6.(真题·台州玉环)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若E，F，G，H为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为 ……………………………（）

A.2
B.4
C.6
D.8

6.D

【分析】
要解决本题，需先明确赵爽弦图的结构：四个全等直角三角形围成大正方形，中间小正方形面积为4，由此可得小正方形边长为2，即直角三角形的长直角边与短直角边的差为2。结合E、F、G、H是各直角边中点的条件，通过图形割补或特殊值法分析阴影部分面积与小正方形面积的关系，即可得出结果。
【解析】
1. 由中间小正方形面积为4，可得小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，即直角三角形的长直角边 - 短直角边 = 2。
2. 观察图形，阴影部分可通过中点性质转化为2个中间小正方形的面积（或取特殊值：设直角三角形短直角边为2，长直角边为4，此时每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$，阴影部分总面积为8）。
3. 因此阴影部分面积 = $2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
正方形面积、直角三角形性质、中点性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查面积计算，关键是利用图形的对称性和中点性质，将阴影面积与已知小正方形面积建立联系，难度适中。
【难度系数】
0.4

7.(真题·绍兴新昌)如图,矩形ABCD周长为8,并且BC＞CD,连结BD,将△BCD沿BD折叠得△BED,BE交AD于点P,作PG⊥BD,交BC于点G。下列说法中正确的是 ………()
①$2＜BC＜4$;②△ABP的周长为定值;③△BPG一定是等边三角形;④当BC变大时,AP也变大。

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

7.B
解析:①因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,BC=AD,AD//BC。因为矩形ABCD周长为8,所以CD+BC=4,所以CD=4-BC,BC＜4,因为BC＞CD,所以BC＞4-BC,所以BC＞2,所以2＜BC＜4,故①正确;②由折叠得:∠CBD=∠EBD,因为AD//BC,所以∠CBD=∠PDB,所以∠EBD=∠PDB,所以BP=DP,所以△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=CD+BC=4,故②正确;③由折叠得:∠CBD=∠EBD,所以只有∠CBD=30°时,才能使∠PBG=60°,而BC＞CD,不能保证∠CBD=30°,所以不能得出∠PBG=60°,所以△BPG不一定是等边三角形,故③不正确;④因为BP=PD=AD-AP=BC-AP,AB=CD=4-BC,所以在Rt△ABP中,AP²=BP²-AB²=(BC-AP)²-(4-BC)²,整理得:AP=4-8/BC,所以当BC变大时,AP也变大,故④正确;综上所述,正确的有①②④,故选:B。

【分析】
要判断各说法的正确性，需结合矩形性质、折叠性质逐一分析：
1. 对于①，利用矩形周长公式及BC＞CD的条件，推导BC的取值范围；
2. 对于②，由折叠得到角相等，结合AD//BC推出等腰三角形，转化△ABP的周长为定值；
3. 对于③，分析∠PBG的度数是否固定，判断△BPG是否为等边三角形；
4. 对于④，设AP为未知数，利用勾股定理建立等式，推导AP与BC的关系，判断AP随BC的变化趋势。
【解析】
已知矩形ABCD周长为8，故2(BC+CD)=8，即BC+CD=4，CD=4-BC。
① 因为BC＞CD，所以BC＞4-BC，解得BC＞2；又CD=4-BC＞0，故BC＜4，因此2＜BC＜4，①正确。
② 由折叠性质，△BCD沿BD折叠得△BED，故∠CBD=∠EBD。因为AD//BC，所以∠CBD=∠PDB，因此∠EBD=∠PDB，得BP=DP。△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=BC+CD=4（定值），②正确。
③ 由折叠得∠CBD=∠EBD，PG⊥BD，故∠PBG=2∠CBD。因为BC＞CD，tan∠CBD=CD/BC=(4-BC)/BC＜1，所以∠CBD＜45°，无法确定∠PBG=60°，因此△BPG不一定是等边三角形，③错误。
④ 设AP=x，则BP=DP=AD-AP=BC-x，AB=CD=4-BC。在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP² + AB² = BP²，即x² + (4-BC)²=(BC - x)²，展开整理得：x² +16 -8BC + BC²=BC² -2BC x +x²，消去同类项后解得x=4 - 8/BC，因此当BC变大时，8/BC变小，x=AP变大，④正确。
综上，正确的是①②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与折叠结合的综合题，需熟练运用矩形性质、折叠的对称性，结合等腰三角形判定、勾股定理逐一分析各选项，考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.5

