7. （2025·靖江期末）已知$x,y$为实数，且满足$y=\frac{\sqrt{x^{2} - 4}+\sqrt{8 - 2x^{2}}+12}{x + 2}$，求$\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}$的值。

7. 解: $\because$ 二次根式 $\sqrt{x^{2} - 4}$，$\sqrt{8 - 2x^{2}}$ 有意义，
$\therefore \begin{cases}x^{2} - 4 ≥ 0 \\ 8 - 2x^{2} ≥ 0\end{cases}$，$\therefore x^{2} = 4$，$\therefore x = \pm 2$。
又 $\because$ 分母 $x + 2 ≠ 0$，$\therefore x = 2$，此时 $y = \frac{0 + 0 + 12}{2 + 2} = 3$，
$\therefore$ 原式 $= \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{6}$。

8. 若$x = 3 - \sqrt{2024}$，则代数式$x^{2}-6x - 9$的值为 ()

A.$2024$
B.$2006$
C.$-2024$
D.$-2006$

8. B

9. 若$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}-1)=63$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}=$。

9. 8

10. 已知$x=\frac{1}{2}(\sqrt{11}+\sqrt{7})$，$y=\frac{1}{2}(\sqrt{11}-\sqrt{7})$，则$x^{2}-xy + y^{2}=$。

10. 8

11. 已知$x=\frac{1 - \sqrt{2022}}{2}$，求代数式$(4x^{3}-2025x - 2022)^{3}$的值。

11. 解: $\because x = \frac{1 - \sqrt{2022}}{2}$，$\therefore 1 - 2x = \sqrt{2022}$。
$\therefore (1 - 2x)^{2} = 1 - 4x + 4x^{2} = 2022$。
$\therefore 4x^{2} - 4x = 2021$。
$\therefore$ 原式 $= [(4x^{3} - 4x^{2}) + (4x^{2} - 4x) - 2021x - 2022]^{3} = (2021x + 2021 - 2021x - 2022)^{3} = (-1)^{3} = -1$。

12. 设$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b = 2 - \sqrt{3}$，$c=\sqrt{5}-2$，试比较$a,b,c$的大小。

12. 解: 因为 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 1$，所以 $a = \sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$。同理，$b = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，$c = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$。
因为 $\sqrt{3} + \sqrt{2} ＜ 2 + \sqrt{3} ＜ \sqrt{5} + 2$，当分子相同时，分母大的分数反而小，所以 $a ＞ b ＞ c$。

13. 像$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=1$，$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a(a≥0)$，$(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)=b - 1(b≥0)······$两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。例如，$\sqrt{5}$与$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$，$2\sqrt{3}+3\sqrt{5}$与$2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$等都互为有理化因式。进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号。请完成下列问题：
（1）计算：$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$；
（2）比较$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$与$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$的大小，并说明理由。

13. 解: (1) $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{3} + \sqrt{2}$。
(2) $\sqrt{2026} - \sqrt{2025} ＜ \sqrt{2025} - \sqrt{2024}$。
理由: $\because \sqrt{2026} - \sqrt{2025} = \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$，
$\sqrt{2025} - \sqrt{2024} = \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$，
又 $\because \sqrt{2026} + \sqrt{2025} ＞ \sqrt{2025} + \sqrt{2024}$，
$\therefore \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} ＜ \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$。
$\therefore \sqrt{2026} - \sqrt{2025} ＜ \sqrt{2025} - \sqrt{2024}$。