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9. 亮点原创 2026年是蔡老师的本命年,春节期间,他给自己买了一辆小汽车.为了掌握车的油耗情况,在连续两次加油时做了如下工作：① 把油箱加满油;② 记录了两次加油时的累计里程(“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程).以下是蔡老师连续两次加油时的记录:
则在这段时间内,该车每行驶 100 km 的平均耗油量为（
A.6.5 L
B.7 L
C.7.5 L
D.8 L
则在这段时间内,该车每行驶 100 km 的平均耗油量为（
D
）A.6.5 L
B.7 L
C.7.5 L
D.8 L
答案
9. D 解析:由题意,得两次加油间隔期间耗油 30 L,行驶的路程为 $575-200=375(\mathrm{km})$,所以该车每行驶100 km 的平均耗油量为 $30÷375×100=8(\mathrm{L})$.
10. 已知一组数据 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 的平均数为8 , 则另一组数据 $a_{1}+5,a_{2}-5,a_{3}+5,a_{4}-$ $5,a_{5}+5$ 的平均数为
9
.答案
10. 9 解析:由题意,得$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=8×5=40$,所以$\frac{1}{5}(a_1+5+a_2-5+a_3+5+a_4-5+a_5+5)=\frac{1}{5}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+5)=\frac{1}{5}×45=9$.
11. 已知 4,8,2,a 的平均数为 5,且 13,4,2,a,b 的平均数为 6,则 $ab+2\ 026=$
2056
.答案
11. 2 056 解析:由题意,得$\frac{1}{4}(4+8+2+a)=5$且$\frac{1}{5}(13+4+2+a+b)=6$,所以$a=6$,$b=5$,所以$ab+2\ 026=6×5+2\ 026=2\ 056$.
12. 若一组数据 $x_{1},x_{2},x_{3},···,x_{n}$ 的平均数是 $\overline{x},$则 $(x_{1}-\overline{x})+(x_{2}-\overline{x})+···+(x_{n}-\overline{x})=$
0
.答案
12. 0 解析:由题意,得$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=n\overline{x}$,则$(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\dots+(x_n-\overline{x})=(x_1+x_2+\dots+x_n)-n\overline{x}=n\overline{x}-n\overline{x}=0$.
13. (2026·江苏徐州期末)已知一组数据 $x_1$，$x_2,···,x_n$ 的平均数为 $\overline{x}$，另一组数据 $y_1$，$y_2,···,y_n$ 的平均数为 $\overline{y}$.
(1) 求数据 $x_1+y_1,x_2+y_2,···,x_n+y_n$ 的平均数；
(2) 求数据 $x_1,y_1,x_2,y_2,···,x_n,y_n$ 的平均数.
(1) 求数据 $x_1+y_1,x_2+y_2,···,x_n+y_n$ 的平均数；
(2) 求数据 $x_1,y_1,x_2,y_2,···,x_n,y_n$ 的平均数.
答案
13. (1) 由题意,得数据$x_1+y_1,x_2+y_2,\dots,x_n+y_n$的平均数为$\frac{1}{n}[(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+\dots+(x_n+y_n)]=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)+\frac{1}{n}(y_1+y_2+\dots+y_n)=\overline{x}+\overline{y}$.
(2) 由题意,得数据$x_1,y_1,x_2,y_2,\dots,x_n,y_n$的平均数为$\frac{1}{2n}(x_1+y_1+x_2+y_2+\dots+x_n+y_n)=\frac{1}{2}[\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)+\frac{1}{n}(y_1+y_2+\dots+y_n)]=\frac{1}{2}(\overline{x}+\overline{y})$.
(2) 由题意,得数据$x_1,y_1,x_2,y_2,\dots,x_n,y_n$的平均数为$\frac{1}{2n}(x_1+y_1+x_2+y_2+\dots+x_n+y_n)=\frac{1}{2}[\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)+\frac{1}{n}(y_1+y_2+\dots+y_n)]=\frac{1}{2}(\overline{x}+\overline{y})$.
14. 小慧在计算 $a,b,c\ (a＜b＜c)$ 的平均数时,先计算出 $a,b$ 的平均数 $x$,再计算出 $x,c$ 的平均数 $y$,最后把 $y$ 看作是 $a,b,c$ 的平均数,则实际上小慧把 $a,b,c$ 的平均数 （
A.算大了
B.算对了
C.算小了
D.算大算小无法确定
A
）A.算大了
B.算对了
C.算小了
D.算大算小无法确定
答案
14. A 解析:由题意,得$a+b=2x$,$x+c=2y$,所以$a+b+c+x=2x+2y$,所以$a+b+c=x+2y$. 因为$a＜b＜c$,所以$x＜c$,所以$x＜y$,所以$x+2y＜3y$,所以$\frac{1}{3}(x+2y)＜y$,即$\frac{1}{3}(a+b+c)＜y$,所以实际上小慧把$a,b,c$的平均数算大了.