8.(真题·杭州拱墅)如图,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形。连结AG,BG,DE。若F是线段DE上的一点,且$EF=3DF=3$,则$AG=$ …………………………………………………… ()

A.$5$
B.$2\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{17}$

8.D
解析:因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形。EF=3DF=3,所以BC=AB=CD,CG=EF=CE=3,∠BCD=∠ABC=∠GCE=∠E=90°,DF=1,则∠BCD-∠GCD=∠GCE-∠GCD,即∠BCG=∠DCE,所以△BCG≌△DCE,DE=1+3=4,所以BG=ED=4,∠BGC=∠E=90°。因为CG=EF=3,且∠CGB=90°,所以BC=√(BG²+CG²)=5,即AB=5,过点G作GW⊥AB,过点G作GH⊥BC,如图,所以BC×HG×1/2=S△BCG=1/2×CG×BG,所以BC×HG=CG×BG,即5HG=12,所以HG=12/5,所以BH=√(BG²-GH²)=√(16-144/25)=16/5,因为GW⊥AB,GH⊥BC,所以∠GHB=∠ABC=∠GWB=90°,所以四边形WGHB是矩形,所以WG=BH=16/5,BW=GH=12/5,所以AW=5-12/5=13/5,在Rt△AWG中,AG=√(AW²+WG²)=√(169/25+256/25)=√17,故选:D。

【分析】
首先根据已知条件EF=3DF=3，求出DF和DE的长度；再利用正方形的性质，通过角的等量关系证明△BCG与△DCE全等，得到BG、CG的长度；接着在Rt△BCG中用勾股定理算出BC的长度；再通过面积法求出G到BC的距离，结合矩形的性质得到AG所在直角三角形的两条直角边，最后用勾股定理计算AG的长度。
【解析】
解：
∵EF=3DF=3，
∴DF=1，EF=3，DE=DF+EF=1+3=4。
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCD - ∠GCD = ∠GCE - ∠GCD，即∠BCG=∠DCE。
在△BCG和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=DC \\ ∠BCG=∠DCE \\ CG=CE \end{array} $
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE=4，∠BGC=∠E=90°。
在Rt△BCG中，CG=3，BG=4，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{BG^2 + CG^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5，即AB=5。
过点G作GH⊥BC于H，
∵$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}×BC×GH=\frac{1}{2}×BG×CG$，
∴5×GH=4×3，解得GH=$\frac{12}{5}$。
在Rt△BGH中，BG=4，GH=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{BG^2 - GH^2}$=$\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}$=$\frac{16}{5}$。
过点G作GW⊥AB于W，
∵∠GWB=∠ABC=∠GHB=90°，
∴四边形WGHB是矩形，
∴WG=BH=$\frac{16}{5}$，BW=GH=$\frac{12}{5}$，
∴AW=AB - BW=5 - $\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$。
在Rt△AWG中，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{AW^2 + WG^2}$=$\sqrt{(\frac{13}{5})^2 + (\frac{16}{5})^2}$=$\sqrt{17}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质；全等三角形判定；勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题关键是通过全等三角形转化线段长度，结合面积法和矩形性质构造直角三角形，对几何知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.5

二、填空题
9.(真题·宁波市南三县)如图,BD是菱形ABCD的对角线,AE⊥BC于点E,交BD于点F,若∠C=140°,则∠BFA=。

9.110°

【分析】先利用菱形邻角互补求出∠ABC，再根据菱形对角线平分内角得到∠FBE，结合AE⊥BC得到直角三角形，求出∠BFE，最后利用平角的定义计算∠BFA。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC + ∠C = 180°（菱形邻角互补），BD平分∠ABC（菱形对角线平分内角）。已知∠C=140°，则∠ABC=180°-140°=40°，
∴∠FBE=∠ABC÷2=20°。又
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，在Rt△BEF中，∠BFE=90°-∠FBE=90°-20°=70°。
∵∠BFA + ∠BFE=180°（平角定义），
∴∠BFA=180°-70°=110°。
【答案】110°
【知识点】菱形的性质、直角三角形的性质、平角的定义
【点评】本题结合菱形的性质与直角三角形、角的和差关系求解，核心是利用菱形对角线平分内角的性质推导角度，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

