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【典例1】如图，已知点B，C在线段AD上.若AB：BD=2：5，AC：CD=4：1，且BC=18，求AD的长度.
[思路导引]设AD=x，表示出AB，AC，根据BC=18列方程求解即可.
[答案]解：设AD=x.因为AB：BD=2：5，AC：CD=4：1，
所以$AB=\frac{2}{5+2}AD=\frac{2}{7}x$，$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$.
因为$AC-AB=BC$，$BC=18$，所以$\frac{4}{5}x-\frac{2}{7}x=18$，解得$x=35$，所以$AD=35$.
[思路导引]设AD=x，表示出AB，AC，根据BC=18列方程求解即可.
[答案]解：设AD=x.因为AB：BD=2：5，AC：CD=4：1，
所以$AB=\frac{2}{5+2}AD=\frac{2}{7}x$，$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$.
因为$AC-AB=BC$，$BC=18$，所以$\frac{4}{5}x-\frac{2}{7}x=18$，解得$x=35$，所以$AD=35$.
答案
解：设$AD=x$。
因为$AB:BD=2:5$，$AC:CD=4:1$，
所以$AB=\frac{2}{2+5}AD=\frac{2}{7}x$，$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$。
因为$AC-AB=BC$，$BC=18$，
所以$\frac{4}{5}x - \frac{2}{7}x = 18$，
解得$x=35$。
答：$AD$的长度为35。
因为$AB:BD=2:5$，$AC:CD=4:1$，
所以$AB=\frac{2}{2+5}AD=\frac{2}{7}x$，$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$。
因为$AC-AB=BC$，$BC=18$，
所以$\frac{4}{5}x - \frac{2}{7}x = 18$，
解得$x=35$。
答：$AD$的长度为35。
解析
【分析】
本题是已知线段比例和部分线段长度求总长度的问题。解题时首先可将总线段AD的长度设为未知数，再根据给出的两组线段比例关系，用含未知数的式子分别表示出AB和AC的长度；结合图形可知BC的长度等于AC减去AB，根据BC=18的已知条件即可列方程，解方程就能求出AD的长度。
【解析】
解：设AD的长度为$x$。
因为$AB:BD=2:5$，可得AD总共有$2+5=7$份，AB占其中2份，所以$AB=\frac{2}{2+5}AD=\frac{2}{7}x$；
因为$AC:CD=4:1$，可得AD总共有$4+1=5$份，AC占其中4份，所以$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$。
由线段和差关系可知$AC-AB=BC$，已知$BC=18$，代入得方程：
$\frac{4}{5}x - \frac{2}{7}x = 18$
通分计算得：$\frac{28}{35}x-\frac{10}{35}x=18$，即$\frac{18}{35}x=18$
解得$x=35$
【答案】
AD的长度为35
【知识点】
线段和差计算、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是线段比例计算的典型题型，核心是通过设总长度为未知数，结合比例用未知数表示各段线段长度，再利用线段和差的等量关系列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握该方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是已知线段比例和部分线段长度求总长度的问题。解题时首先可将总线段AD的长度设为未知数，再根据给出的两组线段比例关系，用含未知数的式子分别表示出AB和AC的长度；结合图形可知BC的长度等于AC减去AB，根据BC=18的已知条件即可列方程，解方程就能求出AD的长度。
【解析】
解：设AD的长度为$x$。
因为$AB:BD=2:5$，可得AD总共有$2+5=7$份，AB占其中2份，所以$AB=\frac{2}{2+5}AD=\frac{2}{7}x$；
因为$AC:CD=4:1$，可得AD总共有$4+1=5$份，AC占其中4份，所以$AC=\frac{4}{4+1}AD=\frac{4}{5}x$。
由线段和差关系可知$AC-AB=BC$，已知$BC=18$，代入得方程：
$\frac{4}{5}x - \frac{2}{7}x = 18$
