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1. 两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为$x$，则可列方程为（
A.$x(x+2)=783$
B.$(2x+1)(2x-1)=783$
C.$x(x+1)=783$
D.$x(x-2)=783$
A
）A.$x(x+2)=783$
B.$(2x+1)(2x-1)=783$
C.$x(x+1)=783$
D.$x(x-2)=783$
答案
A
解析
【分析】
首先我们梳理已知条件：题目指定设较小的奇数为x，需要列出符合题意的方程。第一步要明确相邻奇数的特征：任意两个相邻的奇数差值为2，比如3和5、7和9，后一个奇数都比前一个大2。所以较小的奇数是x时，和它相邻的更大的奇数就可以表示为x+2，再结合题目给出的“两个数乘积为783”的条件，直接将两个表示奇数的代数式相乘等于783，就能得到对应方程，和选项比对即可选出正确答案。
【解析】
解：
1. 推导两个相邻奇数的表达式：相邻奇数的差值恒为2，已知较小奇数为x，因此较大的相邻奇数可表示为$x+2$；
2. 根据“两个相邻奇数的乘积为783”的等量关系，直接列出方程：$x(x+2)=783$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；奇数的性质
【点评】
本题属于基础列方程题型，易错点是混淆相邻整数、相邻奇数的差值，误选差值为1的C选项，解题时要牢记：相邻整数差1，相邻奇数、相邻偶数的差值均为2，根据设的是较小数还是较大数合理表示另一个数即可。
【难度系数】
0.9
首先我们梳理已知条件：题目指定设较小的奇数为x，需要列出符合题意的方程。第一步要明确相邻奇数的特征：任意两个相邻的奇数差值为2，比如3和5、7和9，后一个奇数都比前一个大2。所以较小的奇数是x时，和它相邻的更大的奇数就可以表示为x+2，再结合题目给出的“两个数乘积为783”的条件，直接将两个表示奇数的代数式相乘等于783，就能得到对应方程，和选项比对即可选出正确答案。
【解析】
解：
1. 推导两个相邻奇数的表达式：相邻奇数的差值恒为2，已知较小奇数为x，因此较大的相邻奇数可表示为$x+2$；
2. 根据“两个相邻奇数的乘积为783”的等量关系，直接列出方程：$x(x+2)=783$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；奇数的性质
【点评】
本题属于基础列方程题型，易错点是混淆相邻整数、相邻奇数的差值，误选差值为1的C选项，解题时要牢记：相邻整数差1，相邻奇数、相邻偶数的差值均为2，根据设的是较小数还是较大数合理表示另一个数即可。
【难度系数】
0.9
2. 传统文化 小明同学改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿同. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是$x$，则可列方程为
$10x+(x+3)=(x+3)^2$
.答案
$10x+(x+3)=(x+3)^2$
解析
【分析】
我们可以顺着题目给出的条件逐步推导：首先题目已经设周瑜去世年龄的十位数字是x，第一步先根据“十位恰小个位三”的描述，也就是十位数字比个位数字小3，直接用x表示出个位数字为x+3。接下来要明确两位数的正确表示规则：两位数的实际数值是十位数字乘10再加个位数字，这样就能用含x的代数式写出周瑜年龄的表达式。最后找到核心等量关系“个位平方与寿同”，也就是个位数字的平方恰好等于周瑜的年龄，把前面得到的年龄代数式和个位数字平方的代数式用等号连接，就能列出对应的方程。
【解析】
解：已知周瑜去世时年龄的十位数字是$ x $：
1. 由条件“十位恰小个位三”，可得个位数字为$ x+3 $；
2. 两位数的实际数值 = 十位数字×10 + 个位数字，因此周瑜的年龄可表示为$ 10x + (x+3) $；
3. 由条件“个位平方与寿同”，可知年龄等于个位数字的平方，即年龄也可以表示为$ (x+3)^2 $；
联立等量关系即可列出方程：$ 10x+(x+3)=(x+3)^2 $。
【答案】
$10x+(x+3)=(x+3)^2$
【知识点】
1. 两位数的代数表示
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题融入传统文化改编诗词的趣味情境，考查数字类方程应用题的列写逻辑，难度较低。解题的核心是理清不同数位数字的数量关系，正确用未知数表示出两位数的实际数值，要注意避免直接将十位、个位数字相加当作两位数的常见错误。
【难度系数】
0.8
我们可以顺着题目给出的条件逐步推导：首先题目已经设周瑜去世年龄的十位数字是x，第一步先根据“十位恰小个位三”的描述，也就是十位数字比个位数字小3，直接用x表示出个位数字为x+3。接下来要明确两位数的正确表示规则：两位数的实际数值是十位数字乘10再加个位数字，这样就能用含x的代数式写出周瑜年龄的表达式。最后找到核心等量关系“个位平方与寿同”，也就是个位数字的平方恰好等于周瑜的年龄，把前面得到的年龄代数式和个位数字平方的代数式用等号连接，就能列出对应的方程。
【解析】
解：已知周瑜去世时年龄的十位数字是$ x $：
1. 由条件“十位恰小个位三”，可得个位数字为$ x+3 $；
