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8. (2025·广州中考)如图,在平面直角坐标系中,点$A(-3,1)$,点$B(-1,1)$,若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点,则$d$的取值范围是（
A.$-3 ≤ d ≤ -1$
B.$1 ≤ d ≤ 3$
C.$-4 ≤ d ≤ -2$
D.$2 ≤ d ≤ 4$
D
）A.$-3 ≤ d ≤ -1$
B.$1 ≤ d ≤ 3$
C.$-4 ≤ d ≤ -2$
D.$2 ≤ d ≤ 4$
答案
8. D 解析:依题意,将直线$y=x$向上平移 d 个单位长度后得直线$y=x+d$,$\because$ 点$A(-3,1)$,点$B(-1,1)$,且直线$y=x$向上平移 d 个单位长度后与线段 AB 有交点,$\therefore$ 把$A(-3,1)$代入得$1=-3+d$,解得$d=4$;把$B(-1,1)$代入得$1=-1+d$,解得$d=2$,则$2≤ d≤4$,故选 D.
9. (2026·杭州期末) 已知三条直线 $y_1 = mx + n$
$(m＞0,n＜0),y_2=ax+b(a＜0,b＞0),y_3=kx(k ≠$
$0)$ 都经过点 $(2,3)$, 则对于同一个 $x(x ≠ 2)$ 的
值, $(y_1-y_3)(y_2-y_3)$ 的取值 （
A.小于 0
B.大于 0
C.小于或等于 0
D.大于或等于 0
$(m＞0,n＜0),y_2=ax+b(a＜0,b＞0),y_3=kx(k ≠$
$0)$ 都经过点 $(2,3)$, 则对于同一个 $x(x ≠ 2)$ 的
值, $(y_1-y_3)(y_2-y_3)$ 的取值 （
A
）A.小于 0
B.大于 0
C.小于或等于 0
D.大于或等于 0
答案
9. A 解析:如图所示,当$x＜2$时,$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$,所以$(y_{1}-y_{3})(y_{2}-y_{3})＜0$;当$x＞2$时,$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$,所以$(y_{1}-y_{3})(y_{2}-y_{3})＜0$,综上所述,$(y_{1}-y_{3})(y_{2}-y_{3})＜0$.故选 A.
10. (2025·南京期末) 如图,一次函数 $y=\dfrac{4}{3}x+4$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于点$A$,$B$,点$C$在$y$轴的正半轴上,若点$B$关于直线$AC$的对称点$B'$恰好落在$x$轴上,则直线$AC$所对应的函数表达式为（
A.$y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{2}$
B.$y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$
C.$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{3}$
D.$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
D
）A.$y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{2}$
B.$y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$
C.$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{3}$
D.$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
答案
10. D 解析:令$y=0$,则有$\frac{4}{3}x+4=0$,解得$x=-3$.令$x=0$,则有$y=4$,$\therefore A(-3,0)$,$B(0,4)$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.连接$B'C$,如图所示,$\because$ 点 B 关于直线 AC 的对称点$B'$恰好落在x 轴上,$\therefore AB'=AB=5$,$CB'=CB$,$\therefore OB'=2$.设点$C(0,m)$,则$OC=m$,$BC=4-m=B'C$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ B'OC$中,由勾股定理可得$m^2+2^2=(4-m)^2$,解得$m=\frac{3}{2}$,$\therefore C(0,\frac{3}{2})$.设直线 AC 的表达式为$y=kx+\frac{3}{2}$,把点$A(-3,0)$代入得$-3k+\frac{3}{2}=0$,解得$k=\frac{1}{2}$,$\therefore$ 直线 AC 的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.故选 D.
11. 无论$a$取什么实数,点$P(a+1,2a+2)$都在直线$l$上,如果$Q(m,n)$是直线$l$上的点,那么$(2m-n-1)^{2}$的值是
1
.答案
11. 1 解析:
∵ 无论 a 取什么实数,点$P(a+1,2a+2)$都在直线 l 上,$\therefore$ 直线 l 的表达式为$y=2x$.又$\because Q(m,n)$是直线 l上的点,$\therefore n=2m$,$\therefore (2m-n-1)^2=(2m-2m-1)^2=1$.
