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12. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E是AD上一点,现将△CDE沿CE翻折,得到△CEF。作FM⊥AB,FN⊥BC,当四边形MBNF是正方形时,则BN的值为
4+√2
。答案
12.4+√2
解析:设BN=x,因为四边形MBNF是正方形,所以BM=BN=MF=FN=x,因为AB=6,BC=8,所以AM=AB-BM=6-x,CN=BC-BN=8-x,因为四边形ABCD是矩形,所以∠D=90°,由翻折可知CF=CD=AB=6,在直角三角形FNC中,根据勾股定理可得FN²+CN²=CF²,所以x²+(8-x)²=6²,解得x₁=4+√2,x₂=4-√2(舍去),所以BN的值为4+√2,故答案为:4+√2。
解析:设BN=x,因为四边形MBNF是正方形,所以BM=BN=MF=FN=x,因为AB=6,BC=8,所以AM=AB-BM=6-x,CN=BC-BN=8-x,因为四边形ABCD是矩形,所以∠D=90°,由翻折可知CF=CD=AB=6,在直角三角形FNC中,根据勾股定理可得FN²+CN²=CF²,所以x²+(8-x)²=6²,解得x₁=4+√2,x₂=4-√2(舍去),所以BN的值为4+√2,故答案为:4+√2。
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形、矩形的性质，翻折的性质以及勾股定理建立方程求解。首先设BN的长度为x，利用正方形边长相等得到FN、CN的表达式，再根据翻折性质得到CF的长度，最后在直角三角形FNC中用勾股定理列方程，求解后舍去不符合图形位置的根即可。
【解析】
设BN = x，
∵ 四边形MBNF是正方形，
∴ BM = BN = MF = FN = x，
又
∵ 矩形ABCD中BC = 8，
∴ CN = BC - BN = 8 - x，
根据翻折的性质，△CDE沿CE翻折得到△CEF，
∴ CF = CD = AB = 6，
∵ FN⊥BC，
∴ △FNC是直角三角形，
在Rt△FNC中，由勾股定理得：
FN² + CN² = CF²，
代入得：x² + (8 - x)² = 6²，
展开整理方程：
x² + 64 - 16x + x² = 36，
2x² - 16x + 28 = 0，
化简为x² - 8x + 14 = 0，
解此一元二次方程，判别式Δ = (-8)² - 4×1×14 = 8，
∴ x = [8 ± √8]/2 = 4 ± √2，
判断根的合理性：当x = 4 - √2时，F点位置不符合翻折后图形的位置要求，舍去；当x = 4 + √2时，AM = 6 - (4 + √2) = 2 - √2，为正数，符合题意，
故BN的值为4 + √2。
【答案】
4 + √2
【知识点】
矩形性质、正方形性质、翻折性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，关键是利用翻折前后对应边相等，结合正方形边长关系构造直角三角形，用勾股定理列方程求解，需注意舍去不符合图形位置的根，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正方形、矩形的性质，翻折的性质以及勾股定理建立方程求解。首先设BN的长度为x，利用正方形边长相等得到FN、CN的表达式，再根据翻折性质得到CF的长度，最后在直角三角形FNC中用勾股定理列方程，求解后舍去不符合图形位置的根即可。
【解析】
设BN = x，
∵ 四边形MBNF是正方形，
∴ BM = BN = MF = FN = x，
又
∵ 矩形ABCD中BC = 8，
∴ CN = BC - BN = 8 - x，
根据翻折的性质，△CDE沿CE翻折得到△CEF，
∴ CF = CD = AB = 6，
∵ FN⊥BC，
∴ △FNC是直角三角形，
在Rt△FNC中，由勾股定理得：
FN² + CN² = CF²，
代入得：x² + (8 - x)² = 6²，
展开整理方程：
x² + 64 - 16x + x² = 36，
2x² - 16x + 28 = 0，
化简为x² - 8x + 14 = 0，
解此一元二次方程，判别式Δ = (-8)² - 4×1×14 = 8，
∴ x = [8 ± √8]/2 = 4 ± √2，
判断根的合理性：当x = 4 - √2时，F点位置不符合翻折后图形的位置要求，舍去；当x = 4 + √2时，AM = 6 - (4 + √2) = 2 - √2，为正数，符合题意，
故BN的值为4 + √2。
【答案】
4 + √2
【知识点】
矩形性质、正方形性质、翻折性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，关键是利用翻折前后对应边相等，结合正方形边长关系构造直角三角形，用勾股定理列方程求解，需注意舍去不符合图形位置的根，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13.(真题·宁波市南三县)如图,在矩形ABCD中,O是对角线BD的中点,E是边AD上的点,连结EO并延长交BC于点F,且$EF⊥BD$。
(1)求证:四边形BFDE是菱形。
(2)若$AB=2,AD=5$,求四边形BFDE的周长。
13.(真题·宁波市南三县)如图,在矩形ABCD中,O是对角线BD的中点,E是边AD上的点,连结EO并延长交BC于点F,且$EF⊥BD$。
(1)求证:四边形BFDE是菱形。
(2)若$AB=2,AD=5$,求四边形BFDE的周长。
答案
