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6.(真题·宁波余姚)如图,已知$□ ABCD$,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形。①$∠ ABC=90°$;②$AC⊥ BD$;③$AB=BC$;④$AC=BD$。则下列四种选法中错误的是 ………………………………………………………………（
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
C
）A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
6.C
解析
【分析】
要判断平行四边形ABCD补充两个条件后能否成为正方形，需结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析各选项：平行四边形中，条件①使图形为矩形，条件②使图形为菱形，条件③使图形为菱形，条件④使图形为矩形；正方形需同时满足矩形和菱形的特征，据此逐一判断选项即可找到错误选法。
【解析】
根据特殊平行四边形的判定定理分析：
选项A：平行四边形ABCD中，①∠ABC=90°→矩形；②AC⊥BD→菱形，矩形+菱形=正方形，该选法正确。
选项B：平行四边形ABCD中，①∠ABC=90°→矩形；③AB=BC→菱形，矩形+菱形=正方形，该选法正确。
选项C：平行四边形ABCD中，②AC⊥BD→菱形；③AB=BC→菱形，两个条件仅能判定图形为菱形，无法得到正方形，该选法错误。
选项D：平行四边形ABCD中，③AB=BC→菱形；④AC=BD→矩形，菱形+矩形=正方形，该选法正确。
因此错误的选法为C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、特殊平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，核心是明确正方形是矩形和菱形的结合体，需熟练掌握各特殊平行四边形的判定定理，逐一分析条件组合对应的图形形状，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.5
要判断平行四边形ABCD补充两个条件后能否成为正方形，需结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析各选项：平行四边形中，条件①使图形为矩形，条件②使图形为菱形，条件③使图形为菱形，条件④使图形为矩形；正方形需同时满足矩形和菱形的特征，据此逐一判断选项即可找到错误选法。
【解析】
根据特殊平行四边形的判定定理分析：
选项A：平行四边形ABCD中，①∠ABC=90°→矩形；②AC⊥BD→菱形，矩形+菱形=正方形，该选法正确。
选项B：平行四边形ABCD中，①∠ABC=90°→矩形；③AB=BC→菱形，矩形+菱形=正方形，该选法正确。
选项C：平行四边形ABCD中，②AC⊥BD→菱形；③AB=BC→菱形，两个条件仅能判定图形为菱形，无法得到正方形，该选法错误。
选项D：平行四边形ABCD中，③AB=BC→菱形；④AC=BD→矩形，菱形+矩形=正方形，该选法正确。
因此错误的选法为C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、特殊平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，核心是明确正方形是矩形和菱形的结合体，需熟练掌握各特殊平行四边形的判定定理，逐一分析条件组合对应的图形形状，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.5
7.(真题·绍兴新昌)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形,若$BG=2CG$,则小正方形与大正方形的边长之比为………………(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决本题，需利用赵爽弦图的性质，结合直角三角形的边长关系推导大小正方形的边长。首先设短直角边CG为x，根据BG=2CG得出长直角边BG的长度，再分别确定大正方形（直角三角形斜边）和小正方形（长直角边与短直角边的差）的边长，最后计算两者的边长比即可。
【解析】
设 $ CG = x $，由 $ BG = 2CG $ 得 $ BG = 2x $。
因为四个直角三角形全等，直角三角形的两条直角边分别为 $ CG = x $、$ BG = 2x $：
1. 求大正方形ABCD的边长：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为 $ \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = \sqrt{5}x $；
2. 求小正方形EFGH的边长：小正方形的边长等于直角三角形长直角边减去短直角边，即 $ EF = BG - CG = 2x - x = x $；
3. 计算边长比：小正方形与大正方形的边长之比为 $ \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，核心是明确大小正方形边长与直角三角形边长的对应关系，通过设参数简化计算，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用赵爽弦图的性质，结合直角三角形的边长关系推导大小正方形的边长。首先设短直角边CG为x，根据BG=2CG得出长直角边BG的长度，再分别确定大正方形（直角三角形斜边）和小正方形（长直角边与短直角边的差）的边长，最后计算两者的边长比即可。
【解析】
设 $ CG = x $，由 $ BG = 2CG $ 得 $ BG = 2x $。
