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20. 化简：$(x+y)(3x-2y)-y(4x-2y)$
答案
20. $3x^2-3xy$
解析
【分析】
本题属于整式化简类题目，解题思路如下：第一步先根据整式运算顺序，先计算乘法部分，分别运用多项式乘多项式法则计算$(x+y)(3x-2y)$，运用单项式乘多项式法则计算$y(4x-2y)$；第二步去括号，注意括号前是减号时，括号内各项要变号；第三步合并同类项，最终得到最简结果。
【解析】
解：先分别展开两个乘法项：
根据多项式乘多项式法则，$(x+y)(3x-2y)=3x^2 - 2xy + 3xy - 2y^2 = 3x^2 + xy - 2y^2$
根据单项式乘多项式法则，$y(4x-2y)=4xy - 2y^2$
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(3x^2 + xy - 2y^2) - (4xy - 2y^2)\\&=3x^2 + xy - 2y^2 - 4xy + 2y^2\\&=3x^2 + (xy - 4xy) + (-2y^2 + 2y^2)\\&=3x^2 - 3xy\end{aligned}$
【答案】
$3x^2-3xy$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查整式乘法的基本运算规则，计算过程中需重点注意去括号时的符号变化，准确识别并合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简类题目，解题思路如下：第一步先根据整式运算顺序，先计算乘法部分，分别运用多项式乘多项式法则计算$(x+y)(3x-2y)$，运用单项式乘多项式法则计算$y(4x-2y)$；第二步去括号，注意括号前是减号时，括号内各项要变号；第三步合并同类项，最终得到最简结果。
【解析】
解：先分别展开两个乘法项：
根据多项式乘多项式法则，$(x+y)(3x-2y)=3x^2 - 2xy + 3xy - 2y^2 = 3x^2 + xy - 2y^2$
根据单项式乘多项式法则，$y(4x-2y)=4xy - 2y^2$
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(3x^2 + xy - 2y^2) - (4xy - 2y^2)\\&=3x^2 + xy - 2y^2 - 4xy + 2y^2\\&=3x^2 + (xy - 4xy) + (-2y^2 + 2y^2)\\&=3x^2 - 3xy\end{aligned}$
【答案】
$3x^2-3xy$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查整式乘法的基本运算规则，计算过程中需重点注意去括号时的符号变化，准确识别并合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
四、解答题
21.【问题情境】
阅读：若$x$满足$(10-x)(x-6)=3$，求$(10-x)^2+(x-6)^2$的值.
解：设$10-x=a$，$x-6=b$，则$ab=(10-x)(x-6)=3$.
因为$a+b=(10-x)+(x-6)=4$，
所以$(10-x)^2+(x-6)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×3=10$.
请仿照上述方法解决下面的问题：
【问题发现】
(1)若$x$满足$(3-x)(x-2)=-10$，求$(3-x)^2+(x-2)^2$的值；
【类比探究】
(2)若$x$满足$(2025-x)^2+(2026-x)^2=2027$，求$(2025-x)(2026-x)$的值；
【拓展延伸】
(3)如下图，正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE=10$，$CG=20$，长方形$EFGD$的面积为200，四边形$NGDH$和四边形$MEDQ$都是正方形，$PQDH$是长方形. 求四边形$MFNP$的面积.
21.【问题情境】
阅读：若$x$满足$(10-x)(x-6)=3$，求$(10-x)^2+(x-6)^2$的值.
解：设$10-x=a$，$x-6=b$，则$ab=(10-x)(x-6)=3$.
因为$a+b=(10-x)+(x-6)=4$，
所以$(10-x)^2+(x-6)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×3=10$.
请仿照上述方法解决下面的问题：
【问题发现】
(1)若$x$满足$(3-x)(x-2)=-10$，求$(3-x)^2+(x-2)^2$的值；
【类比探究】
(2)若$x$满足$(2025-x)^2+(2026-x)^2=2027$，求$(2025-x)(2026-x)$的值；
【拓展延伸】
(3)如下图，正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE=10$，$CG=20$，长方形$EFGD$的面积为200，四边形$NGDH$和四边形$MEDQ$都是正方形，$PQDH$是长方形. 求四边形$MFNP$的面积.
