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四、解答题
8. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边的长，且满足$a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)=0$，试判断此三角形的形状。
8. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边的长，且满足$a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)=0$，试判断此三角形的形状。
答案
8. 解:$a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)=(a-b)^2+(b-c)^2=0$。
所以$a-b=0;b-c=0$,可得$a=b;b=c$,所以$a=b=c$,所以这个三角形是等边三角形。
所以$a-b=0;b-c=0$,可得$a=b;b=c$,所以$a=b=c$,所以这个三角形是等边三角形。
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先明确三边a、b、c的数量关系。已知给出的是关于三边的二次等式，我们可以先对等式左边的代数式拆分重组，凑出完全平方的形式，再利用平方数的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0）推导边的相等关系，最终判断三角形形状。
【解析】
对给定的等式变形如下：
$\begin{aligned}a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)&=0\\a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc&=0\\(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)&=0\\(a-b)^2+(b-c)^2&=0\end{aligned}$
根据平方数的非负性可知$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，因此可得：
$a-b=0$，$b-c=0$，即$a=b$，$b=c$，所以$a=b=c$。
【答案】
此三角形是等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是代数式变形与几何性质结合的典型题型，解题核心是通过因式分解将给定等式转化为平方和为0的形式，进而得到三边的等量关系，掌握完全平方公式的结构特征是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需先明确三边a、b、c的数量关系。已知给出的是关于三边的二次等式，我们可以先对等式左边的代数式拆分重组，凑出完全平方的形式，再利用平方数的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0）推导边的相等关系，最终判断三角形形状。
【解析】
对给定的等式变形如下：
$\begin{aligned}a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)&=0\\a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc&=0\\(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)&=0\\(a-b)^2+(b-c)^2&=0\end{aligned}$
根据平方数的非负性可知$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，因此可得：
$a-b=0$，$b-c=0$，即$a=b$，$b=c$，所以$a=b=c$。
【答案】
此三角形是等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是代数式变形与几何性质结合的典型题型，解题核心是通过因式分解将给定等式转化为平方和为0的形式，进而得到三边的等量关系，掌握完全平方公式的结构特征是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知:AC//DE,DC//EF,CD平分∠BCA。求证:EF平分∠BED。
答案
9. 证明:
∵CD平分$∠BCA$(已知),
∴$∠1=∠2$(角平分线的定义)。
∵$AC// DE$(已知),
∴$∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠2=∠3$(等量代换)。
∵$DC// EF$(已知),
∴$∠2=∠5$(两直线平行,同位角相等),$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠4=∠5$(等量代换)。即EF平分$∠BED$(角平分线的定义)。
∵CD平分$∠BCA$(已知),
∴$∠1=∠2$(角平分线的定义)。
∵$AC// DE$(已知),
∴$∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠2=∠3$(等量代换)。
∵$DC// EF$(已知),
∴$∠2=∠5$(两直线平行,同位角相等),$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠4=∠5$(等量代换)。即EF平分$∠BED$(角平分线的定义)。
解析
【分析】
要证明EF平分∠BED，根据角平分线的定义，只需证明∠4=∠5即可。解题时可从已知条件逐步推导：首先利用CD平分∠BCA得到∠1=∠2，再结合AC//DE、DC//EF这两组平行线的性质，推导角之间的等量关系，将∠4、∠5分别与∠1、∠2建立关联，最终推导出∠4=∠5，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵CD平分∠BCA（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义）。
∵AC//DE（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠2=∠3（等量代换）。
∵DC//EF（已知），
∴∠2=∠5（两直线平行，同位角相等），∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∴∠4=∠5（等量代换），即EF平分∠BED（角平分线的定义）。
【答案】
证明:
∵CD平分$∠BCA$(已知),
∴$∠1=∠2$(角平分线的定义)。
∵$AC// DE$(已知),
∴$∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠2=∠3$(等量代换)。
∵$DC// EF$(已知),
∴$∠2=∠5$(两直线平行,同位角相等),$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠4=∠5$(等量代换)。即EF平分$∠BED$(角平分线的定义)。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查平行线性质与角平分线定义的综合运用，解题关键是通过平行线的性质梳理不同角之间的等量关系，完成逻辑推导，对基础逻辑推理能力有一定训练作用。
