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1. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤衫以每件80元销售时，每天销售量是20件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件.已知该T恤衫进价是每件40元，设每件T恤衫降价$x$元，如果服装店一天能盈利1000元，可列方程为（
A.$(40 - x)(20 + x) = 1000$
B.$(80 - x)(20 + x) = 1000$
C.$(40 - x)(20 + 4x) = 1000$
D.$(80 - x)(20 + 4x) = 1000$
C
）A.$(40 - x)(20 + x) = 1000$
B.$(80 - x)(20 + x) = 1000$
C.$(40 - x)(20 + 4x) = 1000$
D.$(80 - x)(20 + 4x) = 1000$
答案
1.C
解析
【分析】
这是典型的销售利润类列方程应用题，核心解题思路是紧扣“总利润=单件利润×总销售量”的等量关系逐步推导：第一步先计算降价x元后的单件利润，已知进价为40元，原售价80元，降价x元后实际售价为(80-x)元，单件利润=实际售价-进价，化简后得到单件利润的表达式；第二步计算降价x元后的总销售量，原本日销量是20件，每降1元多售4件，降价x元就多售出4x件，由此得到总销量的表达式；第三步把两个表达式代入总利润为1000元的条件，就能列出对应方程，和选项比对即可得到正确结果。
【解析】
解：根据销售问题的核心等量关系：总利润 = 单件利润 × 日销售量
1. 推导降价x元后的单件利润：
降价后实际售价为$(80-x)$元，已知进价为40元，因此单件利润为：
$(80-x)-40 = 40-x$ 元
2. 推导降价x元后的日销售量：
原日销量为20件，单价每降低1元多售出4件，降价x元后销量新增$4x$件，因此总日销量为：
$20+4x$ 件
3. 当日总盈利为1000元，代入等量关系可得方程：
$(40 - x)(20 + 4x) = 1000$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题，一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础的销售类列方程题型，易错点是容易误把降价后的实际售价直接当成单件利润，或者搞错销量增量和降价幅度的对应倍数关系，解题时只要牢牢抓住“利润=售价-成本”的基础关系，就可以避免这类错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类列方程应用题，核心解题思路是紧扣“总利润=单件利润×总销售量”的等量关系逐步推导：第一步先计算降价x元后的单件利润，已知进价为40元，原售价80元，降价x元后实际售价为(80-x)元，单件利润=实际售价-进价，化简后得到单件利润的表达式；第二步计算降价x元后的总销售量，原本日销量是20件，每降1元多售4件，降价x元就多售出4x件，由此得到总销量的表达式；第三步把两个表达式代入总利润为1000元的条件，就能列出对应方程，和选项比对即可得到正确结果。
【解析】
解：根据销售问题的核心等量关系：总利润 = 单件利润 × 日销售量
1. 推导降价x元后的单件利润：
降价后实际售价为$(80-x)$元，已知进价为40元，因此单件利润为：
$(80-x)-40 = 40-x$ 元
2. 推导降价x元后的日销售量：
原日销量为20件，单价每降低1元多售出4件，降价x元后销量新增$4x$件，因此总日销量为：
$20+4x$ 件
3. 当日总盈利为1000元，代入等量关系可得方程：
$(40 - x)(20 + 4x) = 1000$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题，一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础的销售类列方程题型，易错点是容易误把降价后的实际售价直接当成单件利润，或者搞错销量增量和降价幅度的对应倍数关系，解题时只要牢牢抓住“利润=售价-成本”的基础关系，就可以避免这类错误。
【难度系数】
0.7
2. 某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价$a$元，则可卖出$(400-10a)$件，但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%。商店计划要盈利500元，每件商品应定价
30
元，需要进货100
件。答案
2.30 100
解析
【分析】
首先我们要明确销售盈利的核心等量关系：总盈利=单件商品的利润×销售总数量。首先先表示出单件利润，已知进价是25元，售价为a元，那么单件利润就是(a-25)元，题目已经给出销量是(400-10a)件，总盈利要求是500元，据此可以列出一元二次方程求解售价a。但要注意题干给出了物价限制条件：每件商品利润不得超过进价的30%，我们需要先算出符合要求的售价上限，把解方程得到的不符合限制的根舍去，得到正确的定价后，再代入销量公式算出需要进货的数量即可。
【解析】
1. 明确等量关系列方程
单件商品利润为$(a-25)$元，总销量为$(400-10a)$件，总盈利为500元，因此可得方程：
$(a-25)(400-10a)=500$
2. 整理并求解一元二次方程
