登录
5. 超市销售某种商品,每件盈利 50 元,平均每天可售出 30 件. 为尽快减少库存,现准备降价以促进销售,经调查发现:一件商品每降价 1 元,平均每天可多售出 2 件.
(1)当一件商品降价 5 元时,每天销售量可达到
(2)每件商品降价多少元时,超市每天盈利可达到 2100 元?
(3)超市每天盈利可以达到 2200 元吗? 如果可以,请求出销售价;如果不可以,请说明理由.
(1)当一件商品降价 5 元时,每天销售量可达到
40
件,每天共盈利1800
元.(2)每件商品降价多少元时,超市每天盈利可达到 2100 元?
(3)超市每天盈利可以达到 2200 元吗? 如果可以,请求出销售价;如果不可以,请说明理由.
答案
5.(1)40 1800
(2)解:设每件商品降价$x$元,根据题意,得$(50-x)(30+2x)=2100$,解得$x=15$或$x=20$,
$\because$该超市为了尽快减少库存,
$\therefore$降得越多,售出越多,$\therefore x=20.$
答:每件商品降价20元时,超市每天盈利可达到2100元.
(3)解:不可以.理由:设每件商品降价$y$元,
根据题意,得$(30+2y)(50-y)=2200,$
整理,得$y^{2}-35y+350=0,$
$b^{2}-4ac=(-35)^{2}-4×350=-175＜0,$
所以该方程无解,
故超市每天盈利不可以达到2200元.
(2)解:设每件商品降价$x$元,根据题意,得$(50-x)(30+2x)=2100$,解得$x=15$或$x=20$,
$\because$该超市为了尽快减少库存,
$\therefore$降得越多,售出越多,$\therefore x=20.$
答:每件商品降价20元时,超市每天盈利可达到2100元.
(3)解:不可以.理由:设每件商品降价$y$元,
根据题意,得$(30+2y)(50-y)=2200,$
整理,得$y^{2}-35y+350=0,$
$b^{2}-4ac=(-35)^{2}-4×350=-175＜0,$
所以该方程无解,
故超市每天盈利不可以达到2200元.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程销售利润类实际问题，解题思路如下：
1. 第(1)问直接根据题干给出的降价和销量的对应关系计算：已知每降价1元多售2件，降价5元时多售的数量就是5×2，加上原销量得到总销量；再用原单件盈利减去5得到降价后的单件盈利，二者相乘就是总盈利。
2. 第(2)问设降价x元，将降价后的单件盈利表示为(50-x)，降价后的日销量表示为(30+2x)，根据“总盈利=单件盈利×日销量”列一元二次方程，解出两个根后，结合题干“尽快减少库存”的隐含要求，选择降价幅度更大、能卖出更多商品的x值即可。
3. 第(3)问要判断盈利能否达到2200元，同样先设降价y元，列出对应总盈利的一元二次方程，通过计算根的判别式的值，判断方程是否有实数解，若无实根则说明无法达到对应盈利。
【解析】
(1) 已知原日销量为30件，每降价1元多售2件，降价5元时，新增销量为$5×2=10$件，因此总日销量为$30+10=40$件；
降价后单件盈利为$50-5=45$元，因此每日总盈利为$40×45=1800$元。
(2) 设每件商品降价$x$元，此时单件盈利为$(50-x)$元，日销量为$(30+2x)$件，根据日总盈利为2100元列方程：
$(50-x)(30+2x)=2100$
展开整理得：$x^2 - 35x + 300 = 0$
解得：$x_1=15$，$x_2=20$
由于超市需要尽快减少库存，降价幅度越大，日销量越高，库存清理速度越快，因此选择更大的降价幅度$x=20$。
答：每件商品降价20元时，超市每天盈利可达到2100元。
(3) 超市每天盈利不可以达到2200元，理由如下：
设每件商品降价$y$元，若日盈利为2200元，可列方程：
$(50-y)(30+2y)=2200$
展开整理得：$y^2 - 35y + 350 = 0$
计算该一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4×1×350 = -175 ＜ 0$
该方程无实数根，因此不存在符合条件的降价金额，超市每天盈利无法达到2200元。
【答案】