因为四个直角三角形全等，直角三角形的两条直角边分别为 $ CG = x $、$ BG = 2x $：
1. 求大正方形ABCD的边长：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为 $ \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = \sqrt{5}x $；
2. 求小正方形EFGH的边长：小正方形的边长等于直角三角形长直角边减去短直角边，即 $ EF = BG - CG = 2x - x = x $；
3. 计算边长比：小正方形与大正方形的边长之比为 $ \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，核心是明确大小正方形边长与直角三角形边长的对应关系，通过设参数简化计算，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.5
8.(真题·绍兴越城)将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中,根据拼图可得以下三个结论:①$∠ B=45°$;②矩形长是宽的$\sqrt{2}$倍;③当菱形面积为$4\sqrt{2}$时,则每个矩形的周长为6。上述结论中正确的有 ………………………………………………（
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
B
）A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
答案
8.B
解析: 如图
,左侧的矩形为EFGH,则A,H,G三点共线,∠AHE=∠AGB=90°,因为3个矩形相同,所以AG = EH + HG,所以AH=AG-HG=EH+HG-HG=EH,所以∠HAE=∠HEA=45°,所以∠B=45°,故①正确,所以易得△EBF为等腰直角三角形,则BE=√2 EF,因为△AEH为等腰直角三角形,所以AE=√2 AH=√2 EH,所以AB=AE+BE=√2 AH+√2 EF,BC=BF+FG+GC=2EF+AH,在菱形ABCD中,AB=BC,则√2 EF+√2 AH=2EF+AH,所以AH=√2 EF,即EH=√2 EF,所以矩形长是宽的√2倍,故②正确,设AG=x,则AB=BC=√2 x。因为菱形面积为4√2,所以AG·BC=x·√2 x=√2 x²=4√2,因为x＞0,所以x=2,所以每个矩形的周长为2x=4≠6,故③错误。故选:B。解析
【分析】
要判断三个结论的正确性，需结合菱形、矩形的性质，分析图形中线段和角度的关系：首先利用矩形的直角性质得到相关直角三角形，结合三个矩形相同的条件推导∠B的度数，判断①；再利用菱形四边相等的性质建立矩形长和宽的关系，判断②；最后根据菱形面积公式，结合边长关系计算矩形周长，判断③。
【解析】
设矩形的宽为$ a $，长为$ b $，由三个矩形相同，得各矩形的长、宽对应相等。
1. 推导∠B的度数：
由图可知$ A、H、G $共线，矩形内角为直角，故$ ∠ AHE = 90° $。因为三个矩形相同，所以$ AG = EH + HG $，则$ AH = AG - HG = EH $，因此$ △ AEH $为等腰直角三角形，$ ∠ HAE = 45° $。又$ △ EBF $为直角三角形，且$ ∠ BEF = ∠ HAE = 45° $，故$ ∠ B = 45° $，结论①正确。
2. 推导矩形长与宽的关系：
由等腰直角三角形性质，$ BE = \sqrt{2}EF = \sqrt{2}a $，$ AE = \sqrt{2}AH = \sqrt{2}b $，则菱形边长$ AB = AE + BE = \sqrt{2}(a + b) $。
菱形的边$ BC = BF + FG + GC = a + b + a = 2a + b $（$ BF=GC=a $，$ FG=b $），因为菱形四边相等，$ AB=BC $，所以：
$ \sqrt{2}(a + b) = 2a + b $
整理得$ b = \sqrt{2}a $，即矩形长是宽的$ \sqrt{2} $倍，结论②正确。
3. 验证矩形周长：
设矩形宽$ a = x $，则长$ b = \sqrt{2}x $，菱形的高$ AG = a + b = x + \sqrt{2}x $，菱形边长$ BC = \sqrt{2}(a + b) $，菱形面积=底×高= $ BC × AG = \sqrt{2}(x + \sqrt{2}x) × (x + \sqrt{2}x) $？不对，按参考答案解析，设$ AG=x $，$ AB=BC=\sqrt{2}x $，菱形面积= $ AG × BC = x × \sqrt{2}x = \sqrt{2}x²=4\sqrt{2} $，解得$ x=2 $，则矩形长+宽=x=2，周长=2×2=4≠6，故结论③错误。
综上，①②正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形性质、矩形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查菱形、矩形及等腰直角三角形的性质，需要通过图形中的线段关系推导角度和边长比例，再结合面积公式验证结论，重点考查几何推理与计算能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要判断三个结论的正确性，需结合菱形、矩形的性质，分析图形中线段和角度的关系：首先利用矩形的直角性质得到相关直角三角形，结合三个矩形相同的条件推导∠B的度数，判断①；再利用菱形四边相等的性质建立矩形长和宽的关系，判断②；最后根据菱形面积公式，结合边长关系计算矩形周长，判断③。
【解析】
设矩形的宽为$ a $，长为$ b $，由三个矩形相同，得各矩形的长、宽对应相等。
1. 推导∠B的度数：
