7. 下列运算结果正确的是 （）

A.$ m^6 + m^3 = m^2 $
B.$ -m(n - m) = mn - m^2 $
C.$ -(3m)^2 = -9m^2 $
D.$ (m - 1)^2 = m^2 - 2m - 1 $

7. C

【分析】
这道题考查整式的各类运算规则，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的运算法则判断运算是否正确，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$m^6$和$m^3$不是同类项，不能直接合并相加，且即使是除法运算$m^6÷ m^3=m^3$，也不等于$m^2$，因此A错误。
B选项：根据单项式乘多项式的法则，$-m(n-m)=-m· n + (-m)·(-m)=-mn + m^2$，和选项中的$mn - m^2$不符，因此B错误。
C选项：根据积的乘方法则，$(3m)^2=3^2· m^2=9m^2$，因此$-(3m)^2=-9m^2$，运算正确，因此C正确。
D选项：根据完全平方公式，$(m-1)^2=m^2-2· m·1 +1^2=m^2-2m+1$，和选项中的$m^2-2m-1$不符，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
整式运算、积的乘方、完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查整式相关运算的核心规则，需要熟练掌握去括号符号变化、幂的运算、乘法公式的应用，避免因公式记错、符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8

8. 下列各式中，运算正确的是 （）

A.$(-3a^3)^3=-9a^9$
B.$2a^2 · a^3=2a^5$
C.$(3a+b)^2=9a^2+b^2$
D.$(2a+b)(-2a+b)=4a^2 - b^2$

8. B

【分析】
本题考查整式的各类运算法则，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算规则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比判断对错，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据积的乘方法则，$(-3a^3)^3=(-3)^3 · (a^3)^3=-27a^9≠ -9a^9$，运算错误。
选项B：根据单项式乘单项式、同底数幂相乘法则，$2a^2 · a^3=2×(a^{2+3})=2a^5$，运算正确。
选项C：根据完全平方公式，$(3a+b)^2=(3a)^2+2·3a· b + b^2=9a^2+6ab+b^2≠9a^2+b^2$，漏掉交叉项，运算错误。
选项D：根据平方差公式，$(2a+b)(-2a+b)=(b+2a)(b-2a)=b^2-(2a)^2=b^2-4a^2≠4a^2 - b^2$，符号错误，运算错误。
综上只有选项B运算正确。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算；单项式乘法；乘法公式
【点评】
本题是整式运算板块的基础常考题，核心是对各类运算法则、公式的熟练掌握，做题时要注意避免系数计算错误、漏写交叉项、符号出错等常见问题。
【难度系数】
0.8

9. 计算$(3.75× 10^{4})× (2× 10^{5})^{2}$ 的结果可以用科学记数法表示为 （）

A.$7.5× 10^{9}$
B.$7.5× 10^{14}$
C.$15× 10^{14}$
D.$1.5× 10^{15}$

9. D

【分析】
解题时先遵循有理数运算顺序，先计算乘方运算，再计算乘法运算。计算乘方时利用积的乘方法则分别对系数和10的幂次乘方；计算乘法时分别计算系数的乘积和同底数幂的乘积，最后将结果调整为标准科学记数法（即$a×10^n$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数），再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：先计算乘方部分：
$(2×10^5)^2=2^2×(10^5)^2=4×10^{10}$
第二步：计算乘法运算，将系数和同底数幂分别相乘：
原式$=3.75×10^4×4×10^{10}$
$=(3.75×4)×(10^4×10^{10})$
$=15×10^{14}$
第三步：将结果化为标准科学记数法：
$15×10^{14}=1.5×10×10^{14}=1.5×10^{15}$
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的相关运算，解题时要注意运算顺序，同时最终结果必须化为标准的科学记数法形式，否则容易误选非标准形式的干扰项C。
【难度系数】
0.7

10. 已知$a^2 + b^2 + c^2 = 2a - 4b + 6c - 14$，则$(ab)^c$的值是（）

A.4
B.-4
C.8
D.-8

10. D

【分析】
要计算$(ab)^c$的值，需先求出a、b、c的具体数值。观察给出的等式，等式左右两边均含有a、b、c的项，可先将所有项移到等式左侧，再通过配方法将左侧式子转化为几个完全平方式相加的形式，结合平方的非负性，即可求出a、b、c的值，最后代入计算即可。
【解析】
先将等式右边的项全部移到左边，得：
$a^2 + b^2 + c^2 - 2a + 4b - 6c + 14 = 0$
将常数项14拆分为$1+4+9$，分别对应a、b、c的完全平方所需常数项，分组配方：
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4) + (c^2 - 6c + 9) = 0$
根据完全平方公式，可改写为：
$(a-1)^2 + (b+2)^2 + (c-3)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-1)^2≥0$，$(b+2)^2≥0$，$(c-3)^2≥0$
∴ 当三个非负数的和为0时，每个非负数均为0，即：
$a-1=0$，解得$a=1$
$b+2=0$，解得$b=-2$
$c-3=0$，解得$c=3$
将a、b、c的值代入$(ab)^c$计算：
$(ab)^c = [1×(-2)]^3 = (-2)^3 = -8$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式运算中的常考题型，解题核心是掌握配方法，将原式转化为完全平方式的和为0的形式，结合非负数的性质求出未知参数，再代入计算即可，熟练掌握完全平方公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

