7. 如图,将小王某月手机费用中各项费用的占比情况制成扇形统计图,则表示短信费的扇形圆心角的度数为度.

7. 72 【点拨】本题考查扇形统计图.
【解析】由扇形统计图知,短信费占$1-43\%-33\%-4\%=20\%$,$20\%×360°=72°$. 故答案为72.

【分析】要计算短信费对应的扇形圆心角，需利用扇形统计图的性质：整个扇形代表总费用，各部分占比之和为100%，所有扇形的圆心角总和为360°。首先求出短信费占总费用的百分比，再用该百分比乘以360°，即可得到短信费对应的圆心角度数。
【解析】第一步，计算短信费的占比：$1 - 43\% - 33\% - 4\% = 20\%$；第二步，计算短信费对应的圆心角度数：$20\% × 360° = 72°$。
【答案】72
【知识点】扇形统计图、圆心角计算
【点评】本题考查扇形统计图的基础应用，核心是掌握“部分占比×360°=对应圆心角度数”的关系，属于难度较低的统计类题目。
【难度系数】0.7

8. 在一次数学测试中,某班50名学生的成绩被分为六组,第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,第五组的频率是0.2,则第六组的频数是________.

8. 5 【点拨】本题考查频数与频率.
【解析】$\because$ 第五组频率为0.2,$\therefore$ 该组频数是$50×0.2=10$,$\therefore$ 第六组频数是$50-(6+8+9+12+10)=5$. 故答案为5.

【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心知识点：一是各组频数之和等于总频数，二是频数与频率的关系为“频数=总数×频率”。解题时先根据第五组的频率和总人数算出第五组的频数，再用总人数减去前五个组的频数，即可得到第六组的频数。
【解析】
已知总人数（总频数）为50，根据“频数=总数×频率”，第五组的频数为：$50×0.2 = 10$。
前四组的频数和为：$6 + 8 + 9 + 12 = 35$。
则第六组的频数为：$50 - (35 + 10) = 5$。
【答案】
5
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题是统计板块的基础计算题，直接考查频数与频率的基本关系，只要掌握核心公式就能快速解答，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. 当$x=\underline{\hspace{3em}}$时，分式$\dfrac{9-x^2}{x-3}$无意义；当$x=\underline{\hspace{3em}}$时，分式$\dfrac{9-x^2}{x-3}$的值为零。

9. 3 -3 【点拨】本题考查分式有意义的条件,分式值为零的条件.
【解析】$\because$ 分式$\frac{9-x^2}{x-3}$无意义,$\therefore x-3=0$,解得$x=3$. 分式$\frac{9-x^2}{x-3}=0$,则$9-x^2=0$且$x-3≠0$,解得$x=-3$. 故答案为3;-3.

【分析】
要解决这个问题，需牢记分式的两个核心条件：①分式无意义的条件是分母为0；②分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0。因此，我们分别根据这两个条件计算对应的x值即可。
【解析】
1. 求分式无意义时的x值：
分式$\frac{9-x^2}{x-3}$无意义，说明分母为0，即$x - 3 = 0$，解得$x = 3$。
2. 求分式值为零时的x值：
分式的值为零，需同时满足两个条件：分子为0，且分母不为0。
先令分子$9 - x^2 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$；
再验证分母不为0：$x - 3 ≠ 0$，即$x ≠ 3$，因此舍去$x = 3$，得$x = -3$。
【答案】
3；-3
【知识点】
分式无意义的条件、分式值为零的条件
【点评】
本题考查分式的基础知识点，关键是准确区分分式无意义和值为零的不同条件，尤其要注意分式值为零时必须保证分母不为0，避免出错。
【难度系数】
0.7

10. 填空：$\frac{3a}{5xy}=\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{10axy}(a≠0)$；$\frac{a+2}{a^2 - 4}=\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$。

10. $6a^2$ $a-2$ 【点拨】本题考查分式的基本性质.
【解析】(1)$\frac{3a}{5xy}=\frac{6a^2}{10axy}(a≠0)$;(2)$\frac{a+2}{a^2-4}=\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a-2}$. 故答案为$6a^2$;$a-2$.

