知识点一 确定圆的条件
过一个点可以作无数个圆. 过两个点可以作无数个圆. 不在同一条直线上的三个点确定圆.

一个

【分析】
解题时首先回忆圆的确定要素：圆心和半径，要得到过三个点的圆，需保证圆心到三个点的距离都相等，因此圆心是三个点两两连线的垂直平分线的交点。若三个点不在同一直线上，任意两条垂直平分线只会有一个交点，即圆心唯一，对应的半径也唯一，由此就能推导得到结论。
【解析】
确定一个圆需要明确圆心和半径两个要素：
1. 过不在同一直线上的三个点作圆时，圆心需要满足到三个点的距离相等，因此圆心是这三个点中任意两点连线的垂直平分线的交点；
2. 由于三个点不共线，任意两条线段的垂直平分线有且只有1个交点，即圆心唯一，半径等于该交点到任意一个点的距离，也唯一。
因此不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
一个
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查确定圆的基本条件，属于基础概念题，解题的关键是牢记“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论，同时注意结论成立的前提是三个点不共线，若三点共线则无法作出过三点的圆。
【难度系数】
0.9

例1 下列关于过一点作圆的说法正确的是 （）

A.可以作唯一一个圆
B.只能作一个圆
C.可以作无数个圆，但这些圆的圆心都相同
D.可以作无数个圆，这些圆的圆心可以在任意位置
解析 过一个点可以作无数个圆. 是以该点为圆上任意一点，可以取任意长度为半径作圆.
答案 D

D

【分析】
解题时首先回忆确定圆的核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，只有两个要素都确定时才能得到唯一的圆。本题要求作过已知点的圆，即该点在圆上，仅满足“点到圆心的距离等于半径”这一个限制条件，此时圆心、半径都没有被唯一限定，结合这个特征逐一判断选项即可。
【解析】
确定一个圆需要圆心和半径两个要素，若圆经过已知点，只需满足圆心到该点的距离等于半径即可：
1. 分析选项A、B：由于圆心可以任意选取，半径随圆心位置的变化而变化，因此过一点可以作无数个圆，A、B说法错误；
2. 分析选项C：这些圆的圆心可以是平面内任意一点，并非所有圆的圆心都相同，C说法错误；
3. 分析选项D：过一点可以作无数个圆，圆心可以在任意位置，半径为圆心到该已知点的距离，D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 圆的定义
【点评】
本题属于圆的基础概念考查题，解题关键是明确确定圆需要的两个要素，易错点是混淆过不同数量的点作圆的限制条件，注意区分过一点、两点、不共线三点作圆的不同结论。
【难度系数】
0.8

例2 下列关于过两点作圆的说法错误的是 （）

A.可以作无数个圆
B.这些圆的圆心都在一条直线上
C.这些圆的圆心到两点的距离不相等
D.这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上
解析 过A，B两个点可以作无数个圆，A选项正确。这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，B，D选项正确。因为圆心到A，B两点的距离必须相等（都等于半径），所以C选项错误。
答案 C
—特别提醒
关键条件：三个点必须“不在同一条直线上”，即三点不共线。
—解题要点
根据过一个点可以作无数个圆即可解决。
—解题要点
根据过两个点可以作无数个圆即可解决。

C

【分析】
首先明确题目要求是选出关于过两点作圆的错误说法。解题时可结合圆的定义推导圆心的特征：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此过两个点的圆，这两个点到圆心的距离必须相等（都等于半径）。再结合线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，就能得到所有符合条件的圆心的轨迹，最后逐一判断选项即可。
【解析】
设已知两点为A、B，若所作的圆同时经过A、B两点，则圆心到A、B两点的距离都等于该圆的半径，即圆心到A、B的距离一定相等，因此C选项说法错误。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上，B、D选项说法正确；
线段AB的垂直平分线上有无数个点，任取一个点作为圆心，对应一个半径就能作出一个过A、B的圆，因此可以作无数个圆，A选项说法正确。
综上，本题选错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
过两点作圆的性质；线段垂直平分线的判定；圆的基本定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查过两点作圆的圆心轨迹规律，只要理解圆心需到两点距离相等这一核心要求，就能快速判断各选项的正误，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8