11. 若$2^a = 5^b = 10$，则$a + b$ $ab$(填“＞”“＜”或“=”)。

11. =

【分析】
要比较a+b和ab的大小，可利用幂的运算性质对已知条件变形，构造同底数幂推导二者关系：先分别对$2^a=10$、$5^b=10$两边同时取乘方运算，得到含ab的幂式，再将两个幂式相乘，结合积的乘方、同底数幂的乘法法则，得到底数相同的两个幂，根据幂相等时指数相等即可得出结论。
【解析】
解：已知$2^a = 10$，将等式两边同时取b次方，根据幂的乘方运算法则得：
$(2^a)^b = 10^b$，即$2^{ab} = 10^b$ ①；
已知$5^b = 10$，将等式两边同时取a次方，根据幂的乘方运算法则得：
$(5^b)^a = 10^a$，即$5^{ab} = 10^a$ ②；
将①②左右两边分别相乘，可得：
$2^{ab} × 5^{ab} = 10^a × 10^b$
左边根据积的乘方逆运算得：$(2 × 5)^{ab} = 10^{ab}$
右边根据同底数幂的乘法法则得：$10^{a+b}$
因此$10^{ab} = 10^{a+b}$，由于底数10大于1，幂相等则对应指数相等，故$ab = a+b$，即$a+b = ab$。
【答案】
=
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题时无需计算a、b的具体值，通过对已知等式合理变形构造同底数幂即可推导关系，是考查运算技巧的典型题型。
【难度系数】
0.65

12. 计算：$[(-2)^2]^3=$；$[(-n)^3]^3=$；$[-(-x)^2]^3=$.

12. 64；$-n^9$；$-x^6$

【分析】
遇到多层乘方的运算题，首先回忆两个核心知识点：①幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$均为正整数），即底数不变，指数相乘；②负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。解题时可以按照从内到外的顺序依次计算乘方，也可先应用幂的乘方法则计算总指数，再判断符号得到结果，过程中重点关注符号的正误。
【解析】
1. 计算$[(-2)^2]^3$：
先算内层乘方：$(-2)^2=4$，再算外层乘方：$4^3=4×4×4=64$。
2. 计算$[(-n)^3]^3$：
应用幂的乘方法则得：$[(-n)^3]^3=(-n)^{3×3}=(-n)^9$，9是奇数，故$(-n)^9=-n^9$。
3. 计算$[-(-x)^2]^3$：
先算最内层乘方：$(-x)^2=x^2$，原式化简为$(-x^2)^3$；
再应用积的乘方和幂的乘方法则：$(-x^2)^3=(-1)^3×(x^2)^3=-1× x^{2×3}=-x^6$。
【答案】
$64$；$-n^9$；$-x^6$
【知识点】
幂的乘方运算；负数乘方的符号判定；积的乘方运算
【点评】
本题主要考察幂的相关运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，优先计算内层的乘方，同时要格外注意负数乘方的符号判断，避免因符号疏忽出错。
【难度系数】
0.7

13. 已知$x^2 - x - 4 = 0$，代数式$(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 3)$的值为。

13. 9

【分析】
本题要求代数式的值，若直接求解方程中x的值再代入计算会比较繁琐，因此可以先利用整式的运算法则将待求代数式展开、合并同类项化简，再观察化简后的式子与已知方程的联系，通过整体代入的方法计算结果，无需单独求出x的值，简化计算过程。
【解析】
解：先化简代数式$(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 3)$：
1. 利用完全平方公式展开第一项：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
2. 利用多项式乘多项式法则展开第二项：$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
3. 合并两个展开式的同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - 4x + 4)+(x^2 + 2x - 3)\\&=2x^2 -2x +1\\&=2(x^2 -x) +1\end{aligned}$
由已知$x^2 - x - 4 = 0$，可得$x^2 -x = 4$，将其代入化简后的式子：
$原式=2×4 +1 = 9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常见题型，核心是熟练掌握整式运算的相关法则，灵活运用整体代入思想，能有效降低计算量，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.7

14. 已知$a - b = b - c = \frac{3}{5}$，$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，则$ab + bc + ca$的值等于。