(1) 40；1800
(2) 每件商品降价20元时，超市每天盈利可达到2100元
(3) 不可以，所列一元二次方程判别式小于0，无实数解，因此超市每天盈利不可以达到2200元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，根的判别式
【点评】
本题是初中数学高频的销售利润类实际应用题，整体难度适中，核心考察一元二次方程的实际应用能力，易错点为第二问解出两个根后，容易忽略题干“尽快减少库存”的隐含条件，没有对根进行合理取舍，第三问通过判别式判断实际问题的可行性，提醒同学们解决实际应用题时要同时满足数学逻辑和现实约束。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元二次方程销售利润类实际问题，解题思路如下：
1. 第(1)问直接根据题干给出的降价和销量的对应关系计算：已知每降价1元多售2件，降价5元时多售的数量就是5×2，加上原销量得到总销量；再用原单件盈利减去5得到降价后的单件盈利，二者相乘就是总盈利。
2. 第(2)问设降价x元，将降价后的单件盈利表示为(50-x)，降价后的日销量表示为(30+2x)，根据“总盈利=单件盈利×日销量”列一元二次方程，解出两个根后，结合题干“尽快减少库存”的隐含要求，选择降价幅度更大、能卖出更多商品的x值即可。
3. 第(3)问要判断盈利能否达到2200元，同样先设降价y元，列出对应总盈利的一元二次方程，通过计算根的判别式的值，判断方程是否有实数解，若无实根则说明无法达到对应盈利。
【解析】
(1) 已知原日销量为30件，每降价1元多售2件，降价5元时，新增销量为$5×2=10$件，因此总日销量为$30+10=40$件；
降价后单件盈利为$50-5=45$元，因此每日总盈利为$40×45=1800$元。
(2) 设每件商品降价$x$元，此时单件盈利为$(50-x)$元，日销量为$(30+2x)$件，根据日总盈利为2100元列方程：
$(50-x)(30+2x)=2100$
展开整理得：$x^2 - 35x + 300 = 0$
解得：$x_1=15$，$x_2=20$
由于超市需要尽快减少库存，降价幅度越大，日销量越高，库存清理速度越快，因此选择更大的降价幅度$x=20$。
答：每件商品降价20元时，超市每天盈利可达到2100元。
(3) 超市每天盈利不可以达到2200元，理由如下：
设每件商品降价$y$元，若日盈利为2200元，可列方程：
$(50-y)(30+2y)=2200$
展开整理得：$y^2 - 35y + 350 = 0$
计算该一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4×1×350 = -175 ＜ 0$
该方程无实数根，因此不存在符合条件的降价金额，超市每天盈利无法达到2200元。
【答案】
(1) 40；1800
(2) 每件商品降价20元时，超市每天盈利可达到2100元
(3) 不可以，所列一元二次方程判别式小于0，无实数解，因此超市每天盈利不可以达到2200元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，根的判别式
【点评】
本题是初中数学高频的销售利润类实际应用题，整体难度适中，核心考察一元二次方程的实际应用能力，易错点为第二问解出两个根后，容易忽略题干“尽快减少库存”的隐含条件，没有对根进行合理取舍，第三问通过判别式判断实际问题的可行性，提醒同学们解决实际应用题时要同时满足数学逻辑和现实约束。
【难度系数】
0.7
6. 某商店销售一种服装,经市场调研发现,该服装销量 $y$(件)与售价 $x$(元/件)之间存在如图象中折线 $A-B-C$ 所示的函数关系. 已知该服装进货价为 42 元/件, $x$ 的取值范围为 $55 ≤ x ≤ 65$.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式及相应的自变量的取值范围;
(2)若以相同的价格销售一批服装获得利润 12000 元,求每件服装的售价.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式及相应的自变量的取值范围;
(2)若以相同的价格销售一批服装获得利润 12000 元,求每件服装的售价.
