一、选择题
1.(真题·舟山定海)已知在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O$,添加下列条件后,不一定能使其成为菱形的是………（）


A.$AD=AB$
B.$∠ADB=∠CDB$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥BD$

1.C

【分析】首先明确本题考查平行四边形与菱形的判定关系，需结合平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一分析选项：菱形的判定定理为：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是菱形。平行四边形的性质包括对角线互相平分、对边平行等。接下来逐个判断选项：A选项中平行四边形邻边相等可判定为菱形；B选项通过角的等量关系推出邻边相等，可判定为菱形；C选项推出对角线相等，对应矩形，不一定是菱形；D选项对角线垂直可判定为菱形，因此确定答案。
【解析】解：在平行四边形$□ABCD$中，对角线$AC、BD$交于点$O$，根据平行四边形性质：$OA=OC$，$OB=OD$，$AB// CD$。
选项A：若$AD=AB$，满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$为菱形，故A不符合题意；
选项B：$\because AB// CD$，$\therefore ∠CDB=∠ABD$，又$\because ∠ADB=∠CDB$，$\therefore ∠ADB=∠ABD$，$\therefore AB=AD$，满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$为菱形，故B不符合题意；
选项C：若$OA=OB$，$\because OA=OC$，$OB=OD$，$\therefore AC=2OA$，$BD=2OB$，$\therefore AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，$□ABCD$为矩形，不一定是菱形，故C符合题意；
选项D：若$AC⊥BD$，满足“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$为菱形，故D不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】菱形的判定、平行四边形的性质
【点评】本题结合平行四边形性质考查菱形判定，需准确区分菱形与矩形的判定条件，避免混淆对角线相等和垂直对应的特殊四边形，属于基础几何判定题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.6

2.(真题·嘉兴)如图,在$△ ABC$中,点$E,D,F$分别在边$AB,BC,AC$上,且$DE// CA,DF// AB$。下列判断中错误的是 $···$ ()

A.四边形$AEDF$是平行四边形
B.若$DE⊥ DF$,则四边形$AEDF$是矩形
C.若$AD$平分$∠ BAC$,则四边形$AEDF$是菱形
D.若$AD⊥ EF$,则四边形$AEDF$是正方形

2.D

【分析】
要判断各选项的正误，需先根据两组对边分别平行判定四边形AEDF为平行四边形，再结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析选项：首先由DE//CA、DF//AB，依据平行四边形定义确定AEDF的形状，再根据特殊平行四边形的判定条件，分析每个选项是否符合要求，找出错误判断。
【解析】
1. 选项A：因为DE//CA（即DE//AF），DF//AB（即DF//AE），根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可知四边形AEDF是平行四边形，故A正确。
2. 选项B：若DE⊥DF，则∠EDF=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知平行四边形AEDF是矩形，故B正确。
3. 选项C：若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD；又因为DF//AB，所以∠EAD=∠ADF（内错角相等），因此∠FAD=∠ADF，可得AF=DF（等角对等边）；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知平行四边形AEDF是菱形，故C正确。
4. 选项D：若AD⊥EF，因为四边形AEDF是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但要成为正方形还需满足“有一个角是直角”或“对角线相等”等条件，仅AD⊥EF无法判定其为正方形，故D错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形判定、特殊平行四边形判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各判定定理，逐一分析选项即可，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

3.(真题·宁波海曙)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O。过点O作$EF⊥AC$,分别交边AD,BC于点E,F。已知$CD=4\mathrm{cm},CF=5\mathrm{cm}$,则矩形ABCD的面积为…………()

A.$24\mathrm{cm}^2$
B.$28\mathrm{cm}^2$
C.$32\mathrm{cm}^2$
D.$36\mathrm{cm}^2$

3.C

【分析】
首先利用矩形对角线互相平分的性质，结合EF垂直AC的条件，得出EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到AF=CF；再利用矩形对边相等及直角三角形的勾股定理求出BF的长度，进而得到BC的边长，最后根据矩形面积公式计算面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4cm，∠B=90°，OA=OC（矩形对角线互相平分）。
又
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=5cm（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF=√(AF² - AB²)=√(5² - 4²)=√9=3cm。
∴BC=BF + CF=3cm +5cm=8cm。
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=4×8=32cm²。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形性质与垂直平分线性质，通过勾股定理求解边长，关键是利用垂直平分线得到AF=CF，进而求出BC长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

4.(真题·台州路桥)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作$AE⊥BC$于点E,连结OE。若$OE=3,BD=10$,则菱形ABCD的面积为 ……………………（）

A.30
B.40
C.50
D.60

4.A

【分析】要解决本题，需结合菱形的性质和直角三角形斜边中线定理：首先，菱形的对角线互相平分，故O是AC中点；其次，由AE⊥BC可知△AEC是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可由OE的长度求出AC的长度；最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半，计算出面积即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是AC的中点，且BD=10，故BO=OD=BD/2=5。
又
∵AE⊥BC，
∴△AEC是直角三角形，∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，O是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴OE=AC/2。
已知OE=3，
∴AC=2×OE=2×3=6。
菱形的面积公式为：S=(AC×BD)/2，
代入AC=6，BD=10，得S=(6×10)/2=30。
【答案】A
【知识点】菱形的性质、直角三角形斜边中线定理、菱形面积计算
【点评】本题是菱形性质与直角三角形性质的综合应用，核心是利用直角三角形斜边中线求出AC的长度，再结合菱形面积公式计算，属于基础题型，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】0.5

5.(真题·杭州钱塘)如图,在菱形ABCD中,点E在AD上,连结BE,CE,BA=BE。设∠A=α,∠DCE=β,则α,β关系正确的是
………………………………………………（）

A.$3α - 2β = 180°$
B.$2α - 3β = 180°$
C.$α + 2β = 90°$
D.$2α + β = 90°$

5.A

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质与等腰三角形的性质推导角的关系：首先利用菱形对边平行、四边相等、对角相等的性质，再结合等腰三角形等边对等角的特点，逐步建立∠A（α）与∠DCE（β）的联系，最终得出两者的关系式。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC，AD//BC，∠BCD=∠A=α，且∠A与邻角互补，即∠ADC=180°-α。
2. 已知BA=BE，故△ABE为等腰三角形，根据等边对等角得∠AEB=∠A=α。
3. 由AD//BC，内错角相等，得∠EBC=∠AEB=α。
4. 又AB=BC，且BA=BE，所以BE=BC，△BEC为等腰三角形，因此∠BCE=∠BEC。
5. 在△BEC中，内角和为180°，则∠BCE=(180°-∠EBC)/2=(180°-α)/2。
6. 观察∠BCD，它由∠BCE和∠DCE组成，即∠BCD=∠BCE+∠DCE，代入已知∠BCD=α、∠DCE=β，得：
α = (180°-α)/2 + β
两边同乘2整理：2α=180°-α+2β → 3α-2β=180°
【答案】A
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题综合考查菱形与等腰三角形的性质，核心是通过平行线的内错角相等、等腰三角形内角和建立角的关系，需理清各角的关联，属于中等难度的几何推导题。
【难度系数】0.5