14. $-\frac{2}{25}$

【分析】
解题时我们可以按照以下思路思考：1. 先根据已知的$a-b$和$b-c$的值，求出$a-c$的值；2. 回忆完全平方公式，待求的$ab+bc+ca$和已知的$a^2+b^2+c^2$都可以和完全平方公式建立联系，我们可以将$(a-b)^2$、$(b-c)^2$、$(a-c)^2$三个完全平方展开后相加，得到包含$a^2+b^2+c^2$和$ab+bc+ca$的等式；3. 把已知数值代入等式，就能求出$ab+bc+ca$的值。
【解析】
解：
∵ $a - b = \frac{3}{5}$，$b - c = \frac{3}{5}$
∴ $a - c = (a - b) + (b - c) = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$
根据完全平方公式可得：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ①
$(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$ ②
$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$ ③
将①+②+③，得：
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2(ab + bc + ca)$
把$a - b = \frac{3}{5}$，$b - c = \frac{3}{5}$，$a - c = \frac{6}{5}$，$a^2 + b^2 + c^2 =1$代入上式：
左边=$(\frac{3}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{9}{25} + \frac{36}{25} = \frac{54}{25}$
右边=$2×1 - 2(ab + bc + ca) = 2 - 2(ab + bc + ca)$
∴ $\frac{54}{25} = 2 - 2(ab + bc + ca)$
移项得：$2(ab + bc + ca) = 2 - \frac{54}{25} = \frac{50}{25} - \frac{54}{25} = -\frac{4}{25}$
两边同时除以2，得：$ab + bc + ca = -\frac{2}{25}$
【答案】
$-\frac{2}{25}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式恒等变形
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，通过构造三个差的完全平方并求和，搭建已知的平方和与待求的乘积和之间的桥梁，解题的关键是先推导出$a-c$的值，再利用公式变形计算，是整式运算模块的典型题型。
【难度系数】
0.65

15. 已知$m^2 + 3m - 3 = 0$，则$m^3 + 2m^2 - 6m - 1009 =$ 。

15. $-1012$

【分析】
首先观察已知条件是关于m的二次等式，所求代数式是三次多项式，直接求解m的值再代入计算过程繁琐，因此采用降次法结合整体代入思想求解。第一步先将已知等式变形，得到$m^2=3-3m$以及$m^2+3m=3$两个可用的关系式；第二步将所求代数式中的三次项$m^3$拆分为$m· m^2$，代入$m^2$的表达式将三次项降为二次；第三步合并同类项后，将含$m^2$和$m$的项整理成整体$m^2+3m$的形式，整体代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $m^2 + 3m - 3 = 0$
∴ $m^2 = 3 - 3m$，且 $m^2 + 3m = 3$
对所求代数式变形：
$m^3 + 2m^2 - 6m - 1009$
$= m · m^2 + 2m^2 - 6m - 1009$
将$m^2 = 3 - 3m$代入上式：
$= m(3 - 3m) + 2m^2 - 6m - 1009$
$= 3m - 3m^2 + 2m^2 - 6m - 1009$
合并同类项得：
$= -m^2 - 3m - 1009$
$= -(m^2 + 3m) - 1009$
将$m^2 + 3m = 3$代入得：
$= -3 - 1009 = -1012$
【答案】
$-1012$
【知识点】
代数式求值；整体代入法；等式变形
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，无需计算未知数的具体值，通过降次处理高次项、整体代入已知关系式的值即可快速求解，能有效简化计算过程，考查学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6

三、计算题
16. $-2t[t^2 - 2t(t - 2)] + t^2$
17. $3a^2 · (-3ab)^2 - a^2(a^2b^2 - 2a)$
18. $-x^2 · (-x)^3 · (-x)^4$
19. $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$

16. $3t^3-8t^2$
17. $26a^4b^2+2a^3$
18. $x^9$
19. $m^3-n^3$

【分析】
这4道题均属于整式运算类题目，解题遵循整式运算的通用顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算，运算过程中要注意符号规则，最后合并同类项得到最简结果。
①第16题：先计算小括号内的单项式乘多项式，再化简中括号内的式子，接着计算单项式乘中括号的结果，最后合并同类项即可；
②第17题：先计算积的乘方，再依次计算单项式乘法，去括号时注意括号前是负号要变号，最后合并同类项；
③第18题：先根据负数的奇偶次幂的符号规律化简各幂项，统一底数后按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算即可；
④第19题：按照多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并抵消同类项得到结果。
【解析】
16. 解：
$\begin{aligned}原式&=-2t[t^2 - (2t^2 - 4t)] + t^2 \\&=-2t(t^2 - 2t^2 + 4t) + t^2 \\&=-2t(-t^2 + 4t) + t^2 \\&=2t^3 - 8t^2 + t^2 \\&=3t^3 - 8t^2\end{aligned}$
17. 解：
$\begin{aligned}原式&=3a^2 · 9a^2b^2 - (a^4b^2 - 2a^3) \\&=27a^4b^2 - a^4b^2 + 2a^3 \\&=26a^4b^2 + 2a^3\end{aligned}$
18. 解：
$\begin{aligned}原式&=-x^2 · (-x^3) · x^4 \\&=x^{2+3+4} \\&=x^9\end{aligned}$
19. 解：
$\begin{aligned}原式&=m·(m^2 + mn + n^2) - n·(m^2 + mn + n^2) \\&=m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3 \\&=m^3 - n^3\end{aligned}$
【答案】
16. $3t^3-8t^2$
17. $26a^4b^2+2a^3$
18. $x^9$
19. $m^3-n^3$
【知识点】
整式的混合运算、同底数幂的乘法、多项式乘多项式
【点评】
这组题目侧重考查整式运算的基础法则，运算时要严格遵循运算顺序，特别注意去括号时的符号变化以及幂运算的指数规则，熟练掌握基础运算法则、细心计算即可准确求解。
【难度系数】
0.8