答案
21. (1)21
(2)1 013
(3)900
(2)1 013
(3)900
解析
【分析】
本题可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，各小问思路如下：
(1)仿照材料给出的方法，设$3-x=a$，$x-2=b$，先求出$a+b$的值，再结合已知的$ab$，利用$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算即可；
(2)设$2025-x=a$，$2026-x=b$，先求出$a-b$的值，再结合已知的$a^2+b^2$，利用完全平方公式的变形推导$ab$的值即可；
(3)先根据图形边长关系表示出$ED=x-10$，$DG=x-20$，由长方形EFGD面积得$(x-10)(x-20)=200$。观察可知四边形MFNP是正方形，边长为$(x-10)+(x-20)$，设$m=x-10$，$n=x-20$，先求出$m-n$和$mn$的值，再利用完全平方公式的变形计算正方形面积即可。
【解析】
(1)设$3-x=a$，$x-2=b$，
则$ab=(3-x)(x-2)=-10$，
$a+b=(3-x)+(x-2)=1$，
所以$(3-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1^2-2×(-10)=1+20=21$。
(2)设$2025-x=a$，$2026-x=b$，
则$a^2+b^2=2027$，
$a-b=(2025-x)-(2026-x)=-1$，
因为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
所以$(-1)^2=2027-2ab$，
即$1=2027-2ab$，
解得$2ab=2027-1=2026$，
所以$ab=1013$，即$(2025-x)(2026-x)=1013$。
(3)因为正方形ABCD边长为$x$，$AE=10$，$CG=20$，
所以$ED=x-AE=x-10$，$DG=x-CG=x-20$，
因为长方形EFGD的面积为200，
所以$(x-10)(x-20)=200$。
由题意可知四边形MEDQ、NGDH都是正方形，所以四边形MFNP是正方形，边长为$(x-10)+(x-20)$。
设$m=x-10$，$n=x-20$，
则$mn=200$，$m-n=(x-10)-(x-20)=10$，
所以正方形MFNP的面积为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=10^2+4×200=100+800=900$。
【答案】
(1)21；(2)1013；(3)900
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题将换元法与完全平方公式的变形结合考查，前两问是材料的直接类比应用，第三问需要结合几何图形的边长关系将几何问题转化为代数问题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的几种常见变形，灵活运用换元法简化计算。
【难度系数】
0.6
本题可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，各小问思路如下：
(1)仿照材料给出的方法，设$3-x=a$，$x-2=b$，先求出$a+b$的值，再结合已知的$ab$，利用$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算即可；
(2)设$2025-x=a$，$2026-x=b$，先求出$a-b$的值，再结合已知的$a^2+b^2$，利用完全平方公式的变形推导$ab$的值即可；
(3)先根据图形边长关系表示出$ED=x-10$，$DG=x-20$，由长方形EFGD面积得$(x-10)(x-20)=200$。观察可知四边形MFNP是正方形，边长为$(x-10)+(x-20)$，设$m=x-10$，$n=x-20$，先求出$m-n$和$mn$的值，再利用完全平方公式的变形计算正方形面积即可。
【解析】
(1)设$3-x=a$，$x-2=b$，
则$ab=(3-x)(x-2)=-10$，
$a+b=(3-x)+(x-2)=1$，
所以$(3-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1^2-2×(-10)=1+20=21$。
(2)设$2025-x=a$，$2026-x=b$，
则$a^2+b^2=2027$，
$a-b=(2025-x)-(2026-x)=-1$，
因为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
所以$(-1)^2=2027-2ab$，
即$1=2027-2ab$，
解得$2ab=2027-1=2026$，
所以$ab=1013$，即$(2025-x)(2026-x)=1013$。
(3)因为正方形ABCD边长为$x$，$AE=10$，$CG=20$，
所以$ED=x-AE=x-10$，$DG=x-CG=x-20$，
因为长方形EFGD的面积为200，
所以$(x-10)(x-20)=200$。
由题意可知四边形MEDQ、NGDH都是正方形，所以四边形MFNP是正方形，边长为$(x-10)+(x-20)$。
设$m=x-10$，$n=x-20$，
则$mn=200$，$m-n=(x-10)-(x-20)=10$，
所以正方形MFNP的面积为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=10^2+4×200=100+800=900$。
【答案】
(1)21；(2)1013；(3)900
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题将换元法与完全平方公式的变形结合考查，前两问是材料的直接类比应用，第三问需要结合几何图形的边长关系将几何问题转化为代数问题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的几种常见变形，灵活运用换元法简化计算。
【难度系数】
0.6
