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/类型四/ 用公式法解方程
19. $4x^{2}+x-3=0$.
20. $3x^{2}+1=2\sqrt{3}x$.
21. $2x^{2}+3x+4=0$.
22. $x^{2}-4x+1=0$.
23. $(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$.
24. $2x(x-3)=-6x+5$.
19. $4x^{2}+x-3=0$.
20. $3x^{2}+1=2\sqrt{3}x$.
21. $2x^{2}+3x+4=0$.
22. $x^{2}-4x+1=0$.
23. $(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$.
24. $2x(x-3)=-6x+5$.
答案
19. $\because \Delta=1^{2}-4×4×(-3)=49＞0$,$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×4}=\frac{-1\pm7}{8}$,$\therefore x_{1}=\frac{3}{4},x_{2}=-1$.
20. 原方程可化为$3x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$,$\because \Delta=(-2\sqrt{3})^{2}-4×3×1=0$,$\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
21. $\because \Delta=3^{2}-4×2×4=-23＜0$,$\therefore$原方程无实数解.
22. $\because \Delta=(-4)^{2}-4×1×1=12＞0$,$\therefore x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_{1}=2+\sqrt{3},x_{2}=2-\sqrt{3}$.
23. 原方程可化为$x^{2}-2\sqrt{2}x-1=0$,$\because \Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=12＞0$,$\therefore x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
24. 原方程可化为$2x^{2}-5=0$,$\because \Delta=0^{2}-4×2×(-5)=40＞0$,$\therefore x=\frac{0\pm\sqrt{40}}{2×2}$,$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
20. 原方程可化为$3x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$,$\because \Delta=(-2\sqrt{3})^{2}-4×3×1=0$,$\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
21. $\because \Delta=3^{2}-4×2×4=-23＜0$,$\therefore$原方程无实数解.
22. $\because \Delta=(-4)^{2}-4×1×1=12＞0$,$\therefore x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_{1}=2+\sqrt{3},x_{2}=2-\sqrt{3}$.
23. 原方程可化为$x^{2}-2\sqrt{2}x-1=0$,$\because \Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=12＞0$,$\therefore x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
24. 原方程可化为$2x^{2}-5=0$,$\because \Delta=0^{2}-4×2×(-5)=40＞0$,$\therefore x=\frac{0\pm\sqrt{40}}{2×2}$,$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
解析
【分析】用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将每个方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程解的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到方程的解。
【解析】
19. 方程$4x^2+x-3=0$中，$a=4$，$b=1$，$c=-3$，
$\Delta = 1^2 - 4×4×(-3) = 1 + 48 = 49＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2×4}=\frac{-1±7}{8}$，
解得$x_1=\frac{3}{4}$，$x_2=-1$。
20. 原方程整理为$3x^2 - 2\sqrt{3}x +1=0$，其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 -4×3×1 = 12 -12=0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{0}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
21. 方程$2x^2+3x+4=0$中，$a=2$，$b=3$，$c=4$，
$\Delta=3^2 -4×2×4=9 -32=-23＜0$，
故原方程无实数解。
22. 方程$x^2 -4x +1=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=1$，
$\Delta=(-4)^2 -4×1×1=16 -4=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{4±\sqrt{12}}{2×1}=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}=2±\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
23. 原方程整理为$x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8 +4=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}±2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}±\sqrt{3}$，
解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
24. 原方程整理为$2x^2 -5=0$，其中$a=2$，$b=0$，$c=-5$，
$\Delta=0^2 -4×2×(-5)=0 +40=40＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{0±\sqrt{40}}{2×2}=\frac{±2\sqrt{10}}{4}=±\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
19. $x_1=\frac{3}{4},x_2=-1$；
20. $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
21. 无实数解；
22. $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；
23. $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
24. $x_1=\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的公式法，一元二次方程的判别式，一元二次方程的标准形式。
【点评】
本题组是用公式法解一元二次方程的基础练习题，重点考察公式法的完整步骤：整理方程为标准式、计算判别式、代入求根公式化简求解，需注意移项时的符号处理、判别式的计算准确性，以及根号的化简，是巩固一元二次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
【解析】
19. 方程$4x^2+x-3=0$中，$a=4$，$b=1$，$c=-3$，
$\Delta = 1^2 - 4×4×(-3) = 1 + 48 = 49＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2×4}=\frac{-1±7}{8}$，
解得$x_1=\frac{3}{4}$，$x_2=-1$。
20. 原方程整理为$3x^2 - 2\sqrt{3}x +1=0$，其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 -4×3×1 = 12 -12=0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{0}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
21. 方程$2x^2+3x+4=0$中，$a=2$，$b=3$，$c=4$，
$\Delta=3^2 -4×2×4=9 -32=-23＜0$，
故原方程无实数解。
22. 方程$x^2 -4x +1=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=1$，
$\Delta=(-4)^2 -4×1×1=16 -4=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{4±\sqrt{12}}{2×1}=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}=2±\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
23. 原方程整理为$x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8 +4=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}±2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}±\sqrt{3}$，
解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
24. 原方程整理为$2x^2 -5=0$，其中$a=2$，$b=0$，$c=-5$，
$\Delta=0^2 -4×2×(-5)=0 +40=40＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{0±\sqrt{40}}{2×2}=\frac{±2\sqrt{10}}{4}=±\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
19. $x_1=\frac{3}{4},x_2=-1$；
20. $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
21. 无实数解；
22. $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；
23. $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
24. $x_1=\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的公式法，一元二次方程的判别式，一元二次方程的标准形式。
【点评】
本题组是用公式法解一元二次方程的基础练习题，重点考察公式法的完整步骤：整理方程为标准式、计算判别式、代入求根公式化简求解，需注意移项时的符号处理、判别式的计算准确性，以及根号的化简，是巩固一元二次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
/类型五/ 用适当的方法解方程
25. $(2x+1)^2-25=0$.
