于完全平方公式法因式分解，据此判断选项即可。
对于(2)，回忆平方差公式结构：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差。第三步是$(x+a)^2$减去$(2a)^2$，属于两个整式的平方差，逆用平方差公式得到乘积形式，即可判断所用方法。
对于(3)，参照材料的配方法思路：观察式子前两项$m^2-6mn$，若加上$(3n)^2$即可凑成完全平方，因此先加$9n^2$再减$9n^2$保证式子的值不变，先将前三项写成完全平方，再合并后面的同类项得到平方差形式，最后逆用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 第二步到第三步的变形为：将$x^2 +2ax +a^2$转化为$(x+a)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，用到的是完全平方公式法，故选C。
(2) 第三步为$(x+a)^2 - (2a)^2$，是两个整式的平方差形式，逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得到第四步的乘积形式，因此用到的因式分解方法是平方差公式法。
(3) 解题过程如下：
$\begin{aligned}m^2 -6mn +8n^2&=m^2 -6mn +8n^2 +9n^2 -9n^2\\&=m^2 -6mn +9n^2 -9n^2 +8n^2\\&=(m-3n)^2 -n^2\\&=(m-3n +n)(m-3n -n)\\&=(m-2n)(m-4n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{C}$
(2) $\boxed{平方差公式法}$
(3) $\boxed{(m-2n)(m-4n)}$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于材料阅读类的因式分解应用题，核心是理解“配方法凑完全平方”的思路，将不能直接用公式分解的多项式通过加项减项变形，转化为可运用公式分解的形式，重点考查对乘法公式的灵活运用能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
对于(1)，先回忆完全平方公式的结构：两数的平方和加上或减去两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。观察第二步到第三步的变形，前三项$x^2+2ax+a^2$刚好符合完全平方公式的左边形式，变形为$(x+a)^2$，属于完全平方公式法因式分解，据此判断选项即可。
对于(2)，回忆平方差公式结构：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差。第三步是$(x+a)^2$减去$(2a)^2$，属于两个整式的平方差，逆用平方差公式得到乘积形式，即可判断所用方法。
对于(3)，参照材料的配方法思路：观察式子前两项$m^2-6mn$，若加上$(3n)^2$即可凑成完全平方，因此先加$9n^2$再减$9n^2$保证式子的值不变，先将前三项写成完全平方，再合并后面的同类项得到平方差形式，最后逆用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 第二步到第三步的变形为：将$x^2 +2ax +a^2$转化为$(x+a)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，用到的是完全平方公式法，故选C。
(2) 第三步为$(x+a)^2 - (2a)^2$，是两个整式的平方差形式，逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得到第四步的乘积形式，因此用到的因式分解方法是平方差公式法。
(3) 解题过程如下：
$\begin{aligned}m^2 -6mn +8n^2&=m^2 -6mn +8n^2 +9n^2 -9n^2\\&=m^2 -6mn +9n^2 -9n^2 +8n^2\\&=(m-3n)^2 -n^2\\&=(m-3n +n)(m-3n -n)\\&=(m-2n)(m-4n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{C}$
(2) $\boxed{平方差公式法}$
(3) $\boxed{(m-2n)(m-4n)}$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于材料阅读类的因式分解应用题，核心是理解“配方法凑完全平方”的思路，将不能直接用公式分解的多项式通过加项减项变形，转化为可运用公式分解的形式，重点考查对乘法公式的灵活运用能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