15. A,B,C,D,E,F 六人按顺序围成一圈做游戏,每人抽一个数.已知每人按顺序抽到的数的两倍比其他五个人按顺序抽到的数的平均数分别大 9,10,13,15,23,30,则 C 抽到的数为
15
.答案
15. 15 解析:设A,B,C,D,E,F六人按顺序抽到的数分别为$a,b,c,d,e,f$. 由题意,得
$\begin{cases}2a=\frac{1}{5}(b+c+d+e+f)+9,\\2b=\frac{1}{5}(a+c+d+e+f)+10,\\2c=\frac{1}{5}(a+b+d+e+f)+13,\\2d=\frac{1}{5}(a+b+c+e+f)+15,\\2e=\frac{1}{5}(a+b+c+d+f)+23,\\2f=\frac{1}{5}(a+b+c+d+e)+30,\end{cases}$
所以$2(a+b+c+d+e+f)=\frac{1}{5}(5a+5b+5c+5d+5e+5f)+100$,
所以$a+b+c+d+e+f=100$,所以$a+b+d+e+f=100-c$,所以$2c=\frac{1}{5}(100-c)+13$,解得$c=15$.故C抽到的数为15.
$\begin{cases}2a=\frac{1}{5}(b+c+d+e+f)+9,\\2b=\frac{1}{5}(a+c+d+e+f)+10,\\2c=\frac{1}{5}(a+b+d+e+f)+13,\\2d=\frac{1}{5}(a+b+c+e+f)+15,\\2e=\frac{1}{5}(a+b+c+d+f)+23,\\2f=\frac{1}{5}(a+b+c+d+e)+30,\end{cases}$
所以$2(a+b+c+d+e+f)=\frac{1}{5}(5a+5b+5c+5d+5e+5f)+100$,
所以$a+b+c+d+e+f=100$,所以$a+b+d+e+f=100-c$,所以$2c=\frac{1}{5}(100-c)+13$,解得$c=15$.故C抽到的数为15.
16. 新趋势 推导探究 已知$M\{a,b,c\}$表示$a,b,c$这三个数的平均数，$\min\{a,b,c\}$表示$a,b,c$这三个数中最小的数，如：$M\{-1,2,3\}=\dfrac{-1+2+3}{3}=\dfrac{4}{3}$，$\min\{-1,2,3\}=-1$。
(1) 若$M\{x-1,-5,2x+3\}=\dfrac{1}{2}(1+3x)$，求$x$的值；
(2) 已知$A=M\{2x,-x+2,3\}$，$B=\min\{-1,0,4x+1\}$。是否存在实数$x$，使得$2A=B$成立？若存在，求出$x$的值；若不存在，请说明理由。
(1) 若$M\{x-1,-5,2x+3\}=\dfrac{1}{2}(1+3x)$，求$x$的值；
(2) 已知$A=M\{2x,-x+2,3\}$，$B=\min\{-1,0,4x+1\}$。是否存在实数$x$，使得$2A=B$成立？若存在，求出$x$的值；若不存在，请说明理由。
答案
16. (1) 由题意,得$M\{x-1,-5,2x+3\}=\frac{1}{3}(x-1-5+2x+3)=x-1$,所以$x-1=\frac{1}{2}(1+3x)$,解得$x=-3$.
(2) 不存在. 理由如下:由题意,得$2A=2×\frac{1}{3}(2x-x+2+3)=\frac{2}{3}(x+5)$. 令$4x+1＜-1$,得$x＜-\frac{1}{2}$;令$4x+1≥-1$,得$x≥-\frac{1}{2}$. 故$B=\begin{cases}-1(x≥-\frac{1}{2}),\\4x+1(x＜-\frac{1}{2}).\end{cases}$
若$2A=B$,则当$x≥-\frac{1}{2}$时,$\frac{2}{3}(x+5)=-1$,解得$x=-\frac{13}{2}$,不合题意,舍去;当$x＜-\frac{1}{2}$时,$\frac{2}{3}(x+5)=4x+1$,解得$x=\frac{7}{10}$,不合题意,舍去. 综上所述,不存在实数$x$,使得$2A=B$成立.
(2) 不存在. 理由如下:由题意,得$2A=2×\frac{1}{3}(2x-x+2+3)=\frac{2}{3}(x+5)$. 令$4x+1＜-1$,得$x＜-\frac{1}{2}$;令$4x+1≥-1$,得$x≥-\frac{1}{2}$. 故$B=\begin{cases}-1(x≥-\frac{1}{2}),\\4x+1(x＜-\frac{1}{2}).\end{cases}$
若$2A=B$,则当$x≥-\frac{1}{2}$时,$\frac{2}{3}(x+5)=-1$,解得$x=-\frac{13}{2}$,不合题意,舍去;当$x＜-\frac{1}{2}$时,$\frac{2}{3}(x+5)=4x+1$,解得$x=\frac{7}{10}$,不合题意,舍去. 综上所述,不存在实数$x$,使得$2A=B$成立.