通分计算得：$\frac{28}{35}x-\frac{10}{35}x=18$，即$\frac{18}{35}x=18$
解得$x=35$
【答案】
AD的长度为35
【知识点】
线段和差计算、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是线段比例计算的典型题型，核心是通过设总长度为未知数，结合比例用未知数表示各段线段长度，再利用线段和差的等量关系列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握该方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7
【变式1】如图，点M，C在线段AB上，M是线段AB的中点，AC=2BC。若MC=2，则AB的长为
12
。答案
设BC=x，则AC=2BC=2x，所以AB=AC+BC=2x+x=3x，MB=MC+BC=2+x。
因为M是AB的中点，所以AM=MB=$\frac{1}{2}$AB，
所以$2+x=\frac{1}{2}×3x$，解得$x=4$，所以$AB=3x=12$。
因为M是AB的中点，所以AM=MB=$\frac{1}{2}$AB，
所以$2+x=\frac{1}{2}×3x$，解得$x=4$，所以$AB=3x=12$。
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的线段数量关系：已知AC是BC的2倍，还有M是AB的中点、MC=2的条件。我们可以先设较短的线段BC的长度为x，用含x的式子表示出其他线段的长度，再根据中点的性质找到相等的线段，建立方程求解x，最后就能算出AB的总长。
【解析】
解：设BC的长为$x$，则$AC=2BC=2x$。
线段AB的总长为：$AB = AC + BC = 2x + x = 3x$。
观察图形可得：$MB = MC + BC = 2 + x$。
因为M是AB的中点，所以MB等于AB的一半，可列方程：
$2 + x = \frac{1}{2} × 3x$
解方程得：
$2 + x = 1.5x$
$0.5x = 2$
$x = 4$
则$AB = 3x = 3 × 4 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
线段和差运算，线段中点定义，方程法求线段长
【点评】
本题是线段长度计算的典型题型，核心是结合线段的倍数关系和中点性质找到等量关系，用设未知数列方程的方法求解，这种方法是解决线段计算类问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题目给出的线段数量关系：已知AC是BC的2倍，还有M是AB的中点、MC=2的条件。我们可以先设较短的线段BC的长度为x，用含x的式子表示出其他线段的长度，再根据中点的性质找到相等的线段，建立方程求解x，最后就能算出AB的总长。
【解析】
解：设BC的长为$x$，则$AC=2BC=2x$。
线段AB的总长为：$AB = AC + BC = 2x + x = 3x$。
观察图形可得：$MB = MC + BC = 2 + x$。
因为M是AB的中点，所以MB等于AB的一半，可列方程：
$2 + x = \frac{1}{2} × 3x$
解方程得：
$2 + x = 1.5x$
$0.5x = 2$
$x = 4$
则$AB = 3x = 3 × 4 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
线段和差运算，线段中点定义，方程法求线段长
【点评】
本题是线段长度计算的典型题型，核心是结合线段的倍数关系和中点性质找到等量关系，用设未知数列方程的方法求解，这种方法是解决线段计算类问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
【典例2】若$∠α$和$∠β$互为余角，$∠α$和$∠\gamma$互为补角，$∠β$与$∠\gamma$的和等于周角的$\frac{1}{3}$，则$∠α$，$∠β$，$∠\gamma$的度数分别为 （）
A.$75°,15°,105°$
B.$60°,30°,120°$
C.$50°,40°,130°$
D.$70°,20°,110°$
[思路导引] 分别用$∠α$表示出$∠β$和$∠\gamma$，代入$∠β+∠\gamma=120°$，得到关于$∠α$的一元一次方程，解方程即可求出$∠α$的度数，进而求出$∠β$，$∠\gamma$的度数.
[解析] 根据题意，得$∠β=90°-∠α$，$∠\gamma=180°-∠α$，且$∠β+∠\gamma=\frac{1}{3}×360°=120°$，所以$90°-∠α+180°-∠α=120°$，解得$∠α=75°$，所以$∠β=15°$，$∠\gamma=105°$.