13.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AD//BC,所以∠EDO=∠FBO。因为O为BD的中点,所以OB=OD,在△DOE和△BOF中,
$\begin{cases}∠EDO=∠FBO,\\DO=BO,\\∠EOD=∠FOB,\end{cases}$
所以△DOE≌△BOF(ASA),所以ED=BF,因为ED//BF,所以四边形BFDE是平行四边形。因为EF⊥BD,所以四边形BFDE是菱形。
(2)设BE=x,因为四边形BFDE是菱形,所以ED=BE=x,AE=5-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB²+AE²=BE²,所以2²+(5-x)²=x²,解得x=29/10。因为四边形BFDE是菱形,所以四边形BFDE的周长为4x=4×29/10=58/5。
$\begin{cases}∠EDO=∠FBO,\\DO=BO,\\∠EOD=∠FOB,\end{cases}$
所以△DOE≌△BOF(ASA),所以ED=BF,因为ED//BF,所以四边形BFDE是平行四边形。因为EF⊥BD,所以四边形BFDE是菱形。
(2)设BE=x,因为四边形BFDE是菱形,所以ED=BE=x,AE=5-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB²+AE²=BE²,所以2²+(5-x)²=x²,解得x=29/10。因为四边形BFDE是菱形,所以四边形BFDE的周长为4x=4×29/10=58/5。
解析
【分析】
要解决本题，分两小问分析：
(1) 证明四边形BFDE是菱形：先利用矩形对边平行得角相等，结合O是BD中点（OB=OD）和对顶角相等，用ASA证△DOE≌△BOF，得ED=BF，又ED//BF，可证四边形BFDE是平行四边形；再结合EF⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成证明。
(2) 求四边形BFDE的周长：由菱形性质得BE=ED，设BE=x，则ED=x，AE=5-x，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求x，再根据菱形周长公式计算结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△DOE和△BOF中，
$\begin{cases}∠EDO = ∠FBO, \\DO = BO, \\∠EOD = ∠FOB,\end{cases}$
∴ △DOE ≌ △BOF（ASA），
∴ ED = BF。
又
∵ ED//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形BFDE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
设BE = x，
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ ED = BE = x，
∵ AD = 5，
∴ AE = AD - ED = 5 - x。
在Rt△ABE中，∠A = 90°，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
即 $2^2 + (5 - x)^2 = x^2$，
展开化简得：$4 + 25 - 10x + x^2 = x^2$，
解得：$x = \frac{29}{10}$。
∵ 菱形周长=4×边长，
∴ 四边形BFDE的周长为 $4×\frac{29}{10} = \frac{58}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{58}{5}$
【知识点】
矩形性质、菱形判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形与菱形的综合题，考查菱形的判定和勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质和全等三角形证平行四边形，再结合菱形性质与勾股定理求解，属于常规题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两小问分析：
(1) 证明四边形BFDE是菱形：先利用矩形对边平行得角相等，结合O是BD中点（OB=OD）和对顶角相等，用ASA证△DOE≌△BOF，得ED=BF，又ED//BF，可证四边形BFDE是平行四边形；再结合EF⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成证明。
(2) 求四边形BFDE的周长：由菱形性质得BE=ED，设BE=x，则ED=x，AE=5-x，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求x，再根据菱形周长公式计算结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△DOE和△BOF中，
$\begin{cases}∠EDO = ∠FBO, \\DO = BO, \\∠EOD = ∠FOB,\end{cases}$
∴ △DOE ≌ △BOF（ASA），
∴ ED = BF。
又
∵ ED//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形BFDE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
设BE = x，
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ ED = BE = x，