展开并整理方程：
$400a -10a^2 -10000 +250a = 500$
$-10a^2 +650a -10500 = 0$
两边同时除以$-10$化简得：
$a^2 -65a +1050 = 0$
因式分解得：
$(a-30)(a-35)=0$
解得两个根：$a_1=30$，$a_2=35$
3. 根据限定条件筛选合理解
根据题意，每件商品利润不得超过进价的30%，因此售价上限为：
$a ≤ 25×(1+30\%) = 32.5 \mathrm{元}$
$a_2=35＞32.5$，不符合物价规定，舍去，因此定价$a=30$元。
4. 计算进货数量
将$a=30$代入销量公式$400-10a$，得进货数量为：
$400-10×30=100 \mathrm{件}$
【答案】
30 100
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程在销售场景的经典应用题，核心易错点是容易忽略题干给出的利润上限约束，直接保留两个方程的解，同学们在做这类带有限定条件的实际应用题时，解出方程的根后一定要代入题干的限制条件验证，排除不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
首先我们要明确销售盈利的核心等量关系：总盈利=单件商品的利润×销售总数量。首先先表示出单件利润，已知进价是25元，售价为a元，那么单件利润就是(a-25)元，题目已经给出销量是(400-10a)件，总盈利要求是500元，据此可以列出一元二次方程求解售价a。但要注意题干给出了物价限制条件：每件商品利润不得超过进价的30%，我们需要先算出符合要求的售价上限，把解方程得到的不符合限制的根舍去，得到正确的定价后，再代入销量公式算出需要进货的数量即可。
【解析】
1. 明确等量关系列方程
单件商品利润为$(a-25)$元，总销量为$(400-10a)$件，总盈利为500元，因此可得方程：
$(a-25)(400-10a)=500$
2. 整理并求解一元二次方程
展开并整理方程：
$400a -10a^2 -10000 +250a = 500$
$-10a^2 +650a -10500 = 0$
两边同时除以$-10$化简得：
$a^2 -65a +1050 = 0$
因式分解得：
$(a-30)(a-35)=0$
解得两个根：$a_1=30$，$a_2=35$
3. 根据限定条件筛选合理解
根据题意，每件商品利润不得超过进价的30%，因此售价上限为：
$a ≤ 25×(1+30\%) = 32.5 \mathrm{元}$
$a_2=35＞32.5$，不符合物价规定，舍去，因此定价$a=30$元。
4. 计算进货数量
将$a=30$代入销量公式$400-10a$，得进货数量为：
$400-10×30=100 \mathrm{件}$
【答案】
30 100
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程在销售场景的经典应用题，核心易错点是容易忽略题干给出的利润上限约束，直接保留两个方程的解，同学们在做这类带有限定条件的实际应用题时，解出方程的根后一定要代入题干的限制条件验证，排除不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
3. 某特产专卖店销售某种特产,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,经过市场调查发现,单价每降低1元,平均每天的销售量可增加10千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天盈利2240元,且销售量尽可能大,则每千克特产应定价为多少元?
(1)解:方法1:设每千克特产应降价$x$元,根据题意,得方程为
方法2:设每千克特产应定价为$x$元,根据题意,得方程为
(2)请你选择一种方法,写出完整的解答过程.
(1)解:方法1:设每千克特产应降价$x$元,根据题意,得方程为
$(60-x-40)(100+10x)=2240$
;方法2:设每千克特产应定价为$x$元,根据题意,得方程为
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
.(2)请你选择一种方法,写出完整的解答过程.
答案
3.(1)$(60-x-40)(100+10x)=2240$
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
(2)解:方法1:设每千克特产应降价$x$元.根据题意,得
$(60-x-40)(100+10x)=2240,$
解得$x_{1}=4,x_{2}=6.$
要销售量尽可能大,则取$x=6$,$60-6=54$(元).
答:每千克特产应定价为54元.
方法2:设每千克特产应定价为$x$元,根据题意,得
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240,$
解得$x_{1}=54,x_{2}=56.$
要销售量尽可能大,则取$x=54.$
答:每千克特产应定价为54元.
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
(2)解:方法1:设每千克特产应降价$x$元.根据题意,得
$(60-x-40)(100+10x)=2240,$
解得$x_{1}=4,x_{2}=6.$
要销售量尽可能大,则取$x=6$,$60-6=54$(元).
答:每千克特产应定价为54元.