由图可知$ A、H、G $共线，矩形内角为直角，故$ ∠ AHE = 90° $。因为三个矩形相同，所以$ AG = EH + HG $，则$ AH = AG - HG = EH $，因此$ △ AEH $为等腰直角三角形，$ ∠ HAE = 45° $。又$ △ EBF $为直角三角形，且$ ∠ BEF = ∠ HAE = 45° $，故$ ∠ B = 45° $，结论①正确。
2. 推导矩形长与宽的关系：
由等腰直角三角形性质，$ BE = \sqrt{2}EF = \sqrt{2}a $，$ AE = \sqrt{2}AH = \sqrt{2}b $，则菱形边长$ AB = AE + BE = \sqrt{2}(a + b) $。
菱形的边$ BC = BF + FG + GC = a + b + a = 2a + b $（$ BF=GC=a $，$ FG=b $），因为菱形四边相等，$ AB=BC $，所以：
$ \sqrt{2}(a + b) = 2a + b $
整理得$ b = \sqrt{2}a $，即矩形长是宽的$ \sqrt{2} $倍，结论②正确。
3. 验证矩形周长：
设矩形宽$ a = x $，则长$ b = \sqrt{2}x $，菱形的高$ AG = a + b = x + \sqrt{2}x $，菱形边长$ BC = \sqrt{2}(a + b) $，菱形面积=底×高= $ BC × AG = \sqrt{2}(x + \sqrt{2}x) × (x + \sqrt{2}x) $？不对，按参考答案解析，设$ AG=x $，$ AB=BC=\sqrt{2}x $，菱形面积= $ AG × BC = x × \sqrt{2}x = \sqrt{2}x²=4\sqrt{2} $，解得$ x=2 $，则矩形长+宽=x=2，周长=2×2=4≠6，故结论③错误。
综上，①②正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形性质、矩形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查菱形、矩形及等腰直角三角形的性质，需要通过图形中的线段关系推导角度和边长比例，再结合面积公式验证结论，重点考查几何推理与计算能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
9.(真题·台州玉环)如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,∠CBD=20°,则∠AOB=
40°
。答案
9.40°
解析
【分析】
要解决本题，需先利用矩形的性质得到对角线的关系，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算角度。首先，矩形的对角线相等且互相平分，由此可推出OB=OC，得到等腰△OBC；再根据三角形外角的性质，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴ OB=OC，即△OBC为等腰三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=20°。
又
∵ ∠AOB是△OBC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠AOB=∠OBC + ∠OCB = 20° + 20° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合矩形对角线的性质，通过等腰三角形和三角形外角的性质求解角度，属于基础题型，考查对矩形相关性质的掌握。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先利用矩形的性质得到对角线的关系，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算角度。首先，矩形的对角线相等且互相平分，由此可推出OB=OC，得到等腰△OBC；再根据三角形外角的性质，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴ OB=OC，即△OBC为等腰三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=20°。
又
∵ ∠AOB是△OBC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠AOB=∠OBC + ∠OCB = 20° + 20° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合矩形对角线的性质，通过等腰三角形和三角形外角的性质求解角度，属于基础题型，考查对矩形相关性质的掌握。
【难度系数】
0.7
10.(真题·台州椒江)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作$BE⊥AD$,垂足为E,连结OE,若$AB=5,AC=8$,则$OE=$
3
。答案
10.3
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用菱形的性质、勾股定理和直角三角形斜边中线的性质。首先根据菱形对角线互相垂直平分，结合已知AC的长度求出AO，再在直角三角形AOB中用勾股定理算出BO，进而得到BD的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出OE的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ AC⊥BD，且AO = ½AC，BO = ½BD。
已知AC=8，
∴ AO = ½×8 = 4。
在Rt△AOB中，AB=5，AO=4，根据勾股定理：