答案
6.解:(1)当$55≤ x≤60$时,$y=800$;
当$60＜x≤65$时,设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b,$
$\because$一次函数的图象过点$(60,800)$和$(65,300),$
$\therefore\begin{cases} 60k+b=800,\\ 65k+b=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-100,\\ b=6800, \end{cases}$
$\therefore y=-100x+6800.$
综上所述,$y=\begin{cases} 800(55≤ x≤60),\\ -100x+6800(60＜x≤65). \end{cases}$
(2)当$55≤ x≤60$时,$(x-42)×800=12000,$
解得$x=57$;
当$60＜x≤65$时,$(x-42)(-100x+6800)=12000,$
解得$x=62$或$x=48$(不合题意,舍去).
答:每件服装的售价为57元或62元.
当$60＜x≤65$时,设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b,$
$\because$一次函数的图象过点$(60,800)$和$(65,300),$
$\therefore\begin{cases} 60k+b=800,\\ 65k+b=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-100,\\ b=6800, \end{cases}$
$\therefore y=-100x+6800.$
综上所述,$y=\begin{cases} 800(55≤ x≤60),\\ -100x+6800(60＜x≤65). \end{cases}$
(2)当$55≤ x≤60$时,$(x-42)×800=12000,$
解得$x=57$;
当$60＜x≤65$时,$(x-42)(-100x+6800)=12000,$
解得$x=62$或$x=48$(不合题意,舍去).
答:每件服装的售价为57元或62元.
解析
【分析】
首先观察图像，折线A-B-C分为两段，因此需要分区间求解y与x的函数关系：第一步先看55≤x≤60的区间，图像是水平线段，y值恒为800，直接得到该段函数；第二步看60＜x≤65的区间，图像是倾斜的直线，属于一次函数，用待定系数法代入已知的两个点B(60,800)和C(65,300)，解方程组就能求出该段的解析式。第二问求利润为12000元时的售价，总利润=单件利润×销量，因为销量y是分段函数，所以同样分两个区间分别列方程求解，最后检验得到的解是否在对应区间的取值范围内，舍去不符合题意的解，就能得到最终的售价。
【解析】
(1) 分两段讨论函数关系：
① 当55 ≤ x ≤ 60时，由图像可知，销量y不随售价x变化，恒为800，因此y=800；
② 当60 ＜ x ≤ 65时，设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将点(60,800)和(65,300)代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases} 60k + b = 800 \\ 65k + b = 300 \end{cases}$
两式相减得5k = -500，解得k=-100，
将k=-100代入60k + b = 800，解得b=6800，
因此该段函数解析式为y = -100x + 6800。
综上，y与x的分段函数为：
$y=\begin{cases} 800&(55≤ x≤ 60) \\ -100x+6800&(60＜ x≤ 65) \end{cases}$
(2) 已知单件利润为(x - 42)元，总利润=单件利润×销量，分两种情况计算：
① 当55 ≤ x ≤ 60时，列方程：
$(x - 42) × 800 = 12000$
化简得x - 42 = 15，解得x=57，57在55≤x≤60范围内，符合题意；
② 当60 ＜ x ≤ 65时，列方程：
$(x - 42)(-100x + 6800) = 12000$
整理得$x^2 - 110x + 2976 = 0$，解得x₁=62，x₂=48，
其中48不在60＜x≤65范围内，舍去，62符合该区间要求。
因此符合条件的售价为57元或62元。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 800(55≤ x≤ 60) \\ -100x+6800(60＜ x≤ 65) \end{cases}$；
(2) 每件服装的售价为57元或62元。
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数，一元二次方程销售应用
【点评】
本题是典型的销售利润类分段函数应用题，结合图像考察了数形结合与分类讨论的数学思想，解题核心是先根据图像特征分区间得到销量和售价的函数关系，再结合利润公式列方程求解，需要特别注意得到的方程解必须符合对应区间的自变量取值范围，主动舍去不符合实际意义的解，整体题型常规，计算难度不高。
【难度系数】
0.7