∵ 无论 a 取什么实数,点$P(a+1,2a+2)$都在直线 l 上,$\therefore$ 直线 l 的表达式为$y=2x$.又$\because Q(m,n)$是直线 l上的点,$\therefore n=2m$,$\therefore (2m-n-1)^2=(2m-2m-1)^2=1$.
12.（桂林中考改编）如图，与图中直线$y=-x+1$关于$x$轴对称的直线的函数表达式是
$y=x-1$
；与直线$y=-x+1$关于$y$轴对称的直线的函数表达式是$y=x+1$
。答案
12. $y=x-1$ $y=x+1$ 解析:
∵ 关于 x 轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数,$\therefore$ 直线$y=-x+1$关于 x 轴对称的直线的函数表达式是$-y=-x+1$,即$y=x-1$.$\because$ 关于 y 轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数,$\therefore$ 直线$y=-x+1$关于y 轴对称的直线的函数表达式为$y=x+1$.
∵ 关于 x 轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数,$\therefore$ 直线$y=-x+1$关于 x 轴对称的直线的函数表达式是$-y=-x+1$,即$y=x-1$.$\because$ 关于 y 轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数,$\therefore$ 直线$y=-x+1$关于y 轴对称的直线的函数表达式为$y=x+1$.
13. 直线 $y=kx-2k+3$ 恒过一定点,则该点的坐标是
$(2,3)$
.在平面直角坐标系中有三点$A(-1,0),B(2,3),C(5,0)$,若该直线$y=kx-$$2k+3$ 将 $△ ABC$ 分成左右面积之比为 $1:2$ 的两部分,则 $k$ 的值是3
.答案
13. $(2,3)$ 3 解析:
∵$y=kx-2k+3=k(x-2)+3$,$\therefore$ 当$x=2$时,$y=3$,$\therefore$ 直线$y=kx-2k+3$恒过点$(2,3)$.如图,设直线$y=kx-2k+3$与 x 轴交于点 D.$\because$ 直线$y=kx-2k+3$将$△ ABC$分成左右面积之比为$1:2$的部分,$\therefore AD:CD=1:2$.$\because A(-1,0)$,$B(2,3)$,$C(5,0)$,$\therefore AC=5+1=6$,$\therefore AD=\frac{1}{1+2}×6=2$,$\therefore D(1,0)$.将点$(1,0)$代入$y=kx-2k+3$,得$0=-2k+3$,解得$k=3$,故答案为$(2,3)$;3.
归纳总结 含参数 k 的一次函数的图象过定点时,可以把所有含 k 的项进行整合,当 k 的所有系数和为 0 时,k 的取值就无法对式子造成影响.如本题中$y=k(x-2)+3$,当$x=2$时,k 的系数为 0,此时$y=3$,$\therefore k$无论取何值,都经过定点$(2,3)$.再例如一次函数$(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0$可化简为$(2x-1-y)k-x-3y+11=0$,当 x,y 满足$\begin{cases}2x-1-y=0,\\-x-3y+11=0,\end{cases}$即$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$时,无论 k 取何值,等式一定成立,即该一次函数的图象过定点$(2,3)$.
14. 如图,直线 $y=x+1$ 交$x$轴、$y$轴分别于$P,A$两点,直线 $y=2x+2$ 交$y$轴于$B$点,过$B$作$x$轴的平行线交直线$PA$于$A_1$,过$A_1$作$y$轴的平行线交直线$PB$于$B_1$,过$B_1$作$x$轴的平行线交直线$PA$于$A_2$,$···$,如此反复,则$A_6$的坐标为
$(63,64)$
.答案
14. $(63,64)$ 解析:
∵ 直线$y=x+1$交 x 轴、y 轴分别于 P,A 两点,直线$y=2x+2$交 y 轴于 B 点,$\therefore A(0,1)$,$B(0,2)$.$\because$ 过B 作 x 轴的平行线交直线 PA 于$A_1$,$\therefore A_1(1,2)$.$\because$ 过$A_1$作y 轴的平行线交直线 PB 于$B_1$,$\therefore B_1(1,4)$.$\because$ 过$B_1$作 x 轴的平行线交直线 PA 于$A_2$,$\therefore A_2(3,4)$,$\therefore A_1$的横坐标为1,$A_2$的横坐标为$1+2$,$A_3$的横坐标为$1+2+4$,$A_4$的横坐标为$1+2+4+8$,$A_5$的横坐标为$1+2+4+8+16$,$A_6$的横坐标为$1+2+4+8+16+32=63$.$\because$ 点$A_6$在直线$y=x+1$上,$\therefore$ 点$A_6$的纵坐标为 64,$\therefore$ 点$A_6(63,64)$.
