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6.(2025·南京月考)某公司2025年销售一种产品,一月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,三月份的利润比二月份利润增加4.8万元.假设该产品的利润每月的增长率相同,设每月的增长率为$x$,则可列方程为
$20(1+x)^2-20(1+x)=4.8$
.答案
$20(1+x)^2-20(1+x)=4.8$
解析
【分析】
这是典型的增长率类列方程问题，解题思路如下：第一步先明确已知条件：一月份利润为20万元，每月利润增长率为x；第二步根据增长率的计算逻辑，先表示出二月份的利润：在一月份利润的基础上增长x，即一月份利润×(1+x)；第三步再表示出三月份的利润：在二月份利润的基础上再增长x，即二月份利润×(1+x)；第四步找到题目给出的等量关系：三月份利润 - 二月份利润 = 4.8万元，把前面得到的二、三月利润的代数式代入这个等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
解：设每月的增长率为x，
1. 已知一月份利润为20万元，因此二月份的利润为：$20(1+x)$ 万元；
2. 三月份的利润是在二月份利润的基础上同比增长x，因此三月份利润为：$20(1+x) · (1+x) = 20(1+x)^2$ 万元；
3. 根据题意“三月份的利润比二月份利润增加4.8万元”，可得等量关系：三月份利润 - 二月份利润 = 4.8，代入上述代数式即可得到对应方程。
【答案】
$20(1+x)^2-20(1+x)=4.8$
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题
【点评】
本题属于增长率应用的基础题型，核心是掌握逐次增长的量的表示方法，易错点是混淆不同月份的增长基数，不要直接套用“两次增长后总量为目标值”的常规公式，要精准匹配题目给出的两月利润差的等量关系，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
这是典型的增长率类列方程问题，解题思路如下：第一步先明确已知条件：一月份利润为20万元，每月利润增长率为x；第二步根据增长率的计算逻辑，先表示出二月份的利润：在一月份利润的基础上增长x，即一月份利润×(1+x)；第三步再表示出三月份的利润：在二月份利润的基础上再增长x，即二月份利润×(1+x)；第四步找到题目给出的等量关系：三月份利润 - 二月份利润 = 4.8万元，把前面得到的二、三月利润的代数式代入这个等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
解：设每月的增长率为x，
1. 已知一月份利润为20万元，因此二月份的利润为：$20(1+x)$ 万元；
2. 三月份的利润是在二月份利润的基础上同比增长x，因此三月份利润为：$20(1+x) · (1+x) = 20(1+x)^2$ 万元；
3. 根据题意“三月份的利润比二月份利润增加4.8万元”，可得等量关系：三月份利润 - 二月份利润 = 4.8，代入上述代数式即可得到对应方程。
【答案】
$20(1+x)^2-20(1+x)=4.8$
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题
【点评】
本题属于增长率应用的基础题型，核心是掌握逐次增长的量的表示方法，易错点是混淆不同月份的增长基数，不要直接套用“两次增长后总量为目标值”的常规公式，要精准匹配题目给出的两月利润差的等量关系，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
7. 某校为响应全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率相同的条件下,请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率相同的条件下,请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
答案
解:(1)设进馆人次的月平均增长率为$x$,根据题意,得
$128+128(1+x)+128(1+x)^2=608$,
化简,得$4x^2+12x-7=0$,
解得$x_1=0.5=50\%$,$x_2=-3.5$(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)能.理由:$\because$进馆人次的月平均增长率为50%,
$\therefore$第四个月的进馆人次为$128(1+50\%)^3=128×\dfrac{27}{8}=432＜500$,
$\therefore$校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
$128+128(1+x)+128(1+x)^2=608$,
化简,得$4x^2+12x-7=0$,
解得$x_1=0.5=50\%$,$x_2=-3.5$(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)能.理由:$\because$进馆人次的月平均增长率为50%,
$\therefore$第四个月的进馆人次为$128(1+50\%)^3=128×\dfrac{27}{8}=432＜500$,
$\therefore$校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
解析
【分析】
这是典型的平均增长率类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：
1. 第一问求月平均增长率：首先明确“第三个月末累计进馆608人次”是前三个月的进馆人次总和，不是仅第三个月的人次。设月平均增长率为x，已知第一个月进馆128人次，第二个月进馆人次为128(1+x)，第三个月进馆人次为128(1+x)²，将三个月人次相加等于累计总人次608，列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
2. 第二问判断接纳能力：用第一问求出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，即可得出判断结果。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为$x$，根据前三个月累计进馆608人次的条件列方程：