首先观察图像，折线A-B-C分为两段，因此需要分区间求解y与x的函数关系：第一步先看55≤x≤60的区间，图像是水平线段，y值恒为800，直接得到该段函数；第二步看60＜x≤65的区间，图像是倾斜的直线，属于一次函数，用待定系数法代入已知的两个点B(60,800)和C(65,300)，解方程组就能求出该段的解析式。第二问求利润为12000元时的售价，总利润=单件利润×销量，因为销量y是分段函数，所以同样分两个区间分别列方程求解，最后检验得到的解是否在对应区间的取值范围内，舍去不符合题意的解，就能得到最终的售价。
【解析】
(1) 分两段讨论函数关系：
① 当55 ≤ x ≤ 60时，由图像可知，销量y不随售价x变化，恒为800，因此y=800；
② 当60 ＜ x ≤ 65时，设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将点(60,800)和(65,300)代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases} 60k + b = 800 \\ 65k + b = 300 \end{cases}$
两式相减得5k = -500，解得k=-100，
将k=-100代入60k + b = 800，解得b=6800，
因此该段函数解析式为y = -100x + 6800。
综上，y与x的分段函数为：
$y=\begin{cases} 800&(55≤ x≤ 60) \\ -100x+6800&(60＜ x≤ 65) \end{cases}$
(2) 已知单件利润为(x - 42)元，总利润=单件利润×销量，分两种情况计算：
① 当55 ≤ x ≤ 60时，列方程：
$(x - 42) × 800 = 12000$
化简得x - 42 = 15，解得x=57，57在55≤x≤60范围内，符合题意；
② 当60 ＜ x ≤ 65时，列方程：
$(x - 42)(-100x + 6800) = 12000$
整理得$x^2 - 110x + 2976 = 0$，解得x₁=62，x₂=48，
其中48不在60＜x≤65范围内，舍去，62符合该区间要求。
因此符合条件的售价为57元或62元。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 800(55≤ x≤ 60) \\ -100x+6800(60＜ x≤ 65) \end{cases}$；
(2) 每件服装的售价为57元或62元。
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数，一元二次方程销售应用
【点评】
本题是典型的销售利润类分段函数应用题，结合图像考察了数形结合与分类讨论的数学思想，解题核心是先根据图像特征分区间得到销量和售价的函数关系，再结合利润公式列方程求解，需要特别注意得到的方程解必须符合对应区间的自变量取值范围，主动舍去不符合实际意义的解，整体题型常规，计算难度不高。
【难度系数】
0.7
7. 某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元/个，乙的成本为7元/个.甲现在的售价为10元/个，每天卖出30个；售价每提高1元/个，每天少卖出2个.乙现在的售价为14元/个，每天卖出6个；售价每降低1元/个，每天多卖出4个.假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36个），且售价均为整数.
(1)当甲商品的售价每个提高$x$元时，乙的售价为
(2)当甲商品的售价每个提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？
(1)当甲商品的售价每个提高$x$元时，乙的售价为
$(14-\dfrac{1}{2}x)$
元/个；(用含$x$的代数式表示)(2)当甲商品的售价每个提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？
答案
7.(1)$(14-\dfrac{1}{2}x)$
(2)解:设甲商品的售价每个提高$x$元时,销售这两种商品当天的总利润是268元,根据题意,得
$(10-5+x)(30-2x)+(6+2x)(14-\dfrac{1}{2}x-7)=268,$
整理,得$3x^{2}-31x+76=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=\dfrac{19}{3}.$
$\because$售价均为整数,$\therefore x=4.$
答:甲商品的售价每个提高4元时,销售这两种商品当天的总利润是268元.
(2)解:设甲商品的售价每个提高$x$元时,销售这两种商品当天的总利润是268元,根据题意,得
$(10-5+x)(30-2x)+(6+2x)(14-\dfrac{1}{2}x-7)=268,$
整理,得$3x^{2}-31x+76=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=\dfrac{19}{3}.$
$\because$售价均为整数,$\therefore x=4.$
答:甲商品的售价每个提高4元时,销售这两种商品当天的总利润是268元.