26. $x^2-2x-8=0$.
27. $2x(x-1)+3(x-1)=0$.
28. $(x-3)^2=(2x+1)^2$.
29. $9(2x-5)^2-4=0$.
30. $2x^2-4\sqrt{5}x=8$.
31. $3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$.
32. $(x-2)^2+4(x-2)-5=0$.
25. $(2x+1)^2-25=0$.
26. $x^2-2x-8=0$.
27. $2x(x-1)+3(x-1)=0$.
28. $(x-3)^2=(2x+1)^2$.
29. $9(2x-5)^2-4=0$.
30. $2x^2-4\sqrt{5}x=8$.
31. $3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$.
32. $(x-2)^2+4(x-2)-5=0$.
答案
25. 移项,得$(2x+1)^{2}=25$,开方,得$2x+1=\pm5$,$\therefore x_{1}=2,x_{2}=-3$.
26. 因式分解,得$(x-4)(x+2)=0$,$\therefore x-4=0$或$x+2=0$,$\therefore x_{1}=4,x_{2}=-2$.
27. 因式分解,得$(2x+3)(x-1)=0$,$\therefore 2x+3=0$或$x-1=0$,$\therefore x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=1$.
28. 移项,得$(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}=0$,因式分解,得$(3x-2)(-x-4)=0$,$\therefore 3x-2=0$或$-x-4=0$,$\therefore x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=-4$.
29. 原方程可化为$(2x-5)^{2}=\frac{4}{9}$,开方,得$2x-5=\pm \frac{2}{3}$,$\therefore x_{1}=\frac{17}{6},x_{2}=\frac{13}{6}$.
30. 移项,得$2x^{2}-4\sqrt{5}x-8=0$,$\because \Delta=(-4\sqrt{5})^{2}-4×2×(-8)=144＞0$,$\therefore x=\frac{4\sqrt{5}\pm12}{4}=\sqrt{5}\pm3$,$\therefore x_{1}=\sqrt{5}+3,x_{2}=\sqrt{5}-3$.
31. 原方程可化为$x^{2}-9x+2=0$,$\because \Delta=(-9)^{2}-4×1×2=73＞0$,$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$,$\therefore x_{1}=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_{2}=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$.
32. 因式分解,得$(x-2-1)(x-2+5)=0$,即$(x-3)(x+3)=0$,$\therefore x-3=0$或$x+3=0$,$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-3$.
26. 因式分解,得$(x-4)(x+2)=0$,$\therefore x-4=0$或$x+2=0$,$\therefore x_{1}=4,x_{2}=-2$.
27. 因式分解,得$(2x+3)(x-1)=0$,$\therefore 2x+3=0$或$x-1=0$,$\therefore x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=1$.
28. 移项,得$(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}=0$,因式分解,得$(3x-2)(-x-4)=0$,$\therefore 3x-2=0$或$-x-4=0$,$\therefore x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=-4$.
29. 原方程可化为$(2x-5)^{2}=\frac{4}{9}$,开方,得$2x-5=\pm \frac{2}{3}$,$\therefore x_{1}=\frac{17}{6},x_{2}=\frac{13}{6}$.
30. 移项,得$2x^{2}-4\sqrt{5}x-8=0$,$\because \Delta=(-4\sqrt{5})^{2}-4×2×(-8)=144＞0$,$\therefore x=\frac{4\sqrt{5}\pm12}{4}=\sqrt{5}\pm3$,$\therefore x_{1}=\sqrt{5}+3,x_{2}=\sqrt{5}-3$.
31. 原方程可化为$x^{2}-9x+2=0$,$\because \Delta=(-9)^{2}-4×1×2=73＞0$,$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$,$\therefore x_{1}=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_{2}=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$.
32. 因式分解,得$(x-2-1)(x-2+5)=0$,即$(x-3)(x+3)=0$,$\therefore x-3=0$或$x+3=0$,$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-3$.