$128+128(1+x)+128(1+x)^2=608$
化简整理得：
$4x^2+12x-7=0$
解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$，由于增长率不能为负数，舍去不符合实际意义的$x_2=-3.5$。
即进馆人次的月平均增长率为50%。
(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为50%，计算第四个月的进馆人次：
$128(1+50\%)^3=128×\dfrac{27}{8}=432$
因为$432＜500$，低于图书馆每月接纳上限，因此校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为50%；(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如上。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率模型，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，易错点是容易误将“第三个月末累计进馆608人次”理解为仅第三个月的进馆人次，导致列方程出错；同时需要注意结合实际场景舍去一元二次方程的负根，重点考察学生对累计增长概念的理解和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的平均增长率类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：
1. 第一问求月平均增长率：首先明确“第三个月末累计进馆608人次”是前三个月的进馆人次总和，不是仅第三个月的人次。设月平均增长率为x，已知第一个月进馆128人次，第二个月进馆人次为128(1+x)，第三个月进馆人次为128(1+x)²，将三个月人次相加等于累计总人次608，列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
2. 第二问判断接纳能力：用第一问求出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，即可得出判断结果。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为$x$，根据前三个月累计进馆608人次的条件列方程：
$128+128(1+x)+128(1+x)^2=608$
化简整理得：
$4x^2+12x-7=0$
解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$，由于增长率不能为负数，舍去不符合实际意义的$x_2=-3.5$。
即进馆人次的月平均增长率为50%。
(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为50%，计算第四个月的进馆人次：
$128(1+50\%)^3=128×\dfrac{27}{8}=432$
因为$432＜500$，低于图书馆每月接纳上限，因此校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为50%；(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如上。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率模型，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，易错点是容易误将“第三个月末累计进馆608人次”理解为仅第三个月的进馆人次，导致列方程出错；同时需要注意结合实际场景舍去一元二次方程的负根，重点考察学生对累计增长概念的理解和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. (2025·新吴区期中)在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米.
(1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
(2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
(1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
(2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
答案
解:(1)设这个增长率为$x$,
根据题意,得$320(1+x)^2=500$,
解得$x_1=-2.25$(不合题意,舍去),$x_2=0.25=25\%$.
答:这个增长率为25%.
(2)设重建后的养鸡场的宽$AB$为$y$米,则$BC$的长为$(40+2×2-3y)$米,
根据题意,得$y(40+2×2-3y)=160$,
整理,得$3y^2-44y+160=0$,解得$y_1=\dfrac{20}{3}$,$y_2=8$.
当$y=\dfrac{20}{3}$时,$BC$的长为$40+2×2-3×\dfrac{20}{3}=24$(米),$24＞22$,不合题意,舍去;
当$y=8$时,$BC$的长为$40+2×2-3y=40+2×2-3×8=20$(米),$20＜22$,符合题意.
$\therefore AB=8$米.
答:重建后的养鸡场的宽$AB$为8米.
根据题意,得$320(1+x)^2=500$,
解得$x_1=-2.25$(不合题意,舍去),$x_2=0.25=25\%$.
答:这个增长率为25%.
(2)设重建后的养鸡场的宽$AB$为$y$米,则$BC$的长为$(40+2×2-3y)$米,
根据题意,得$y(40+2×2-3y)=160$,
整理,得$3y^2-44y+160=0$,解得$y_1=\dfrac{20}{3}$,$y_2=8$.
当$y=\dfrac{20}{3}$时,$BC$的长为$40+2×2-3×\dfrac{20}{3}=24$(米),$24＞22$,不合题意,舍去;
当$y=8$时,$BC$的长为$40+2×2-3y=40+2×2-3×8=20$(米),$20＜22$,符合题意.
$\therefore AB=8$米.
答:重建后的养鸡场的宽$AB$为8米.