∵ AD = 5，
∴ AE = AD - ED = 5 - x。
在Rt△ABE中，∠A = 90°，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
即 $2^2 + (5 - x)^2 = x^2$，
展开化简得：$4 + 25 - 10x + x^2 = x^2$，
解得：$x = \frac{29}{10}$。
∵ 菱形周长=4×边长，
∴ 四边形BFDE的周长为 $4×\frac{29}{10} = \frac{58}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{58}{5}$
【知识点】
矩形性质、菱形判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形与菱形的综合题，考查菱形的判定和勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质和全等三角形证平行四边形，再结合菱形性质与勾股定理求解，属于常规题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
14.(真题·宁波江北)图1、图2均为$4×5$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,点$A,B$均在格点上,$P$为线段$AB$上的一点。(仅用无刻度的直尺作图)
(1)在图1中,画出一个以$AB$为边的正方形$ABCD$(保留作图痕迹)。
(2)在(1)的基础上,在边$CD$上画点$Q$,使得$PQ$平分正方形$ABCD$的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以$AB$为边的非正方形的菱形$ABEF$(保留作图痕迹),连结此菱形各边中点所形成的四边形为
(1)在图1中,画出一个以$AB$为边的正方形$ABCD$(保留作图痕迹)。
(2)在(1)的基础上,在边$CD$上画点$Q$,使得$PQ$平分正方形$ABCD$的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以$AB$为边的非正方形的菱形$ABEF$(保留作图痕迹),连结此菱形各边中点所形成的四边形为
矩形
。答案
14.(1)如图
,正方形ABCD即为所求作。(2)如图
,直线PQ即为所求作。(3)如图
,菱形ABEF即为所求作。 矩形。解析
【分析】
本题是网格背景下的特殊四边形作图题，需结合特殊四边形的性质与网格特征解题：
(1) 作以AB为边的正方形，利用网格的直角特性，保证AB的邻边与AB垂直且长度相等，确定正方形的另外两个顶点；
(2) 正方形是中心对称图形，过其中心的直线可平分面积，因此连接点P与正方形中心，交CD于Q，即可得到符合要求的PQ；
(3) 作非正方形的菱形ABEF，需满足四边相等且对边平行、内角不为直角；再根据中点四边形的性质，菱形对角线互相垂直，其各边中点连线形成的四边形邻边平行于菱形对角线，故为矩形。
【解析】
(1) 在图1的网格中，过点A作与AB垂直且长度相等的线段AD，过点B作与AB垂直且长度相等的线段BC，连接CD，即可得到以AB为边的正方形ABCD；
(2) 正方形的中心为其对角线交点，连接该中心与点P，直线与CD的交点即为Q，连接PQ，PQ过正方形中心，可平分正方形面积；
(3) 在图2的网格中，找到点F、E，使得AB=BE=EF=FA，且四边形ABEF内角不为直角，得到非正方形的菱形ABEF；根据中点四边形性质：菱形对角线互相垂直，各边中点连线平行于菱形对角线，故形成的四边形邻边垂直，为矩形。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析；(3) 矩形
【知识点】
正方形作图、菱形性质、中点四边形
【点评】
本题结合网格考查特殊四边形的作图与性质，需掌握网格中线段垂直、等长的作图方法，中心对称图形的面积平分规律，中点四边形的判定是解题关键，属于中等难度的网格作图题。
【难度系数】
0.5
本题是网格背景下的特殊四边形作图题，需结合特殊四边形的性质与网格特征解题：
(1) 作以AB为边的正方形，利用网格的直角特性，保证AB的邻边与AB垂直且长度相等，确定正方形的另外两个顶点；
(2) 正方形是中心对称图形，过其中心的直线可平分面积，因此连接点P与正方形中心，交CD于Q，即可得到符合要求的PQ；
(3) 作非正方形的菱形ABEF，需满足四边相等且对边平行、内角不为直角；再根据中点四边形的性质，菱形对角线互相垂直，其各边中点连线形成的四边形邻边平行于菱形对角线，故为矩形。
【解析】
(1) 在图1的网格中，过点A作与AB垂直且长度相等的线段AD，过点B作与AB垂直且长度相等的线段BC，连接CD，即可得到以AB为边的正方形ABCD；
(2) 正方形的中心为其对角线交点，连接该中心与点P，直线与CD的交点即为Q，连接PQ，PQ过正方形中心，可平分正方形面积；
(3) 在图2的网格中，找到点F、E，使得AB=BE=EF=FA，且四边形ABEF内角不为直角，得到非正方形的菱形ABEF；根据中点四边形性质：菱形对角线互相垂直，各边中点连线平行于菱形对角线，故形成的四边形邻边垂直，为矩形。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析；(3) 矩形
【知识点】
正方形作图、菱形性质、中点四边形
【点评】
本题结合网格考查特殊四边形的作图与性质，需掌握网格中线段垂直、等长的作图方法，中心对称图形的面积平分规律，中点四边形的判定是解题关键，属于中等难度的网格作图题。
【难度系数】
0.5
