1. 如图,DE垂直平分BC,交BC于点D,交AB于点E.若$△ EDC$的周长为24,$△ ABC$与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 ()

A.4
B.6
C.8
D.12

＞＞ 对点专练 P18

1.B

2. 如图, 四边形 $ABCD$ 中, $CA$ 平分 $∠ BCD$, $∠ ABD + ∠ ABC = 180°$, 若 $∠ ADC = m$, $∠ BCD = n$, 则 $∠ ABD$ 的度数为 （）

A.$m - n$
B.$\dfrac{m + n}{2}$
C.$145° - \dfrac{m}{2} + n$
D.$m + \dfrac{n}{2} - 90°$

2.D

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB$边的中垂线$PQ$与$△ ABC$的外角平分线交于点$P$,过点$P$作$PD ⊥ BC$于点$D$,$PE ⊥ AC$于点$E$.若$BC=6$,$AC=4$,则$CE$的长度是________.

3.1

4. |尺规作图 请用直尺和圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
如图,在AC边上找一点E,使点E到点C的距离等于点E到AB边的距离.

＞＞ 对点专练 P62

4.如图,点 E 即为所求. 解析:如图,过点 C 作 AC 的垂线交 AB 的延长线于点 D, 再作 $∠ ADC$ 的平分线, 根据角平分线的性质可证, 点 E 到 AB 的距离和点 E 到 CD 的距离相等, 即点 E 到点 C 的距离等于点 E 到 AB 的距离, 点 E 为所求.

5. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，点$D$在$∠ BAC$的平分线所在的直线上.
(1)如图①，当点$D$在$△ ABC$的外部时，过点$D$作$DE ⊥ AB$于$E$，作$DF ⊥ AC$交$AC$的延长线于$F$，且$BE=CF$.
①求证:点$D$在$BC$的垂直平分线上；
②$BE=$；
(2)如图②，当点$D$在线段$BC$上时，若$∠ C=90°$，$BE$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$E$，交$AD$于点$F$，过点$F$作$FG ⊥ BE$，交$BC$于点$G$，$EC=\dfrac{4}{3}$，求$GC$的长度.

＞＞ 对点专练 P20

5.(1)①如图①,连接 BD,CD. $\because$ 点 D 在 $∠ BAC$ 的平分线所在的直线上, $DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore DE = DF, ∠ BED = ∠ CFD = 90°$. 在 $△ BED$ 和 $△ CFD$ 中, $\begin{cases} BE = CF, \\ ∠ BED = ∠ CFD, \\ DE = DF, \end{cases}$ $\therefore △ BED ≌ △ CFD(\mathrm{SAS}), \therefore BD = CD, \therefore$ 点 D 在 BC 的垂直平分线上.
②1 解析: 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中, $\begin{cases} DE = DF, \\ AD = AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}), \therefore AE = AF, \therefore AB - BE = AC + CF. \because BE = CF, AB = 5, AC = 3, \therefore 5 - BE = 3 + BE, \therefore BE = 1.$
(2)如图②,延长 GF 交 AB 于 H.$\because BE$ 平分 $∠ ABC$, AD 平分 $∠ BAC, ∠ C = 90°, \therefore ∠ ABF + ∠ BAF = \dfrac{1}{2}∠ ABC + \dfrac{1}{2}∠ BAC = \dfrac{1}{2} × (180° - 90°) = 45°, ∠ HAF = ∠ EAF, \therefore ∠ DFB = ∠ ABF + ∠ BAF = 45°. \because FG ⊥ BE, \therefore ∠ BFG = 90°, \therefore ∠ DFG = 90° - ∠ DFB = 45°, \therefore ∠ AFH = ∠ DFG = 45°, ∠ AFE = ∠ BFD = 45°, \therefore ∠ AFH = ∠ AFE.$ 在 $△ AFH$ 和 $△ AFE$ 中, $\begin{cases} ∠ HAF = ∠ EAF, \\ AF = AF, \\ ∠ AFH = ∠ AFE, \end{cases}$ $\therefore △ AFH ≌ △ AFE(\mathrm{ASA}), \therefore AH = AE. \because AB = 5, BC = 4, AC = 3, EC = \dfrac{4}{3}, \therefore AE = AC - EC = 3 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{3}, \therefore AH = AE = \dfrac{5}{3}, \therefore BH = AB - AH = 5 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{3}.$ 在 $△ BFG$ 和 $△ BFH$ 中, $\begin{cases} ∠ GBF = ∠ HBF, \\ BF = BF, \\ ∠ BFG = ∠ BFH = 90°, \end{cases}$ $\therefore △ BFG ≌ △ BFH(\mathrm{ASA}), \therefore BG = BH = \dfrac{10}{3}, \therefore GC = BC - BG = 4 - \dfrac{10}{3} = \dfrac{2}{3}.$