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问是增长率问题，先设相同的年增长率为x，已知今年养鸡320只，两年后达到500只，根据增长率通用公式：初始量×(1+增长率)²=两年后最终量，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
2. 第二问是矩形围栏实际问题，先设宽AB为y米，观察图形可知垂直于墙的边共有3段，加上两处各宽2米的门，总板材长度为40米，因此平行于墙的边BC的长度等于总板材长度加上两个门的总宽度，再减去3倍的AB长度；结合已知养鸡场面积为160平方米，根据矩形面积公式列方程，解出两个根后，要注意隐含限制条件：平行于墙的BC边长度不能超过墙的总长度22米，据此检验根的合理性，舍去不符合条件的根，就能得到AB的正确长度。
【解析】
(1) 设这个增长率为$x$，
根据题意列方程：
$320(1+x)^2=500$
整理得$(1+x)^2=\frac{25}{16}$，开方后解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，负增长率不符合实际意义，舍去。
(2) 设重建后的养鸡场的宽$AB$为$y$米，
结合板材总长度和两处门的宽度，可得平行于墙的边$BC$的长度为$(40+2×2-3y)$米，
根据养鸡场面积为160平方米列方程：
$y(40+2×2-3y)=160$
整理得$3y^2-44y+160=0$，解得$y_1=\frac{20}{3}$，$y_2=8$。
对两个根做合理性检验：
当$y=\frac{20}{3}$时，$BC=40+2×2-3×\frac{20}{3}=24$米，$24＞22$，超过墙的长度，不符合题意，舍去；
当$y=8$时，$BC=40+2×2-3×8=20$米，$20＜22$，符合墙长限制，成立。
【答案】
(1) 这个增长率为25%；(2) 重建后的养鸡场的宽AB为8米。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的经典题型，第一问属于基础考点，难度较低；第二问的易错点是对两处门的长度的处理，以及容易忽略平行于墙的边长不能超过墙长的隐含限制，出现多余错误解，解题时要注意结合实际场景对根做合理性校验。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问是增长率问题，先设相同的年增长率为x，已知今年养鸡320只，两年后达到500只，根据增长率通用公式：初始量×(1+增长率)²=两年后最终量，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
2. 第二问是矩形围栏实际问题，先设宽AB为y米，观察图形可知垂直于墙的边共有3段，加上两处各宽2米的门，总板材长度为40米，因此平行于墙的边BC的长度等于总板材长度加上两个门的总宽度，再减去3倍的AB长度；结合已知养鸡场面积为160平方米，根据矩形面积公式列方程，解出两个根后，要注意隐含限制条件：平行于墙的BC边长度不能超过墙的总长度22米，据此检验根的合理性，舍去不符合条件的根，就能得到AB的正确长度。
【解析】
(1) 设这个增长率为$x$，
根据题意列方程：
$320(1+x)^2=500$
整理得$(1+x)^2=\frac{25}{16}$，开方后解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，负增长率不符合实际意义，舍去。
(2) 设重建后的养鸡场的宽$AB$为$y$米，
结合板材总长度和两处门的宽度，可得平行于墙的边$BC$的长度为$(40+2×2-3y)$米，
根据养鸡场面积为160平方米列方程：
$y(40+2×2-3y)=160$
整理得$3y^2-44y+160=0$，解得$y_1=\frac{20}{3}$，$y_2=8$。
对两个根做合理性检验：
当$y=\frac{20}{3}$时，$BC=40+2×2-3×\frac{20}{3}=24$米，$24＞22$，超过墙的长度，不符合题意，舍去；
当$y=8$时，$BC=40+2×2-3×8=20$米，$20＜22$，符合墙长限制，成立。
【答案】
(1) 这个增长率为25%；(2) 重建后的养鸡场的宽AB为8米。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的经典题型，第一问属于基础考点，难度较低；第二问的易错点是对两处门的长度的处理，以及容易忽略平行于墙的边长不能超过墙长的隐含限制，出现多余错误解，解题时要注意结合实际场景对根做合理性校验。
【难度系数】
0.6
9. 某街区进行绿化改造,用一段长 40 m 的篱笆和长 15 m 的墙 AB 围成一个矩形的花园,设平行于墙的一边 DE 的长为 x m.
(1)如图①,如果矩形花园的一边靠墙 AB,另三边由篱笆 CDEF 围成,当花园面积为 $150\ \mathrm{m^2}$时,求 x 的值;
(2)如图②,如果矩形花园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成,另三边由篱笆 ADEF 围成,当花园面积是 $150\ \mathrm{m^2}$时,求 BF 的长.
(1)如图①,如果矩形花园的一边靠墙 AB,另三边由篱笆 CDEF 围成,当花园面积为 $150\ \mathrm{m^2}$时,求 x 的值;
(2)如图②,如果矩形花园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成,另三边由篱笆 ADEF 围成,当花园面积是 $150\ \mathrm{m^2}$时,求 BF 的长.
答案
解:(1)根据题意,得$\dfrac{1}{2}(40-x)x=150$,解得$x_1=10$,$x_2=30$.$\because 30＞15$,$\therefore x=10$.
答:$x$的值为10.
