1. 实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，化简$(\sqrt{b})^{2}+\sqrt{(b - a)^{2}} - |a|$的结果是 ()


A.$-2a$
B.$-2b$
C.$2b$
D.$2b - 2a$

1. C

2. 已知$m$是$\sqrt{5}$的小数部分，则$\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}} - 2}$的值为。

2. 4

3. 当$a ＜ \frac{1}{2}$且$a≠0$时，化简：$\frac{\sqrt{4a^{2} - 4a + 1}}{2a^{2} - a}=$。

3. $-\frac{1}{a}$

4. 若$\sqrt{(2024 - a)^{2}}+\sqrt{a - 2025}=a$，则$a - 2024^{2}=$。

4. 2025

5. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3 + 2\sqrt{2}=(1 + \sqrt{2})^{2}$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a,b,m,n$均为整数)，则有$a + b\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$，$\therefore a = m^{2}+2n^{2}$，$b = 2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)已知$a,b,m,n$均为整数，若$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$，则$a=$，$b=$；
(2)若$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，且$a,m,n$均为正整数，求$a$的值；
(3)化简$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$。

5. (1) $m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2) 解: $\because a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，
$\therefore a + 4\sqrt{3} = m^{2} + 3n^{2} + 2mn\sqrt{3}$。
$\therefore a = m^{2} + 3n^{2}$，$2mn = 4$，于是 $mn = 2$。
$\because m$，$n$ 均为正整数，$\therefore m = 1$，$n = 2$ 或 $m = 2$，$n = 1$。
$\therefore a = 1^{2} + 3×2^{2} = 13$ 或 $a = 2^{2} + 3×1^{2} = 7$。
$\therefore a$ 的值为 13 或 7。
(3) 解: 原式 $= \sqrt{5 + 2\sqrt{5} + 1} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2} + 2×\sqrt{5}×1 + 1^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^{2}} = \sqrt{5} + 1$。

6. 已知$y=\sqrt{4 - x}-\sqrt{x - 4}+3$，若$a=\sqrt{x}+\sqrt{y}$，$b=\sqrt{x}-\sqrt{y}$，试求代数式$a^{2}+b^{2}+ab$的值。

6. 解: 由题意得 $\begin{cases}4 - x ≥ 0 \\ x - 4 ≥ 0\end{cases}$，解得 $x = 4$，此时 $y = 3$。
$\therefore$ 原式 $= (a + b)^{2} - ab$
$= (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} - (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})$
$= (2\sqrt{x})^{2} - (x - y) = 4x - x + y = 3x + y = 3×4 + 3 = 12 + 3 = 15$。