【难度系数】
0.8
要证明EF平分∠BED，根据角平分线的定义，只需证明∠4=∠5即可。解题时可从已知条件逐步推导：首先利用CD平分∠BCA得到∠1=∠2，再结合AC//DE、DC//EF这两组平行线的性质，推导角之间的等量关系，将∠4、∠5分别与∠1、∠2建立关联，最终推导出∠4=∠5，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵CD平分∠BCA（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义）。
∵AC//DE（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠2=∠3（等量代换）。
∵DC//EF（已知），
∴∠2=∠5（两直线平行，同位角相等），∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∴∠4=∠5（等量代换），即EF平分∠BED（角平分线的定义）。
【答案】
证明:
∵CD平分$∠BCA$(已知),
∴$∠1=∠2$(角平分线的定义)。
∵$AC// DE$(已知),
∴$∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠2=∠3$(等量代换)。
∵$DC// EF$(已知),
∴$∠2=∠5$(两直线平行,同位角相等),$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
∴$∠4=∠5$(等量代换)。即EF平分$∠BED$(角平分线的定义)。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查平行线性质与角平分线定义的综合运用，解题关键是通过平行线的性质梳理不同角之间的等量关系，完成逻辑推导，对基础逻辑推理能力有一定训练作用。
【难度系数】
0.8
10.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同。
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍。要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍。要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
答案
10. 解:(1)设乙队单独完成此项任务需$x$天,则甲队单独完成此项任务需$(x+10)$天。
根据题意得$\frac{45}{x+10}=\frac{30}{x}$,解得$x=20$。经检验$x=20$是原方程的解,$\therefore x+10=30$。
∴甲队单独完成此项任务需30天,乙队单独完成此项任务需20天。
(2)设甲队再单独施工$a$天,则$\frac{3}{30}+\frac{2a}{30}≥ 2× \frac{3}{20}$,解得$a≥ 3$。
∴甲队至少再单独施工3天。
根据题意得$\frac{45}{x+10}=\frac{30}{x}$,解得$x=20$。经检验$x=20$是原方程的解,$\therefore x+10=30$。
∴甲队单独完成此项任务需30天,乙队单独完成此项任务需20天。
(2)设甲队再单独施工$a$天,则$\frac{3}{30}+\frac{2a}{30}≥ 2× \frac{3}{20}$,解得$a≥ 3$。
∴甲队至少再单独施工3天。
解析
【分析】
(1) 本题属于工程问题，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成任务的时长。首先根据“甲单独施工比乙多用10天”设未知量，再结合“甲45天工作量=乙30天工作量”的等量关系列分式方程求解，分式方程需要检验解是否符合题意。
(2) 第二问属于不等式应用问题，先计算甲乙共同工作3天各自的工作量，再根据“甲提效后总工作量≥乙工作量的2倍”的不等关系列不等式，求解得到甲单独施工的最短时长。
【解析】
(1) 设乙队单独完成此项任务需$x$天，则甲队单独完成此项任务需$(x+10)$天。
根据题意列方程：
$\frac{45}{x+10}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$45x=30(x+10)$
化简计算：$45x=30x+300$，$15x=300$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
因此甲队单独完成时长为$x+10=20+10=30$（天）。
(2) 设甲队再单独施工$a$天，甲提效后工作效率为原来的2倍，即$\frac{2}{30}$。
根据题意列不等式：
$\frac{3}{30}+\frac{2a}{30}≥ 2× \frac{3}{20}$
化简得：$\frac{3+2a}{30}≥\frac{3}{10}$
两边同乘30得：$3+2a≥9$，解得$a≥3$。
【答案】
(1) 甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此项任务需20天；
(2) 甲队至少再单独施工3天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题核心是把总工作量看作单位“1”，准确梳理题干中的等量、不等关系列方程和不等式求解，要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于工程问题，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成任务的时长。首先根据“甲单独施工比乙多用10天”设未知量，再结合“甲45天工作量=乙30天工作量”的等量关系列分式方程求解，分式方程需要检验解是否符合题意。
(2) 第二问属于不等式应用问题，先计算甲乙共同工作3天各自的工作量，再根据“甲提效后总工作量≥乙工作量的2倍”的不等关系列不等式，求解得到甲单独施工的最短时长。
【解析】
(1) 设乙队单独完成此项任务需$x$天，则甲队单独完成此项任务需$(x+10)$天。
根据题意列方程：
$\frac{45}{x+10}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$45x=30(x+10)$
化简计算：$45x=30x+300$，$15x=300$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
因此甲队单独完成时长为$x+10=20+10=30$（天）。
(2) 设甲队再单独施工$a$天，甲提效后工作效率为原来的2倍，即$\frac{2}{30}$。
根据题意列不等式：
$\frac{3}{30}+\frac{2a}{30}≥ 2× \frac{3}{20}$
化简得：$\frac{3+2a}{30}≥\frac{3}{10}$
两边同乘30得：$3+2a≥9$，解得$a≥3$。
【答案】
(1) 甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此项任务需20天；
(2) 甲队至少再单独施工3天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题核心是把总工作量看作单位“1”，准确梳理题干中的等量、不等关系列方程和不等式求解，要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