方法2:设每千克特产应定价为$x$元,根据题意,得
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240,$
解得$x_{1}=54,x_{2}=56.$
要销售量尽可能大,则取$x=54.$
答:每千克特产应定价为54元.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程销售利润类问题，核心公式为：总利润=单件商品利润×总销售量。解题时先根据两种不同的设元方式，分别对应表示出单件利润和总销售量：
1. 方法1设降价x元：单件利润=原售价60元-降价x元-进价40元，总销售量=原销量100千克+降价后新增的销量10x千克，二者相乘等于目标总利润2240元即可列出方程。
2. 方法2设定价为x元：单件利润=现定价x元-进价40元，降价的总金额为原售价60元减去现定价x元，因此新增销量为10(60-x)千克，总销售量为100+10(60-x)千克，二者相乘等于2240元即可列出方程。
解出方程的根后，结合题干“销售量尽可能大”的要求筛选解：降价越多销量越大，对应定价越低销量越大，因此选择符合要求的更小的定价即可。
【解析】
(1) 方法1：设每千克特产应降价x元，单件利润为(60-x-40)元，总销量为(100+10x)千克，因此方程为$(60-x-40)(100+10x)=2240$；
方法2：设每千克特产应定价为x元，单件利润为(x-40)元，总销量为$100+10(60-x)$千克，因此方程为$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$。
(2) 以方法1为例完成解答：
设每千克特产应降价x元，根据题意列方程：
$(60-x-40)(100+10x)=2240$
整理得：$x^2 -10x +24=0$
因式分解得：$(x-4)(x-6)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
由于要求销售量尽可能大，降价幅度越大，销量越高，因此选择更大的降价值x=6，此时定价为$60-6=54$元。
若选择方法2解答：
设每千克特产应定价为x元，根据题意列方程：
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
整理得：$x^2 -110x +3024=0$
解得$x_1=54$，$x_2=56$。
由于要求销售量尽可能大，定价越低销量越高，因此选择更小的定价x=54。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60-x-40)(100+10x)=2240}$；$\boldsymbol{(x-40)[100+10(60-x)]=2240}$
(2) 每千克特产应定价为54元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润问题
【点评】
本题是初中数学常见的利润类应用题，核心考查对“总利润=单件利润×总销量”公式的灵活运用，易错点是解出一元二次方程的两个根后，忽略题干“销售量尽可能大”的约束条件，没有对根进行筛选，解题时要注意结合实际场景的要求选择符合题意的解。
【难度系数】
0.6
这是典型的一元二次方程销售利润类问题，核心公式为：总利润=单件商品利润×总销售量。解题时先根据两种不同的设元方式，分别对应表示出单件利润和总销售量：
1. 方法1设降价x元：单件利润=原售价60元-降价x元-进价40元，总销售量=原销量100千克+降价后新增的销量10x千克，二者相乘等于目标总利润2240元即可列出方程。
2. 方法2设定价为x元：单件利润=现定价x元-进价40元，降价的总金额为原售价60元减去现定价x元，因此新增销量为10(60-x)千克，总销售量为100+10(60-x)千克，二者相乘等于2240元即可列出方程。
解出方程的根后，结合题干“销售量尽可能大”的要求筛选解：降价越多销量越大，对应定价越低销量越大，因此选择符合要求的更小的定价即可。
【解析】
(1) 方法1：设每千克特产应降价x元，单件利润为(60-x-40)元，总销量为(100+10x)千克，因此方程为$(60-x-40)(100+10x)=2240$；
方法2：设每千克特产应定价为x元，单件利润为(x-40)元，总销量为$100+10(60-x)$千克，因此方程为$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$。
(2) 以方法1为例完成解答：
设每千克特产应降价x元，根据题意列方程：
$(60-x-40)(100+10x)=2240$
整理得：$x^2 -10x +24=0$
因式分解得：$(x-4)(x-6)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
由于要求销售量尽可能大，降价幅度越大，销量越高，因此选择更大的降价值x=6，此时定价为$60-6=54$元。
若选择方法2解答：
设每千克特产应定价为x元，根据题意列方程：
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
整理得：$x^2 -110x +3024=0$
解得$x_1=54$，$x_2=56$。
由于要求销售量尽可能大，定价越低销量越高，因此选择更小的定价x=54。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60-x-40)(100+10x)=2240}$；$\boldsymbol{(x-40)[100+10(60-x)]=2240}$
(2) 每千克特产应定价为54元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润问题
【点评】
本题是初中数学常见的利润类应用题，核心考查对“总利润=单件利润×总销量”公式的灵活运用，易错点是解出一元二次方程的两个根后，忽略题干“销售量尽可能大”的约束条件，没有对根进行筛选，解题时要注意结合实际场景的要求选择符合题意的解。
【难度系数】
0.6
4. (2025·苏州模拟)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:
(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?
(2)若商场平均每天要盈利1200元,则每件衬衫应降价多少元?
(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?
(2)若商场平均每天要盈利1200元,则每件衬衫应降价多少元?