解析
【分析】
第(1)问我们可以从甲的销量变化入手推导：首先算出甲提价x元时的实际日销量，结合题目给出的“甲乙日销量总和为36”的条件，就能得到乙的实际日销量，再对照乙的销量随售价变化的规则，反推乙的降价幅度，最后用乙的原售价减去降价幅度，即可得到用x表示的乙的售价。第(2)问利用总利润的等量关系列方程求解：总利润=甲的总利润+乙的总利润，其中单类商品总利润=单个商品利润×对应销量，代入甲乙的相关数值得到一元二次方程，求解后结合“售价均为整数”的约束条件舍去不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 当甲商品售价提高x元时，甲的日销量为$(30-2x)$个。
已知甲乙日销量总和为36，因此乙的日销量为：
$36-(30-2x)=6+2x$ 个
乙原本日销量为6个，每降价1元多卖出4个，乙多卖出的数量为$(6+2x)-6=2x$个，因此乙的降价幅度为$\frac{2x}{4}=\frac{1}{2}x$元。
所以乙的当前售价为$14-\frac{1}{2}x$ 元/个。
(2) 设甲商品的售价每个提高x元时，总利润为268元：
甲的单个利润为$(10+x-5)=(5+x)$元，销量为$(30-2x)$个；
乙的单个利润为$(14-\frac{1}{2}x -7)=(7-\frac{1}{2}x)$元，销量为$(6+2x)$个。
根据总利润列方程：
$(5+x)(30-2x) + (7-\frac{1}{2}x)(6+2x) = 268$
展开并整理得：
$3x^2 -31x +76=0$
用求根公式解得：$x_1=4$，$x_2=\frac{19}{3}$。
由于题目要求售价均为整数，乙的售价$14-\frac{1}{2}x$必须为整数，因此x必须为整数，$\frac{19}{3}$不是整数，不符合要求舍去，最终得$x=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{14-\dfrac{1}{2}x}$；(2) 甲商品的售价每个提高4元时，总利润为268元。
【知识点】
一元二次方程应用，利润计算，列代数式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心难点是第一问需要结合销量总和的联动关系推导乙的售价表达式，不少同学容易忽略两个商品的销量约束直接单独计算乙的售价，同时解题时要注意“售价为整数”的隐含条件，主动舍去非整数的不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
第(1)问我们可以从甲的销量变化入手推导：首先算出甲提价x元时的实际日销量，结合题目给出的“甲乙日销量总和为36”的条件，就能得到乙的实际日销量，再对照乙的销量随售价变化的规则，反推乙的降价幅度，最后用乙的原售价减去降价幅度，即可得到用x表示的乙的售价。第(2)问利用总利润的等量关系列方程求解：总利润=甲的总利润+乙的总利润，其中单类商品总利润=单个商品利润×对应销量，代入甲乙的相关数值得到一元二次方程，求解后结合“售价均为整数”的约束条件舍去不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 当甲商品售价提高x元时，甲的日销量为$(30-2x)$个。
已知甲乙日销量总和为36，因此乙的日销量为：
$36-(30-2x)=6+2x$ 个
乙原本日销量为6个，每降价1元多卖出4个，乙多卖出的数量为$(6+2x)-6=2x$个，因此乙的降价幅度为$\frac{2x}{4}=\frac{1}{2}x$元。
所以乙的当前售价为$14-\frac{1}{2}x$ 元/个。
(2) 设甲商品的售价每个提高x元时，总利润为268元：
甲的单个利润为$(10+x-5)=(5+x)$元，销量为$(30-2x)$个；
乙的单个利润为$(14-\frac{1}{2}x -7)=(7-\frac{1}{2}x)$元，销量为$(6+2x)$个。
根据总利润列方程：
$(5+x)(30-2x) + (7-\frac{1}{2}x)(6+2x) = 268$
展开并整理得：
$3x^2 -31x +76=0$
用求根公式解得：$x_1=4$，$x_2=\frac{19}{3}$。
由于题目要求售价均为整数，乙的售价$14-\frac{1}{2}x$必须为整数，因此x必须为整数，$\frac{19}{3}$不是整数，不符合要求舍去，最终得$x=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{14-\dfrac{1}{2}x}$；(2) 甲商品的售价每个提高4元时，总利润为268元。
【知识点】
一元二次方程应用，利润计算，列代数式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心难点是第一问需要结合销量总和的联动关系推导乙的售价表达式，不少同学容易忽略两个商品的销量约束直接单独计算乙的售价，同时解题时要注意“售价为整数”的隐含条件，主动舍去非整数的不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