【分析】本题考查分式的基本性质，解题时需依据“分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，结合因式分解知识求解。第一个式子观察分母的变化确定分子的变化；第二个式子先对分母因式分解，再约分得到结果。
【解析】(1) 等式左边分母为$5xy$，右边分母为$10axy$，分母从$5xy$变为$10axy$是乘以$2a$（$a≠0$，满足不为0的条件），根据分式基本性质，分子也需乘以$2a$，即$3a×2a=6a²$，故第一个空填$6a²$；(2) 对等式左边分母因式分解，$a²-4=(a+2)(a-2)$，原式变为$\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$，分子分母同除以$(a+2)$（隐含$a≠-2$），得到$\frac{1}{a-2}$，故第二个空填$a-2$。
【答案】$6a²$；$a-2$
【知识点】分式的基本性质、因式分解（平方差公式）
【点评】本题是分式基本性质的基础应用，需熟练掌握分式的基本性质和平方差公式因式分解，注意运算中整式不为0的条件，难度较低。
【难度系数】0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为$(-3,0),(2,0)$,点D在y轴上,则点C的坐标是.

11. $(5,4)$ 【点拨】本题考查菱形的性质,坐标与图形的性质.
【解析】$\because$ 菱形$ABCD$的顶点$A$,$B$坐标分别为$(-3,0)$,$(2,0)$,点$D$在$y$轴上,$\therefore AB=AO+OB=5$,$\therefore AD=AB=CD=5$,$\therefore DO=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore$ 点$C(5,4)$. 故答案为$(5,4)$.

【分析】
要确定点C的坐标，需结合菱形的性质与平面直角坐标系的特点逐步推导：首先根据A、B在x轴上的坐标计算AB的长度；再利用菱形四边相等得AD=AB，结合点D在y轴上，通过勾股定理求出OD的长度，得到点D的坐标；最后依据菱形对边平行且相等的性质，确定点C的横、纵坐标，进而得到C的坐标。
【解析】
解：
∵菱形ABCD的顶点A(-3,0)，B(2,0)，
∴AB的长度为：2 - (-3) = 5，
∵菱形的四条边相等，
∴AD = AB = 5，
又
∵点D在y轴上，
∴△AOD是直角三角形，其中AO为点A到原点O的距离，即AO = |-3| = 3，
根据勾股定理，OD = √(AD² - AO²) = √(5² - 3²) = √16 = 4，
∴点D的坐标为(0,4)，
∵AB//CD且AB=CD=5，AB在x轴上，故CD平行于x轴，
∴点C的横坐标为B的横坐标加AB的长度，即2 + 5 = 5，纵坐标与D相同为4，
∴点C的坐标为(5,4)。
【答案】
(5,4)
【知识点】
菱形性质，坐标与图形，勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查菱形的性质，核心是利用菱形四边相等、对边平行且相等的性质，结合勾股定理求解点的坐标，属于基础题型，需掌握坐标中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.6

12. 如图,菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高BE=.

12. $\frac{24}{5}$ 【点拨】本题考查菱形的性质.
【解析】如题图,设$AC$与$BD$交点为$O$.$\because$ 四边形$ABCD$为菱形,$AC=8$,$BD=6$,$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC=4$,$BO=DO=\frac{1}{2}BD=3$,$AC⊥ BD$,在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,又$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{4}×8×6=12$,$\therefore \frac{1}{2}AD· BE=12$,即$\frac{1}{2}×5· BE=12$,$\therefore BE=\frac{24}{5}$. 故答案为$\frac{24}{5}$.