[答案] A
A.$75°,15°,105°$
B.$60°,30°,120°$
C.$50°,40°,130°$
D.$70°,20°,110°$
[思路导引] 分别用$∠α$表示出$∠β$和$∠\gamma$，代入$∠β+∠\gamma=120°$，得到关于$∠α$的一元一次方程，解方程即可求出$∠α$的度数，进而求出$∠β$，$∠\gamma$的度数.
[解析] 根据题意，得$∠β=90°-∠α$，$∠\gamma=180°-∠α$，且$∠β+∠\gamma=\frac{1}{3}×360°=120°$，所以$90°-∠α+180°-∠α=120°$，解得$∠α=75°$，所以$∠β=15°$，$∠\gamma=105°$.
[答案] A
答案
A
解析
【分析】
首先回忆相关角的定义：互为余角的两个角和为90°，互为补角的两个角和为180°，周角的度数是360°。解题时可以先把∠β、∠γ都用含∠α的式子表示，再根据“∠β与∠γ的和等于周角的$\frac{1}{3}$”这一条件列出关于∠α的等式，计算出∠α的度数后，再依次求出∠β和∠γ的度数即可；也可以将选项逐一代入三个条件验证，选出符合所有条件的选项。
【解析】
根据角的定义可得：
1. 因为∠α和∠β互为余角，所以$∠α+∠β=90°$，即$∠β=90°-∠α$；
2. 因为∠α和∠γ互为补角，所以$∠α+∠\gamma=180°$，即$∠\gamma=180°-∠α$；
3. 周角为$360°$，所以$∠β+∠\gamma=360°×\frac{1}{3}=120°$。
把$∠β=90°-∠α$、$∠\gamma=180°-∠α$代入$∠β+∠\gamma=120°$，可得：
$90°-∠α + 180°-∠α = 120°$
合并计算得：$270° - 2∠α = 120°$
移项得：$2∠α = 270° - 120° = 150°$
解得：$∠α=75°$
则$∠β=90°-75°=15°$，$∠\gamma=180°-75°=105°$。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义、补角的定义、角的运算
【点评】
本题属于角的运算基础题，核心是熟练掌握余角、补角、周角的概念，解题时可以通过方程思想将多个未知角转化为单个未知角求解，也可以用代入验证法快速得出答案，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
首先回忆相关角的定义：互为余角的两个角和为90°，互为补角的两个角和为180°，周角的度数是360°。解题时可以先把∠β、∠γ都用含∠α的式子表示，再根据“∠β与∠γ的和等于周角的$\frac{1}{3}$”这一条件列出关于∠α的等式，计算出∠α的度数后，再依次求出∠β和∠γ的度数即可；也可以将选项逐一代入三个条件验证，选出符合所有条件的选项。
【解析】
根据角的定义可得：
1. 因为∠α和∠β互为余角，所以$∠α+∠β=90°$，即$∠β=90°-∠α$；
2. 因为∠α和∠γ互为补角，所以$∠α+∠\gamma=180°$，即$∠\gamma=180°-∠α$；
3. 周角为$360°$，所以$∠β+∠\gamma=360°×\frac{1}{3}=120°$。
把$∠β=90°-∠α$、$∠\gamma=180°-∠α$代入$∠β+∠\gamma=120°$，可得：
$90°-∠α + 180°-∠α = 120°$
合并计算得：$270° - 2∠α = 120°$
移项得：$2∠α = 270° - 120° = 150°$
解得：$∠α=75°$
则$∠β=90°-75°=15°$，$∠\gamma=180°-75°=105°$。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义、补角的定义、角的运算
【点评】
本题属于角的运算基础题，核心是熟练掌握余角、补角、周角的概念，解题时可以通过方程思想将多个未知角转化为单个未知角求解，也可以用代入验证法快速得出答案，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