2. 两位数的实际数值 = 十位数字×10 + 个位数字，因此周瑜的年龄可表示为$ 10x + (x+3) $；
3. 由条件“个位平方与寿同”，可知年龄等于个位数字的平方，即年龄也可以表示为$ (x+3)^2 $；
联立等量关系即可列出方程：$ 10x+(x+3)=(x+3)^2 $。
【答案】
$10x+(x+3)=(x+3)^2$
【知识点】
1. 两位数的代数表示
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题融入传统文化改编诗词的趣味情境，考查数字类方程应用题的列写逻辑，难度较低。解题的核心是理清不同数位数字的数量关系，正确用未知数表示出两位数的实际数值，要注意避免直接将十位、个位数字相加当作两位数的常见错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图,矩形绿地的长为8 m,宽为6 m,将此绿地的长、宽各增加相同的长度后,绿地的面积增加了$32\ \mathrm{m}^2$,求绿地的长、宽增加的长度.
答案
解:设绿地的长、宽增加的长度均为$x\ \mathrm{m}$,
根据题意,得$(8+x)(6+x)=8×6+32$,
整理,得$x^2+14x-32=0$,
解得$x_1=2$,$x_2=-16$(不符合题意,舍去).
答:绿地的长、宽增加的长度均为2 m.
根据题意,得$(8+x)(6+x)=8×6+32$,
整理,得$x^2+14x-32=0$,
解得$x_1=2$,$x_2=-16$(不符合题意,舍去).
答:绿地的长、宽增加的长度均为2 m.
解析
【分析】
解题思路如下：①首先明确这是一元二次方程的实际应用问题，已知原矩形绿地的长和宽，长宽增加相同长度后面积增量已知，我们可以先设增加的长度为未知数x；②分别表示出长、宽增加后新矩形的长为(8+x)m、宽为(6+x)m；③根据“新矩形面积 = 原矩形面积 + 增加的面积32m²”这个等量关系列出方程；④解出一元二次方程的两个根后，结合“长度不能为负数”的实际意义，舍去不符合题意的负根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设绿地的长、宽增加的长度均为$x\ \mathrm{m}$，
原绿地面积为$8×6=48\ \mathrm{m}^2$，新绿地面积为原面积加上新增的32$\mathrm{m}^2$，同时新绿地的长为$(8+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6+x)\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式列方程：
$(8+x)(6+x)=8×6+32$
展开整理得：
$x^2+14x-32=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-16$
由于长度不能为负数，$x=-16$不符合实际意义，因此舍去该根。
【答案】
绿地的长、宽增加的长度均为2 m。
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程求解、实际问题取舍
【点评】
本题是一元二次方程的经典面积类基础应用题，核心是找准边长变化前后的面积等量关系，解题逻辑清晰，易错点是忽略实际意义保留负根，熟练掌握列方程解应用题的常规步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①首先明确这是一元二次方程的实际应用问题，已知原矩形绿地的长和宽，长宽增加相同长度后面积增量已知，我们可以先设增加的长度为未知数x；②分别表示出长、宽增加后新矩形的长为(8+x)m、宽为(6+x)m；③根据“新矩形面积 = 原矩形面积 + 增加的面积32m²”这个等量关系列出方程；④解出一元二次方程的两个根后，结合“长度不能为负数”的实际意义，舍去不符合题意的负根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设绿地的长、宽增加的长度均为$x\ \mathrm{m}$，
原绿地面积为$8×6=48\ \mathrm{m}^2$，新绿地面积为原面积加上新增的32$\mathrm{m}^2$，同时新绿地的长为$(8+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6+x)\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式列方程：
$(8+x)(6+x)=8×6+32$
展开整理得：
$x^2+14x-32=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-16$
由于长度不能为负数，$x=-16$不符合实际意义，因此舍去该根。
【答案】
绿地的长、宽增加的长度均为2 m。
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程求解、实际问题取舍
【点评】
本题是一元二次方程的经典面积类基础应用题，核心是找准边长变化前后的面积等量关系，解题逻辑清晰，易错点是忽略实际意义保留负根，熟练掌握列方程解应用题的常规步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 电动自行车已成为广大市民日常出行的重要工具,根据某品牌电动自行车专卖店1月份至3月份的销售统计,1月份销售150辆,3月份销售216辆.