答案
4.解:(1)$(\dfrac{4}{5}×10+20)×(40-4)=1008$(元).
答:商场每天可盈利1008元.
(2)设每件衬衫应降价$x$元.
根据题意,得$(40-x)(20+10×\dfrac{x}{5})=1200,$
整理,得$x^{2}-30x+200=0.$
解得$x_{1}=10,x_{2}=20.$
$\because$要扩大销售,减少库存,$\therefore x=20.$
答:每件衬衫应降价20元.
答:商场每天可盈利1008元.
(2)设每件衬衫应降价$x$元.
根据题意,得$(40-x)(20+10×\dfrac{x}{5})=1200,$
整理,得$x^{2}-30x+200=0.$
解得$x_{1}=10,x_{2}=20.$
$\because$要扩大销售,减少库存,$\therefore x=20.$
答:每件衬衫应降价20元.
解析
【分析】
我们可以分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：首先明确总盈利的计算公式是「总销量 × 单件利润」。已知每降价5元多售10件，那么降价4元时，先算出多售出的件数，加上原本的日销量得到降价后的总销量，再用原本的单件盈利减去降价的4元得到新的单件利润，两者相乘就能算出当日总盈利。
2. 第(2)问：这是典型的一元二次方程利润应用问题，先设每件降价x元，用含x的代数式分别表示出降价后的单件利润、降价后的日总销量，根据总盈利为1200元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合题目“扩大销售、尽量减少库存”的要求，选择能让销量更高的较大降价幅度，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 计算降价4元后的相关数据：
已知每降价5元多售10件，降价4元时，多售出的件数为 $\frac{4}{5} × 10 = 8$ 件，
降价后的日总销量为 $20 + 8 = 28$ 件，
降价后的单件利润为 $40 - 4 = 36$ 元，
因此总盈利为 $28 × 36 = 1008$ 元。
(2) 设每件衬衫应降价$x$元，
此时单件利润为 $(40 - x)$ 元，
降价$x$元时多售出的件数为 $10 × \frac{x}{5} = 2x$ 件，
日总销量为 $(20 + 2x)$ 件，
根据日盈利为1200元列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
求解得 $x_1=10$，$x_2=20$。
由于题目要求扩大销售、尽量减少库存，需要选择日销量更大的方案：当$x=10$时日销量为40件，当$x=20$时日销量为60件，因此最终取$x=20$。
【答案】
(1) 商场每天可盈利1008元；(2) 每件衬衫应降价20元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题解的取舍
【点评】
本题是初中数学典型的商品利润类应用题，核心是牢记总利润=单件利润×总销量的等量关系，易错点是求解方程后忽略题干“尽量减少库存”的限定条件，误将两个解都作为最终答案，解题时要注意结合实际场景筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
我们可以分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：首先明确总盈利的计算公式是「总销量 × 单件利润」。已知每降价5元多售10件，那么降价4元时，先算出多售出的件数，加上原本的日销量得到降价后的总销量，再用原本的单件盈利减去降价的4元得到新的单件利润，两者相乘就能算出当日总盈利。
2. 第(2)问：这是典型的一元二次方程利润应用问题，先设每件降价x元，用含x的代数式分别表示出降价后的单件利润、降价后的日总销量，根据总盈利为1200元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合题目“扩大销售、尽量减少库存”的要求，选择能让销量更高的较大降价幅度，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 计算降价4元后的相关数据：
已知每降价5元多售10件，降价4元时，多售出的件数为 $\frac{4}{5} × 10 = 8$ 件，
降价后的日总销量为 $20 + 8 = 28$ 件，
降价后的单件利润为 $40 - 4 = 36$ 元，
因此总盈利为 $28 × 36 = 1008$ 元。
(2) 设每件衬衫应降价$x$元，
此时单件利润为 $(40 - x)$ 元，
降价$x$元时多售出的件数为 $10 × \frac{x}{5} = 2x$ 件，
日总销量为 $(20 + 2x)$ 件，
根据日盈利为1200元列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
求解得 $x_1=10$，$x_2=20$。
由于题目要求扩大销售、尽量减少库存，需要选择日销量更大的方案：当$x=10$时日销量为40件，当$x=20$时日销量为60件，因此最终取$x=20$。
【答案】
(1) 商场每天可盈利1008元；(2) 每件衬衫应降价20元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题解的取舍
【点评】
本题是初中数学典型的商品利润类应用题，核心是牢记总利润=单件利润×总销量的等量关系，易错点是求解方程后忽略题干“尽量减少库存”的限定条件，误将两个解都作为最终答案，解题时要注意结合实际场景筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