10.(真题·金华金东)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形CDE,连结AE,BE,则∠AEB的度数为度。

10.30

【分析】
要计算∠AEB的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导角度关系：首先利用正方形四边相等、内角为90°，等边三角形三边相等、内角为60°，得到AD=CD=DE、BC=CD=CE，且∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°；接着计算等腰△ADE和△BCE的顶角∠ADE=∠ADC+∠CDE=150°，∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°，再根据等腰三角形内角和求出底角∠AED=∠BEC=15°；最后用等边三角形的∠DEC=60°减去两个底角，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°。
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°。
∴ AD=DE，BC=CE，∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°，∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°。
在△ADE中，AD=DE，是等腰三角形，
∴ ∠AED=(180°-∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°。
同理，在△BCE中，∠BEC=15°。
又
∵ ∠DEC=60°（等边三角形内角），
∴ ∠AEB=∠DEC - ∠AED - ∠BEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】
30
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题结合正方形与等边三角形的性质进行角度计算，核心是利用等腰三角形内角和求底角，进而推导目标角，属于几何基础题型，考查学生对基本图形性质的掌握。
【难度系数】
0.6

11.(真题·绍兴柯桥)如图,正方形ABCD中,点E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F。当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$25°$时,则$∠ EFC$的度数是$\underline{\hspace{5cm}}$。

11.115°或25°
解析:因为E为对角线AC上一点,所以线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是25°时,有以下两种情况:
①当DE与AD的夹角是25°时,即∠ADE=25°,如图,所以∠EDC=∠CDA-∠ADE=65°,因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,在四边形DEFC中,∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF=360°,所以∠EFC+90°+65°+90°=360°,所以∠EFC=115°;
②当DE与CD的夹角是25°时,即∠CDE=25°,如图,因为四边形ABCD是正方形,所以∠DCA=∠BCA=45°,在△CDE中,∠CED=180°-(∠CDE+∠DCA)=180°-(25°+45°)=110°,因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠CEF=∠CED-∠DEF=110°-90°=20°,因为∠BCA是△CEF的外角,所以∠BCA=∠CEF+∠EFC,所以45°=20°+∠EFC,所以∠EFC=25°。综上所述,∠EFC的度数是115°或25°。故答案为:115°或25°。

【分析】本题需分两种情况讨论：线段DE与正方形ABCD的边的夹角为25°，存在DE与AD夹角25°、DE与CD夹角25°两种情况。结合正方形的性质，利用三角形内角和、四边形内角和或外角性质，分别计算两种情况下∠EFC的度数。
【解析】已知四边形ABCD是正方形，AC为对角线，故∠ADC=∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°。
情况1：当DE与AD的夹角为25°，即∠ADE=25°（对应图1）：
∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-25°=65°，
因为EF⊥DE，所以∠DEF=90°，
在四边形DEFC中，内角和为360°，则∠EFC + ∠BCD + ∠EDC + ∠DEF=360°，
代入得：∠EFC +90°+65°+90°=360°，解得∠EFC=115°。
情况2：当DE与CD的夹角为25°，即∠CDE=25°（对应图2）：
在△CDE中，∠CED=180°-∠CDE-∠ACD=180°-25°-45°=110°，
因为EF⊥DE，所以∠DEF=90°，故∠CEF=∠CED - ∠DEF=110°-90°=20°，
根据三角形外角性质，∠ACB=∠CEF + ∠EFC，即45°=20°+∠EFC，解得∠EFC=25°。
综上，∠EFC的度数为115°或25°。
【答案】115°或25°
【知识点】正方形的性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理
【点评】本题考查正方形的性质，核心是分类讨论思想的应用，需明确DE与正方形边的夹角的两种可能情况，结合几何定理计算，避免漏解。
【难度系数】0.5