(1)求该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率；
(2)若该专卖店电动自行车的进价为2300元,售价为2800元,则该专卖店1月份至3月份共盈利多少元？
(1)求该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率；
(2)若该专卖店电动自行车的进价为2300元,售价为2800元,则该专卖店1月份至3月份共盈利多少元？
答案
解:(1)设该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为$x$,根据题意,得
$150(1+x)^2=216$,解得$x_1=-2.2$(不合题意,舍去),$x_2=0.2=20\%$.
答:该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为20%.
(2)2月份的销量是$150×(1+20\%)=180$(辆).
所以该专卖店1月份至3月份共盈利$(2800-2300)×(150+180+216)=500×546=273000$(元).
答:该专卖店1月份至3月份共盈利273000元.
$150(1+x)^2=216$,解得$x_1=-2.2$(不合题意,舍去),$x_2=0.2=20\%$.
答:该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为20%.
(2)2月份的销量是$150×(1+20\%)=180$(辆).
所以该专卖店1月份至3月份共盈利$(2800-2300)×(150+180+216)=500×546=273000$(元).
答:该专卖店1月份至3月份共盈利273000元.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问是典型的连续增长率问题，首先明确已知条件：1月销量为150辆，3月销量为216辆，间隔2个月的增长周期。我们先设月平均增长率为x，根据连续两次增长的通用公式：增长后量=初始量×(1+增长率)^增长次数，这里从1月到3月一共完成2次增长，因此可以列出一元二次方程求解，解出的负根不符合销量正向增长的实际意义，需要舍去，即可得到月平均增长率。第二问计算总盈利，首先要借助第一问求出的月增长率算出2月份的销量，先算出单台电动自行车的利润=售价-进价，再把1、2、3三个月的总销量相加，用单台利润乘总销量就能得到三个月的总盈利。
【解析】
(1) 设该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为$x$，
根据1月销量150辆，两次增长后3月销量为216辆，列方程：
$150(1+x)^2=216$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负，$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去，因此$x=0.2=20\%$。
(2) 计算2月份的销量：
$150×(1+20\%)=180$（辆）
单台电动自行车的利润：$2800-2300=500$（元）
1-3月总销量：$150+180+216=546$（辆）
1-3月总盈利：$500×546=273000$（元）
【答案】
(1) 该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为20%；(2) 该专卖店1月份至3月份共盈利273000元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用题，核心考察连续增长率的模型应用，易错点一是容易搞错从1月到3月的增长次数，误把增长次数当成1次列错方程，易错点二是容易忘记舍去不符合实际意义的负根，第二问容易遗漏2月份的销量直接用1月和3月销量求和，解题时要注意结合实际场景梳理清楚各月份的数量关系。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问是典型的连续增长率问题，首先明确已知条件：1月销量为150辆，3月销量为216辆，间隔2个月的增长周期。我们先设月平均增长率为x，根据连续两次增长的通用公式：增长后量=初始量×(1+增长率)^增长次数，这里从1月到3月一共完成2次增长，因此可以列出一元二次方程求解，解出的负根不符合销量正向增长的实际意义，需要舍去，即可得到月平均增长率。第二问计算总盈利，首先要借助第一问求出的月增长率算出2月份的销量，先算出单台电动自行车的利润=售价-进价，再把1、2、3三个月的总销量相加，用单台利润乘总销量就能得到三个月的总盈利。
【解析】
(1) 设该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为$x$，
根据1月销量150辆，两次增长后3月销量为216辆，列方程：
$150(1+x)^2=216$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负，$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去，因此$x=0.2=20\%$。