BO = √(AB² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ BD = 2BO = 6。
又
∵ BE⊥AD，
∴ △BED是直角三角形，O是BD的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
OE = ½BD = ½×6 = 3。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、勾股定理与直角三角形的性质，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出BD的长度，再通过直角三角形斜边中线性质得到OE的值，属于基础综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用菱形的性质、勾股定理和直角三角形斜边中线的性质。首先根据菱形对角线互相垂直平分，结合已知AC的长度求出AO，再在直角三角形AOB中用勾股定理算出BO，进而得到BD的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出OE的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ AC⊥BD，且AO = ½AC，BO = ½BD。
已知AC=8，
∴ AO = ½×8 = 4。
在Rt△AOB中，AB=5，AO=4，根据勾股定理：
BO = √(AB² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ BD = 2BO = 6。
又
∵ BE⊥AD，
∴ △BED是直角三角形，O是BD的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
OE = ½BD = ½×6 = 3。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、勾股定理与直角三角形的性质，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出BD的长度，再通过直角三角形斜边中线性质得到OE的值，属于基础综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.(真题·绍兴嵊州)我们知道:四边形具有不稳定性。如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为$(-2,0)$,$B$的坐标为$(3,0)$,$AD=4$,固定点$A$,$B$,把矩形沿$x$轴正方向推,使点$D$落在$y$轴正半轴上点$D'$处,则点$C$的对应点$C'$的坐标为________。
答案
11.(5,2√3)
解析
【分析】
要解决本题，需利用矩形的不稳定性，明确推前后边长不变，结合勾股定理和坐标的性质求解。首先计算AB的长度，再在直角三角形中用勾股定理求出OD'的长度，最后根据平行四边形对边平行且相等的特点，确定点C'的坐标。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知点A(-2,0)，B(3,0)，则AB的长度为$3 - (-2)=5$。
2. 求OD'的长度：由矩形性质可知，推后$AD'=AD=4$，在$Rt△ AOD'$中，$OA=| -2 - 0 | =2$，根据勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此D'的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
3. 确定C'的坐标：因为推后四边形ABC'D'是平行四边形，所以$C'D'=AB=5$，且$C'D'$平行于x轴，故C'的纵坐标与D'相同，为$2\sqrt{3}$；横坐标为D'的横坐标加上$C'D'$的长度，即$0 +5=5$，因此C'的坐标为$(5,2\sqrt{3})$。
【答案】
$(5,2\sqrt{3})$
【知识点】
勾股定理；坐标与图形；平行四边形性质
【点评】
本题结合矩形的不稳定性，考查勾股定理和坐标变换的应用，关键是抓住推前后边长不变及对边平行的特点，属于中等难度的几何坐标题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需利用矩形的不稳定性，明确推前后边长不变，结合勾股定理和坐标的性质求解。首先计算AB的长度，再在直角三角形中用勾股定理求出OD'的长度，最后根据平行四边形对边平行且相等的特点，确定点C'的坐标。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知点A(-2,0)，B(3,0)，则AB的长度为$3 - (-2)=5$。
2. 求OD'的长度：由矩形性质可知，推后$AD'=AD=4$，在$Rt△ AOD'$中，$OA=| -2 - 0 | =2$，根据勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此D'的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
3. 确定C'的坐标：因为推后四边形ABC'D'是平行四边形，所以$C'D'=AB=5$，且$C'D'$平行于x轴，故C'的纵坐标与D'相同，为$2\sqrt{3}$；横坐标为D'的横坐标加上$C'D'$的长度，即$0 +5=5$，因此C'的坐标为$(5,2\sqrt{3})$。
【答案】
$(5,2\sqrt{3})$
【知识点】
勾股定理；坐标与图形；平行四边形性质
【点评】
本题结合矩形的不稳定性，考查勾股定理和坐标变换的应用，关键是抓住推前后边长不变及对边平行的特点，属于中等难度的几何坐标题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.4