【分析】要计算菱形的高BE，首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再通过勾股定理算出菱形的边长；接着，菱形的面积有两种计算方式：对角线乘积的一半，以及底乘高，通过这两种面积表达式建立等式，即可求出高BE。
【解析】设AC与BD的交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=½AC=4，BO=½BD=3，且AC⊥BD。在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=√(AO² + OD²)=√(4²+3²)=5。菱形的面积S=½×AC×BD=½×8×6=24，又因为菱形面积也等于AD×BE，所以5×BE=24，解得BE=24/5。
【答案】$\frac{24}{5}$
【知识点】菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】本题结合菱形的性质，利用面积法求高，是菱形相关计算的常见题型，重点考查对菱形面积两种计算方法的灵活运用。
【难度系数】0.6

13. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=5$,$AC=12$,$P$为边$BC$上一动点,$PE ⊥ AB$于点$E$,$PF ⊥ AC$于点$F$,$M$为$EF$中点,则$AM$的取值范围是________.

13. $\frac{30}{13}≤ AM＜6$ 【点拨】本题考查矩形的判定与性质,勾股定理,三角形面积.
【解析】如题图,连接$AP$,$\because PE⊥ AB$,$PF⊥ AC$,$\therefore ∠ AEP=∠ AFP=90°$. 又$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore$ 四边形$AEPF$是矩形,$\therefore AP=EF$.
$\because ∠ BAC=90°$,$M$为$EF$中点,$\therefore AM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AP$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=5$,$AC=12$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,当$AP⊥ BC$时,$AP$的值最小.
此时$S_{△ BAC}=\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× AP$,$\therefore AP=\frac{60}{13}$,$\therefore AP≥\frac{60}{13}$,即$2AM≥\frac{60}{13}$,$\therefore AM≥\frac{30}{13}$.$\because AP≤ AC$,即$AP≤12$,$\therefore AM≤6$,但当$AM=6$时,不存在矩形$AEPF$.$\therefore \frac{30}{13}≤ AM＜6$. 故答案为$\frac{30}{13}≤ AM＜6$.

【分析】
要解决这道题，首先通过垂直关系判断四边形AEPF的形状，利用矩形性质将EF转化为AP，再结合直角三角形斜边中线的性质，把AM转化为AP的一半，进而通过勾股定理和面积法确定AP的取值范围，最终得到AM的范围，需注意端点是否存在。
【解析】
1. 连接AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，所以∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，故四边形AEPF是矩形，因此EF=AP。
2. 在Rt△AEF中，M是EF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AP。
3. 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$=$\sqrt{5^2+12^2}$=13。
4. 当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时利用三角形面积公式：$S_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×AB×AC$=$\frac{1}{2}×BC×AP$，代入数值计算得$\frac{1}{2}×5×12$=$\frac{1}{2}×13×AP$，解得AP=$\frac{60}{13}$，故AM的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{60}{13}$=$\frac{30}{13}$。
5. 当P与C重合时，AP=AC=12，此时AM=$\frac{1}{2}×12$=6，但此时F与C重合，E与A重合，不存在矩形AEPF，故AM的最大值取不到6。
综上，AM的取值范围是$\frac{30}{13}≤ AM＜6$。
【答案】
$\frac{30}{13}≤ AM＜6$
【知识点】
矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查矩形性质、勾股定理及面积法求线段最值，核心是将AM转化为AP的一半，需注意端点是否存在，避免错误取等号。
【难度系数】
0.4

14. 如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，D是AC上一点，且AG⊥BD于点G.已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为________.

14. 49 【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质,三角形中位线性质.
【解析】$\because AG$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ GAD=∠ GAB$.$\because AG⊥ BD$,$\therefore ∠ AGD=∠ AGB=90°$,又$\because AG=AG$,$\therefore △ AGD≌ △ AGB(ASA)$,$\therefore AD=AB=12$,$BG=DG$,即$G$是$BD$中点,又$\because H$是$BC$中点,$\therefore GH$是$△ BCD$的中位线,$\therefore GH=\frac{1}{2}CD$,又$\because GH=5$,$\therefore CD=10$,$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+CA=12+15+10+12=49$. 故答案为49.