(2) 计算2月份的销量：
$150×(1+20\%)=180$（辆）
单台电动自行车的利润：$2800-2300=500$（元）
1-3月总销量：$150+180+216=546$（辆）
1-3月总盈利：$500×546=273000$（元）
【答案】
(1) 该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为20%；(2) 该专卖店1月份至3月份共盈利273000元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用题，核心考察连续增长率的模型应用，易错点一是容易搞错从1月到3月的增长次数，误把增长次数当成1次列错方程，易错点二是容易忘记舍去不符合实际意义的负根，第二问容易遗漏2月份的销量直接用1月和3月销量求和，解题时要注意结合实际场景梳理清楚各月份的数量关系。
【难度系数】
0.8
5. (2025·无锡月考)一幅矩形挂图如图所示,如果要使整个挂图的面积是$5400\ \mathrm{cm^2}$,设外镶金色纸边的宽为$x\ \mathrm{cm}$,那么$x$满足的方程是（
A.$x^2+130x-1400=0$
B.$x^2+65x-350=0$
C.$x^2-130x-1400=0$
D.$x^2-65x-350=0$
B
）A.$x^2+130x-1400=0$
B.$x^2+65x-350=0$
C.$x^2-130x-1400=0$
D.$x^2-65x-350=0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要先确定整个挂图的长和宽：观察图形可知，原矩形图案的长为80cm、宽为50cm，四周的金色纸边宽度均为x cm，因此横向左右各有一段宽度为x的纸边，整个挂图的总长度应为原长加上2x；纵向上下各有一段宽度为x的纸边，整个挂图的总宽度应为原宽加上2x。再根据“矩形面积=长×宽”，已知总面积为5400cm²列出等式，最后将等式整理为标准一元二次方程形式，即可匹配出对应的选项。
【解析】
解：由题意可得：
整个挂图的总长度为：$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$
整个挂图的总宽度为：$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$
根据总面积为$5400\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左边：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
移项合并同类项：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此对应的方程是选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算
一元二次方程化简
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心易错点是容易忽略纸边在图案的两侧，误将挂图的长和宽写为80+x和50+x，导致后续方程系数全部出错，解题时要注意观察图形，确认长和宽方向上纸边的总宽度，最后化简方程时要注意各项系数都要除以公因数，保证方程形式和选项匹配。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先确定整个挂图的长和宽：观察图形可知，原矩形图案的长为80cm、宽为50cm，四周的金色纸边宽度均为x cm，因此横向左右各有一段宽度为x的纸边，整个挂图的总长度应为原长加上2x；纵向上下各有一段宽度为x的纸边，整个挂图的总宽度应为原宽加上2x。再根据“矩形面积=长×宽”，已知总面积为5400cm²列出等式，最后将等式整理为标准一元二次方程形式，即可匹配出对应的选项。
【解析】
解：由题意可得：
整个挂图的总长度为：$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$
整个挂图的总宽度为：$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$
根据总面积为$5400\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左边：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
移项合并同类项：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此对应的方程是选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算
一元二次方程化简
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心易错点是容易忽略纸边在图案的两侧，误将挂图的长和宽写为80+x和50+x，导致后续方程系数全部出错，解题时要注意观察图形，确认长和宽方向上纸边的总宽度，最后化简方程时要注意各项系数都要除以公因数，保证方程形式和选项匹配。
【难度系数】
0.7
