1. (教材习题变式)(2025·广西)已知$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}-20x-25=0$的两个实数根，则$x_{1}+x_{2}$的值为（）

A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$

1. C

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，无需解方程，直接确定题目中方程的$a$、$b$值，代入公式计算即可得到结果，进而选出正确选项。
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题中方程为$x^2-20x-25=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$，将其代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题属于基础题型，是教材习题的变式，直接考查韦达定理的应用，只要牢记公式就能快速解答，主要用于巩固一元二次方程根与系数关系的基础知识点。
【难度系数】0.8

2. 已知一元二次方程$2x^{2}-3x-2=0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则下列结论正确的是 （）

A.$x_{1}+x_{2}=\dfrac{3}{2}$
B.$x_{1}x_{2}=1$
C.$x_{1}-x_{2}=-\dfrac{3}{2}$
D.$x_{1}÷ x_{2}=1$

2. A 解析:$\because 2x^{2}-3x-2=0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,$\therefore x_1+x_2=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2}$,$x_1x_2=\dfrac{-2}{2}=-1$,故A选项符合题意,B选项不符合题意;原方程因式分解,得$(2x+1)(x-2)=0$,解得$x=-\dfrac{1}{2}$或$x=2$,则$x_1-x_2=\pm\dfrac{5}{2}$,$x_1÷ x_2=-\dfrac{1}{4}$或$-4$,故C、D选项不符合题意.

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及因式分解法解一元二次方程。解题思路：首先利用韦达定理计算两根之和与两根之积，验证选项A、B；再通过因式分解法求出方程的两个根，计算两根之差与两根之商，验证选项C、D，从而确定正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则韦达定理为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
已知方程$2x^2 - 3x - 2 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$，故选项A正确；
$x_1x_2 = \frac{-2}{2} = -1$，故选项B错误。
再用因式分解法解方程：$2x^2 - 3x - 2 = 0$，分解得$(2x + 1)(x - 2) = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$或$x = 2$。
当两根为$-\frac{1}{2}$和$2$时，$x_1 - x_2 = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}$或$2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$，并非$-\frac{3}{2}$，故选项C错误；
$x_1 ÷ x_2 = -\frac{1}{2} ÷ 2 = -\frac{1}{4}$或$2 ÷ (-\frac{1}{2}) = -4$，均不为1，故选项D错误。
综上，正确结论为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查韦达定理的应用及因式分解法解方程，只要掌握相关知识点即可快速判断各选项，难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $-2x^{2}+kx-3=0$ 的一个根为 2,则另一个根为 （）

A.$\dfrac{11}{2}$
B.$1$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$-\dfrac{1}{2}$

3. C 解析:设方程的另一个根为$t$,根据根与系数的关系,得$2t=\dfrac{-3}{-2}$,解得$t=\dfrac{3}{4}$,即方程的另一个根为$\dfrac{3}{4}$.

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之积等于$\frac{c}{a}$。已知方程的一个根为2，设另一个根为$t$，代入两根之积的公式即可求出$t$的值。
【解析】
设方程的另一个根为$t$，原一元二次方程为$-2x^2 + kx - 3 = 0$，其中二次项系数$a=-2$，常数项$c=-3$。根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，即：
$2 × t = \frac{-3}{-2}$
化简得：$2t = \frac{3}{2}$
解得：$t = \frac{3}{4}$，因此方程的另一个根为$\frac{3}{4}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，利用韦达定理直接计算两根之积即可快速求解，无需额外求参数$k$，解题简便高效，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7

4. (1) 已知方程 $x^{2}-7x+3=0$ 的两根是 $x_{1}$、$x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=$，$x_{1}x_{2}=$。
(2) 已知方程 $2x^{2}-5x=0$ 的两根是 $x_{1}$、$x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=$，$x_{1}x_{2}=$。
(3) 设 $x_{1}$、$x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}-3x-5=0$ 的两根，则 $x_{1}+x_{2}=$，$x_{1}x_{2}=$。

4. (1)7 3 (2)$\dfrac{5}{2}$ 0 (3)$\dfrac{3}{2}$ $-\dfrac{5}{2}$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，只需分别确定每个小题方程的$a$、$b$、$c$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -7x +3=0$中，$a=1$，$b=-7$，$c=3$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1}=7$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1}=3$；
(2) 方程$2x^2 -5x=0$整理为标准式$2x^2 -5x +0=0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=0$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{2}=0$；
(3) 方程$2x^2 -3x -5=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=-5$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$。
【答案】
4. (1)7 3 (2)$\dfrac{5}{2}$ 0 (3)$\dfrac{3}{2}$ $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题直接考查韦达定理的基础应用，属于一元二次方程的核心基础知识点，解题关键是牢记韦达定理公式，准确确定方程的$a$、$b$、$c$，整体难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-kx-6=0$的一个根为$x=3$，则另一个根为.