(2)设$BF=y\ \mathrm{m}$,则$\dfrac{1}{2}(40-15-2y)(y+15)=150$,
解得$y_1=-\dfrac{15}{2}$(舍去),$y_2=5$.
答:$BF$的长为5 m.
答:$x$的值为10.
(2)设$BF=y\ \mathrm{m}$,则$\dfrac{1}{2}(40-15-2y)(y+15)=150$,
解得$y_1=-\dfrac{15}{2}$(舍去),$y_2=5$.
答:$BF$的长为5 m.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程求解矩形面积的实际应用题，解题思路可以分两小问梳理：
1. 第(1)问：已知篱笆总长40m，平行于墙的边DE长为x，那么两条垂直于墙的边的总长度就是篱笆总长减去x，单条垂直边长度为$\frac{40-x}{2}$，根据矩形面积公式长×宽列出方程。同时要注意墙AB的长度只有15m，图①中DE平行于墙，长度不能超过墙的长度，解出方程的两个根后，要把不符合长度限制的根舍去，得到符合实际的x值。
2. 第(2)问：设BF的长为y m，先表示出平行于墙的边DE的长度为AB+BF=15+y，再结合篱笆总长度40m，推导出两条垂直于墙的边的长度，代入面积公式列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 由题意，平行于墙的DE长为$x\ \mathrm{m}$，两条垂直于墙的边长度相等，单条边长为$\frac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$150\ \mathrm{m^2}$，列方程：
$x·\frac{40-x}{2}=150$
整理得$x^2-40x+300=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$。
因为墙AB长15m，DE平行于墙，长度不能超过墙的长度，即$x≤15$，所以$x=30$不符合题意舍去，最终得$x=10$。
(2) 设BF的长为$y\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边DE的长度为$(15+y)\ \mathrm{m}$。
篱笆总长40m，其中BF属于篱笆段，两条垂直于墙的边AD和EF长度相等，单条边长为$\frac{40-15-2y}{2}\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$150\ \mathrm{m^2}$，列方程：
$(15+y)·\frac{40-15-2y}{2}=150$
整理得$2y^2+15y-50=0$，
解得$y_1=-\frac{15}{2}$，$y_2=5$。
因为长度不能为负，所以$y=-\frac{15}{2}$不符合题意舍去，最终得$y=5$。
【答案】
(1) $x$的值为10；(2) $BF$的长为5 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略墙的长度限制，直接保留方程的所有正根，需要结合实际场景的长度约束对解进行合理性校验，考察了学生将代数知识和实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道利用一元二次方程求解矩形面积的实际应用题，解题思路可以分两小问梳理：
1. 第(1)问：已知篱笆总长40m，平行于墙的边DE长为x，那么两条垂直于墙的边的总长度就是篱笆总长减去x，单条垂直边长度为$\frac{40-x}{2}$，根据矩形面积公式长×宽列出方程。同时要注意墙AB的长度只有15m，图①中DE平行于墙，长度不能超过墙的长度，解出方程的两个根后，要把不符合长度限制的根舍去，得到符合实际的x值。
2. 第(2)问：设BF的长为y m，先表示出平行于墙的边DE的长度为AB+BF=15+y，再结合篱笆总长度40m，推导出两条垂直于墙的边的长度，代入面积公式列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 由题意，平行于墙的DE长为$x\ \mathrm{m}$，两条垂直于墙的边长度相等，单条边长为$\frac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$150\ \mathrm{m^2}$，列方程：
$x·\frac{40-x}{2}=150$
整理得$x^2-40x+300=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$。
因为墙AB长15m，DE平行于墙，长度不能超过墙的长度，即$x≤15$，所以$x=30$不符合题意舍去，最终得$x=10$。
(2) 设BF的长为$y\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边DE的长度为$(15+y)\ \mathrm{m}$。
篱笆总长40m，其中BF属于篱笆段，两条垂直于墙的边AD和EF长度相等，单条边长为$\frac{40-15-2y}{2}\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$150\ \mathrm{m^2}$，列方程：
$(15+y)·\frac{40-15-2y}{2}=150$
整理得$2y^2+15y-50=0$，
解得$y_1=-\frac{15}{2}$，$y_2=5$。
因为长度不能为负，所以$y=-\frac{15}{2}$不符合题意舍去，最终得$y=5$。
【答案】
(1) $x$的值为10；(2) $BF$的长为5 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略墙的长度限制，直接保留方程的所有正根，需要结合实际场景的长度约束对解进行合理性校验，考察了学生将代数知识和实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