解析
【分析】
本组题目是一元二次方程的求解问题，需根据每个方程的结构特点选择合适的解法：对于形如$(ax+b)^2=c$的方程，优先用直接开平方法；对于能通过因式分解（提公因式、平方差公式等）转化为乘积形式的方程，用因式分解法；对于无法因式分解的一般式，用公式法（先计算判别式，再代入求根公式）。解题时需注意移项、开方、因式分解等操作的正确性，避免符号错误，确保步骤规范。
【解析】
25. 移项得：$(2x+1)^2=25$，开平方得：$2x+1=\pm5$，解得$x_1=2$，$x_2=-3$；
26. 因式分解得：$(x-4)(x+2)=0$，则$x-4=0$或$x+2=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
27. 提公因式$(x-1)$得：$(x-1)(2x+3)=0$，则$x-1=0$或$2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$；
28. 移项得：$(x-3)^2-(2x+1)^2=0$，利用平方差公式因式分解得：$(3x-2)(-x-4)=0$，则$3x-2=0$或$-x-4=0$，解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-4$；
29. 移项得：$9(2x-5)^2=4$，两边同除以9得：$(2x-5)^2=\frac{4}{9}$，开平方得：$2x-5=\pm\frac{2}{3}$，解得$x_1=\frac{17}{6}$，$x_2=\frac{13}{6}$；
30. 移项化为一般式：$2x^2-4\sqrt{5}x-8=0$，计算判别式$\Delta=(-4\sqrt{5})^2 -4×2×(-8)=144$，代入求根公式得：$x=\frac{4\sqrt{5}\pm12}{4}=\sqrt{5}\pm3$，解得$x_1=\sqrt{5}+3$，$x_2=\sqrt{5}-3$；
31. 展开整理为一般式：$x^2-9x+2=0$，计算判别式$\Delta=(-9)^2 -4×1×2=73$，代入求根公式得：$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$，解得$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$；
32. 将$(x-2)$看作整体因式分解得：$(x-3)(x+3)=0$，则$x-3=0$或$x+3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$；
【答案】
25. $x_1=2,x_2=-3$；26. $x_1=4,x_2=-2$；27. $x_1=1,x_2=-\frac{3}{2}$；28. $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$；29. $x_1=\frac{17}{6},x_2=\frac{13}{6}$；30. $x_1=\sqrt{5}+3,x_2=\sqrt{5}-3$；31. $x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$；32. $x_1=3,x_2=-3$；
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本组题目涵盖了一元二次方程的核心解法，考察学生根据方程特征灵活选择最优解法的能力，是初中代数的重点内容，需熟练掌握各类解法的适用条件与操作步骤，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本组题目是一元二次方程的求解问题，需根据每个方程的结构特点选择合适的解法：对于形如$(ax+b)^2=c$的方程，优先用直接开平方法；对于能通过因式分解（提公因式、平方差公式等）转化为乘积形式的方程，用因式分解法；对于无法因式分解的一般式，用公式法（先计算判别式，再代入求根公式）。解题时需注意移项、开方、因式分解等操作的正确性，避免符号错误，确保步骤规范。
【解析】
25. 移项得：$(2x+1)^2=25$，开平方得：$2x+1=\pm5$，解得$x_1=2$，$x_2=-3$；
26. 因式分解得：$(x-4)(x+2)=0$，则$x-4=0$或$x+2=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
27. 提公因式$(x-1)$得：$(x-1)(2x+3)=0$，则$x-1=0$或$2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$；
28. 移项得：$(x-3)^2-(2x+1)^2=0$，利用平方差公式因式分解得：$(3x-2)(-x-4)=0$，则$3x-2=0$或$-x-4=0$，解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-4$；
29. 移项得：$9(2x-5)^2=4$，两边同除以9得：$(2x-5)^2=\frac{4}{9}$，开平方得：$2x-5=\pm\frac{2}{3}$，解得$x_1=\frac{17}{6}$，$x_2=\frac{13}{6}$；
30. 移项化为一般式：$2x^2-4\sqrt{5}x-8=0$，计算判别式$\Delta=(-4\sqrt{5})^2 -4×2×(-8)=144$，代入求根公式得：$x=\frac{4\sqrt{5}\pm12}{4}=\sqrt{5}\pm3$，解得$x_1=\sqrt{5}+3$，$x_2=\sqrt{5}-3$；
31. 展开整理为一般式：$x^2-9x+2=0$，计算判别式$\Delta=(-9)^2 -4×1×2=73$，代入求根公式得：$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$，解得$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$；
32. 将$(x-2)$看作整体因式分解得：$(x-3)(x+3)=0$，则$x-3=0$或$x+3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$；
【答案】
25. $x_1=2,x_2=-3$；26. $x_1=4,x_2=-2$；27. $x_1=1,x_2=-\frac{3}{2}$；28. $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$；29. $x_1=\frac{17}{6},x_2=\frac{13}{6}$；30. $x_1=\sqrt{5}+3,x_2=\sqrt{5}-3$；31. $x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$；32. $x_1=3,x_2=-3$；
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本组题目涵盖了一元二次方程的核心解法，考察学生根据方程特征灵活选择最优解法的能力，是初中代数的重点内容，需熟练掌握各类解法的适用条件与操作步骤，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