5. $-2$ 解析:设方程的另一个根为$t$,根据根与系数的关系,得$3t=-6$,解得$t=-2$,即方程的另一个根为$-2$.

【分析】
已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解，无需完整解方程。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中方程为$x^2 -kx -6=0$，$a=1$，$c=-6$，已知一个根为$3$，设另一个根为$t$，代入根与系数的关系即可求出$t$。
【解析】
设方程的另一个根为$t$，对于一元二次方程$x^2 -kx -6=0$，根据根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项与二次项系数的比值，即：
$3t = \frac{-6}{1}$
解得$t=-2$，因此方程的另一个根为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，直接运用韦达定理即可快速得出结果，难度较低，主要考查学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8

6. 已知一元二次方程 $x^{2}-5x+c=0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$、$x_{2}$，且 $x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$，则
$c=$.

6. 5 解析:$\because$一元二次方程$x^2-5x+c=0$的两个实数根分别是$x_1$、$x_2$,$\therefore x_1+x_2=5$,$x_1x_2=c$.$\because x_1+x_2=x_1x_2$,$\therefore c=5$.

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是：先利用韦达定理求出一元二次方程两根的和与积，再结合题目给出的等式，代入计算即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x + c =0$，其中$a=1$，$b=-5$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$，
$x_1x_2 = \frac{c}{1}=c$。
已知$x_1 + x_2 = x_1x_2$，将上述结果代入得：$5 = c$，即$c=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题直接考查韦达定理的基础应用，属于一元二次方程章节的基础题型，主要检验学生对韦达定理的掌握情况。
【难度系数】
0.8

7. 已知一元二次方程 $x^2 - 2x - 5 = 0$ 的两根分别为 $x_1$、$x_2$，求下面各式的值.
(1) $x_1^2 + x_2^2$；
(2) $(x_1 - x_2)^2$；
(3) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$；
(4) $(x_1 - 3)(x_2 - 3)$.

7. 根据题意,得$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-5$.
(1)原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2^2-2×(-5)=14$.
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=2^2-4×(-5)=24$.
(3)原式$=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2}{-5}=-\dfrac{2}{5}$.
(4)原式$=x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=-5-3×2+9=-2$.

【分析】
要解决这道题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通过完全平方公式、通分、多项式乘法等方式变形为含两根和与两根积的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$。
(1) 对$x_1^2 + x_2^2$变形，利用完全平方公式：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$2^2 - 2×(-5) = 4 +10 =14$；
(2) 对$(x_1 -x_2)^2$变形，利用完全平方公式：
$(x_1 -x_2)^2 = (x_1 +x_2)^2 -4x_1x_2$，代入得：
$2^2 -4×(-5)=4 +20=24$；
(3) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}$，代入得：
$\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}$；
(4) 展开$(x_1 -3)(x_2 -3)$：
$(x_1 -3)(x_2 -3)=x_1x_2 -3x_1 -3x_2 +9 =x_1x_2 -3(x_1 +x_2)+9$，代入得：
$-5 -3×2 +9 = -5 -6 +9 = -2$；
【答案】
(1) $14$；(2) $24$；(3) $-\dfrac{2}{5}$；(4) $-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，核心是将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式，计算时需注意符号处理，整体难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.2

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+4x+m-1=0$ 有两个实数根,分别为 $x_1$、$x_2$.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)若 $2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$,求 $m$ 的值.

8. (1)$\because$方程有两个实数根,$\therefore b^2-4ac≥0$,即$4^2-4×1×(m-1)≥0$,解得$m≤5$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-4$,$x_1x_2=m-1$.又$\because 2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$,$\therefore 2×(-4)+(m-1)+10=0$,解得$m=-1$.

【分析】
要解决本题，分两步分析：
1. 第一问求m的取值范围：已知方程是一元二次方程且有两个实数根，需利用根的判别式Δ≥0，先确定方程中a、b、c的值，代入判别式公式解不等式即可。
2. 第二问求m的值：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再代入题目给出的等式，解关于m的方程即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 + 4x + m - 1 = 0$，其中 $a=1$，$b=4$，$c=m-1$。
因为方程有两个实数根，所以根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$4^2 - 4 × 1 × (m - 1) ≥ 0$
计算化简：$16 - 4m + 4 ≥ 0$ → $20 - 4m ≥ 0$，解得 $m ≤ 5$。
(2) 根据韦达定理，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根积 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
代入本题方程得：$x_1 + x_2 = -4$，$x_1x_2 = m - 1$。
将其代入等式 $2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，得：
$2 × (-4) + (m - 1) + 10 = 0$，计算得 $-8 + m - 1 + 10 = 0$，即 $m + 1 = 0$，解得 $m = -1$。
【答案】
(1) $m ≤ 5$；(2) $m = -1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察根的判别式和韦达定理的应用，解题时需牢记公式，注意判别式的条件（有两个实根对应Δ≥0），韦达定理的符号易混淆，属于学生需熟练掌握的常规题目。
【难度系数】
0.6