【分析】要计算△ABC的周长，已知AB=12，BC=15，需先求出AC的长度。观察到AG平分∠BAC且AG⊥BD，可利用角平分线和垂直的条件证明△AGD与△AGB全等，得到AD=AB及G是BD中点；再结合H是BC中点，利用三角形中位线性质求出CD，进而算出AC，最终求得周长。
【解析】
∵AG平分∠BAC，
∴∠GAD=∠GAB。
∵AG⊥BD，
∴∠AGD=∠AGB=90°，又
∵AG=AG，
∴△AGD≌△AGB（ASA），
∴AD=AB=12，BG=DG，即G为BD中点。
∵H是BC中点，
∴GH是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，GH=1/2 CD，已知GH=5，
∴CD=2×5=10。
∴AC=AD+CD=12+10=22，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=12+15+22=49。
【答案】49
【知识点】三角形全等（ASA）、三角形中位线性质
【点评】本题综合考查三角形全等的判定与三角形中位线的性质，解题关键是通过角平分线和垂直条件构造全等三角形得到中点，再利用中位线定理求出未知边，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.5

15. 在$□ ABCD$中(AC为对角线),BC边上的高为4,$AB=5$,$AC=2\sqrt{5}$,则$□ ABCD$的周长等于.

15. 20或12 【点拨】本题考查平行四边形的性质,勾股定理.
【解析】①如图1所示,在$□ ABCD$中,$BC$边上的高$AE$为4,$AB=5$,$AC=2\sqrt{5}$,$\therefore CD=AB=5$,$AD=BC$,$EC=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$,$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore AD=BC=2+3=5$,$\therefore □ ABCD$的周长为$2(AB+BC)=2×(5+5)=20$.
②如图2所示,同①得$EC=\sqrt{AC^2-AE^2}=2$,$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=3$.$\therefore AD=BC=3-2=1$,$\therefore □ ABCD$的周长为$2(AB+BC)=2×(5+1)=12$.
综上所述,$□ ABCD$的周长为20或12.


故答案为20或12.

【分析】
本题需利用平行四边形对边相等的性质，结合勾股定理计算BC的长度。关键在于BC边上的高的位置有两种情况：高在BC线段上，或高在BC的延长线上，需分别计算两种情况下BC的长度，再推导平行四边形的周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图1，高AE在BC线段上：
过A作AE⊥BC于E，已知AE=4，AB=5，AC=2√5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=√(AB² - AE²)=√(5² - 4²)=3；
在Rt△ACE中，由勾股定理得：EC=√(AC² - AE²)=√[(2√5)² - 4²]=√(20 - 16)=2；
因此BC=BE + EC=3+2=5。
平行四边形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=5，周长=2×(AB+BC)=2×(5+5)=20。
2. 如图2，高AE在BC的延长线上：
过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，AE=4，AB=5，AC=2√5。
同理，在Rt△ABE中，BE=√(AB² - AE²)=3；
在Rt△ACE中，EC=√(AC² - AE²)=2；
此时BC=BE - EC=3-2=1。
平行四边形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=1，周长=2×(AB+BC)=2×(5+1)=12。
综上，□ABCD的周长为20或12。
【答案】20或12
【知识点】平行四边形性质、勾股定理
【点评】本题考查平行四边形的性质与勾股定理，需注意高的位置存在两种情况，避免漏解，是易错题，需学生考虑全面。
【难度系数】0.5

16. 在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片 $ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线折叠,使得点 $B$ 落在 $CD$ 上的点 $Q$ 处,折痕为 $AP$;再将 $△ PCQ$,$△ ADQ$ 分别沿 $PQ$,$AQ$ 折叠,此时点 $C$,$D$ 落在 $AP$ 上的同一点 $R$ 处. 请完成下列探究:
(1) $∠ PAQ$ 的大小为 ______°;
(2) 当四边形 $APCD$ 是平行四边形时,$\dfrac{AB}{QR}$ 的值为 ______.