∵ 直线$y=x+1$交 x 轴、y 轴分别于 P,A 两点,直线$y=2x+2$交 y 轴于 B 点,$\therefore A(0,1)$,$B(0,2)$.$\because$ 过B 作 x 轴的平行线交直线 PA 于$A_1$,$\therefore A_1(1,2)$.$\because$ 过$A_1$作y 轴的平行线交直线 PB 于$B_1$,$\therefore B_1(1,4)$.$\because$ 过$B_1$作 x 轴的平行线交直线 PA 于$A_2$,$\therefore A_2(3,4)$,$\therefore A_1$的横坐标为1,$A_2$的横坐标为$1+2$,$A_3$的横坐标为$1+2+4$,$A_4$的横坐标为$1+2+4+8$,$A_5$的横坐标为$1+2+4+8+16$,$A_6$的横坐标为$1+2+4+8+16+32=63$.$\because$ 点$A_6$在直线$y=x+1$上,$\therefore$ 点$A_6$的纵坐标为 64,$\therefore$ 点$A_6(63,64)$.
15. (1) 一次函数 $y = ax - a + 1$ ($a$ 为常数, 且$a ≠ 0$), 当 $-1 ≤ x ≤ 2$ 时, 函数有最大值 2, 求出 $a$ 的值；
(2) 一次函数 $y = kx + b$ 的自变量的取值范围是 $-3 ≤ x ≤ 6$, 相应函数值的取值范围是 $-5 ≤$$y ≤ -2$, 求这个函数的表达式.
(2) 一次函数 $y = kx + b$ 的自变量的取值范围是 $-3 ≤ x ≤ 6$, 相应函数值的取值范围是 $-5 ≤$$y ≤ -2$, 求这个函数的表达式.
答案
15. (1)分两种情况:①当$a＞0$时,y 随 x 的增大而增大,则当$x=2$时,y 有最大值 2.把$x=2$,$y=2$代入函数表达式得$2=2a-a+1$,解得$a=1$.
②当$a＜0$时,y 随 x 的增大而减小,则当$x=-1$时,y 有最大值 2.把$x=-1$,$y=2$代入函数表达式得$2=-a-a+1$,解得$a=-\frac{1}{2}$.综上所述,$a=-\frac{1}{2}$或$a=1$.
(2)分两种情况:①当$k＞0$时,把$x=-3$,$y=-5$;$x=6$,$y=-2$代入一次函数的表达式$y=kx+b$,得$\begin{cases}-3k+b=-5,\\6k+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=-4,\end{cases}$则这个函数的表达式是$y=\frac{1}{3}x-4$.②当$k＜0$时,把$x=-3$,$y=-2$;$x=6$,$y=-5$代入一次函数的表达式$y=kx+b$,得$\begin{cases}-3k+b=-2,\\6k+b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b=-3,\end{cases}$则这个函数的表达式是$y=-\frac{1}{3}x-3$.综上,这个函数的表达式是$y=\frac{1}{3}x-4$或$y=-\frac{1}{3}x-3$.
②当$a＜0$时,y 随 x 的增大而减小,则当$x=-1$时,y 有最大值 2.把$x=-1$,$y=2$代入函数表达式得$2=-a-a+1$,解得$a=-\frac{1}{2}$.综上所述,$a=-\frac{1}{2}$或$a=1$.
(2)分两种情况:①当$k＞0$时,把$x=-3$,$y=-5$;$x=6$,$y=-2$代入一次函数的表达式$y=kx+b$,得$\begin{cases}-3k+b=-5,\\6k+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=-4,\end{cases}$则这个函数的表达式是$y=\frac{1}{3}x-4$.②当$k＜0$时,把$x=-3$,$y=-2$;$x=6$,$y=-5$代入一次函数的表达式$y=kx+b$,得$\begin{cases}-3k+b=-2,\\6k+b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b=-3,\end{cases}$则这个函数的表达式是$y=-\frac{1}{3}x-3$.综上,这个函数的表达式是$y=\frac{1}{3}x-4$或$y=-\frac{1}{3}x-3$.
