7.我们在研究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化为一个近似的长方体得出的，如果将转化得到的长方体翻转一下摆放(如图)。
(1)观察上图，我们发现翻转后长方体的底面积等于圆柱的(),长方体的高相当于圆柱的(),因此圆柱的体积还可以这样计算:。
(2)用你的发现解决下面的问题:
有一个圆柱的侧面积是$100\mathrm{dm}^2$，底面半径是$5\mathrm{dm}$，它的体积是多少？

7.(1)侧面积的一半 底面半径 圆柱的体积=侧面积的一半×底面半径 (2)$100÷2×5=250(\mathrm{dm}^3)$

1.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，书中解决分数除法问题时采用“经分术”，规则为：当被除数与除数均为分数时，需先将这两个分数通分，然后用通分后被除数的分子除以除数的分子。以下运用“经分术”计算$\frac{2}{7} ÷ \frac{3}{5}$的是（$\quad$）。

A.$\frac{2}{7} ÷ \frac{3}{5} = \frac{2}{7} × \frac{5}{3}$
B.$\frac{2}{7} ÷ \frac{3}{5} = \frac{2 × 5}{7 × 5} ÷ \frac{3 × 7}{5 × 7} = 10 ÷ 21$
C.$\frac{2}{7} ÷ \frac{3}{5} = \frac{2}{7} × \frac{1}{3} × 5$
D.$\frac{2}{7} ÷ \frac{3}{5} = \frac{2}{7} : \frac{3}{5} = ( \frac{2}{7} × 35 ) : ( \frac{3}{5} × 35 ) = 10 : 21$

1. B

2.古希腊著名数学家阿基米德在自己众多的科学发现中，对“圆柱容球”定理最满意。“圆柱容球”就是把一个球放进圆柱形容器中，当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积正好是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，球的表面积也正好是圆柱表面积的$\frac{2}{3}$。右图中球的体积是()$\mathrm{cm}^3$。（结果可用含有$π$的式子表示）

2. $36π$

3.古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列的形状把整数进行分类。例如，排列成如图系列图形，点子数分别是$4,7,10,\dots$，照这样的排列规律，第5个图形的点子数是()，第$n$个图形的点子数是()。

3. 16 $3n+1$

4.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中“粟米”章专门研究粮食的比例兑换问题，提出“粟米之法”作为换算标准：“粟率五十，粝米三十”（意思是50份“粟”可以兑换30份“粝米”，“率”指兑换比例）。现有农民用75千克的“粟”去兑换“粝米”，按照这个古代换算比例，他能兑换到多少千克的“粝米”？请写出计算过程。

4. 粟:粝米$=50:30=5:3$ 解:设能兑换到$x$千克的“粝米”。$50:30=75:x$ $x=45$