16. (1)30 (2)$\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查翻折变换,平行四边形的性质,直角三角形的性质.
【解析】(1)由折叠性质可得$∠ B=∠ AQP$,$∠ DAQ=∠ QAP=∠ PAB$,$∠ DQA=∠ RQA$,$∠ CQP=∠ RQP$,$∠ D=∠ ARQ$,$∠ C=∠ QRP$.$\because ∠ ARQ+∠ QRP=180°$,$\therefore ∠ D+∠ C=180°$,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ B+∠ DAB=180°$.$\because ∠ DQR+∠ CQR=180°$,$\therefore ∠ DQA+∠ CQP=90°$,$\therefore ∠ AQP=90°$,$\therefore ∠ B=∠ AQP=90°$,$\therefore ∠ DAB=90°$,$\therefore ∠ DAQ=∠ QAP=∠ PAB=30°$,即$∠ PAQ=30°$.
(2)由折叠性质得$AD=AR$,$CP=PR$.$\because$ 四边形$APCD$是平行四边形,$\therefore AD=PC$,$\therefore AR=PR$. 又$\because ∠ AQP=90°$,$\therefore QR=\frac{1}{2}AP$.
$\because ∠ PAB=30°$,$∠ B=90°$,$\therefore AP=2PB$,$AB=\sqrt{AP^2-PB^2}=\sqrt{4PB^2-PB^2}=\sqrt{3}PB$,$\therefore QR=PB$,$\therefore \frac{AB}{QR}=\sqrt{3}$. 故答案为(1)30;(2)$\sqrt{3}$.

【分析】
要解决这道题，需利用折叠的性质（折叠前后对应角、对应边相等），结合平角、平行线的判定与性质、直角三角形的性质推导。第(1)问通过多次折叠得到角的等量关系，结合平角和四边形内角和推出∠DAB为90°，进而求出∠PAQ；第(2)问结合平行四边形对边相等的性质，以及直角三角形斜边中线定理，找到AB与QR的数量关系。
【解析】
(1) 根据折叠性质：
第一次折叠，点B落在CD上的Q处，得∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠AQP=∠B；
第二次折叠，△ADQ沿AQ折叠、△PCQ沿PQ折叠，得∠DQA=∠RQA，∠CQP=∠RQP，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP。
∵ ∠ARQ + ∠QRP = 180°，
∴ ∠D + ∠C = 180°，故AD//BC，因此∠B + ∠DAB = 180°。
又
∵ ∠DQR + ∠CQR = 180°，即2∠DQA + 2∠CQP = 180°，得∠DQA + ∠CQP = 90°，
∴ ∠AQP = 180° - (∠DQA + ∠CQP) = 90°，故∠B = ∠AQP = 90°，
则∠DAB = 180° - ∠B = 90°，而∠DAB = ∠DAQ + ∠QAP + ∠PAB，且三个角相等，
∴ ∠PAQ = 90° ÷ 3 = 30°。
(2) 当四边形APCD是平行四边形时，AD = PC；
根据折叠性质，AD = AR，PC = PR，故AR = PR。
又
∵ ∠AQP = 90°，在Rt△AQP中，R是AP中点，
∴ QR = ½ AP（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
在Rt△ABP中，∠PAB = 30°，
∴ AP = 2PB，AB = √(AP² - PB²) = √(4PB² - PB²) = √3 PB，
而QR = PB，因此AB/QR = √3 PB / PB = √3。
【答案】
(1)30；(2)√3
【知识点】
翻折变换、平行四边形性质、直角三角形性质
【点评】
本题以折叠操作为背景，综合考查几何核心性质，解题关键是利用折叠的等量关系推导角与边的关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5